北师大版八年级上册752 三角形内角和定理教案word.docx

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北师大版八年级上册752三角形内角和定理教案word

7.5.2　三角形内角和定理（教案）

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

教学目标

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

知识与技能：

掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

过程与方法：

体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

情感态度与价值观：

通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

教学重难点

【重点】掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.

【难点】灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.

教学准备

【教师准备】教材引例和例题的投影图片.

【学生准备】复习、总结三角形内角和定理的证明过程.

教学过程

一、导入新课

导入一:

　　【问题】　三角形有几个内角?

把ΔABC的内角∠ACB的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做ΔABC的外角.这节课我们就来研究它的性质.（多媒体出示三角形的外角定义）

三角形的外角定义:

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.（板书课题）

[处理方式]　教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了.教师讲解外角,展示外角定义,这样教师就可以很自然地引入到本课.

[设计意图]　利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生的学习兴趣.

导入二:

（播放视频,学生观看思考）

师:

足球天才梅西在E处射门时受到多人阻挡,可不知是将球传给在B处还是在C处的队友,才能使进球的希望更大,需要大家的帮助.

生1:

传给在B处的队友.

生2:

传给在C处的队友.

（学生的意见不统一）

师:

究竟应该传给哪位队友?

你想知道理由吗?

本节课让我们继续学习三角形内角和定理.（教师板书课题）

[设计意图]　通过现实情境的展示,调动学生的情绪,激发学生的求知欲,吸引学生的注意力,为新知的学习做铺垫.

2、新知构建

（1）、外角的定义

　[过渡语]　同学们,我们知道三角形有三个内角,除了内角以外,三角形还有外角,那么什么是三角形的外角,它又有什么性质呢?

[处理方式]　请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.

【展示交流】　

生:

ΔABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ΔABC的外角.如右图所示,∠1是ΔABC的外角.（教师多媒体出示图,同时板书外角的定义）

师:

根据外角的定义,你能说出∠1是ΔABC哪条边与哪条边的反向延长线组成的外角吗?

生:

（思考后）∠1是ΔABC的边BA与边BC的反向延长线组成的外角.

师:

三角形还有其他外角吗?

生:

有.

师:

你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?

与同伴交流一下.

学生画图展示:

师:

对以上两个同学所画的图你有什么看法?

生:

学生2画得比较全面.

师:

你说得很好,一个三角形有几个外角?

一个顶点处有几个外角?

生:

一个三角形有6个外角,一个顶点处有2个外角.

二、三角形外角的性质

思路一

师:

如图所示（多媒体出示）,我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?

在小组内交流.

[处理方式]　学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.

【展示交流】

生1:

我们小组同学发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.

生2:

我们小组同学发现∠1=∠2+∠3.理由是:

∵∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理）,∠1+∠4=180°（平角的定义）,∴∠1=∠2+∠3.

师:

这两位同学表现得非常棒!

由以上内容你们能得出什么结论?

生:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（板书）

师:

你能确定∠1与∠4的大小关系吗?

与同伴交流.

生1:

∠1>∠4.

生2:

∠1与∠4的大小关系不能确定.

师:

你的理由是什么?

生2:

因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;当∠4是直角时,∠1=∠4;当∠4是钝角时,∠1<∠4.所以∠1与∠4的大小关系不能确定.

师:

你们同意他的说法吗?

生:

（若有所悟）同意.

师:

那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?

生:

∠1>∠2,∠1>∠3.

师:

理由是什么?

生:

由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.

师:

由此你能得到什么结论?

生:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（板书）

师:

以上两个结论的推导过程中,我们主要依据的是哪个定理?

生:

三角形内角和定理.

师总结:

在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.

师:

现在能告诉梅西将球传给谁了吧?

生:

能,传给C处的队友.

师:

为什么呢?

生:

因为∠DCA是ΔABC的外角,所以∠DCA>∠B,因此应传给C处队友.

师:

真不错,你可以给梅西做教练了哦!

我们运用三角形内角和定理的推论解决了梅西的问题,接下来就看同学们能否运用所学知识解决问题,请看例题.

[设计意图]　学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.

思路二

问题1【课件1】　如图所示,ΔABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是ΔABC的一个外角,能由∠A,∠B求出∠ACD吗?

如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系?

问题2【课件2】　任意一个ΔABC的一个外角∠ACD与∠A,∠B的大小是否还有上面的关系呢?

[处理方式]　留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题1学生能计算出∠ACD的度数,从而得到∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.

[设计意图]　让学生感受三角形外角与内角之间的关系.

归纳三角形外角的性质:

推论1:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论2:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

[处理方式]　在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.

[设计意图]　让学生明确三角形外角与内角之间的关系.

问题3【课件3】　证明三角形外角的性质.

推论1:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

已知:

如图所示,∠1是ΔABC的一个外角.

求证:

∠1=∠2+∠3.

推论2:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

已知:

如右图所示,∠1是ΔABC的一个外角.

求证:

∠1>∠2,∠1>∠3.

[处理方式]　留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答并通过多媒体展示过程.

[设计意图]　在理论上明确三角形外角与内角之间的关系.

（3）、例题解析,应用新知

（教材例2）已知:

如图所示,在ΔABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.

求证:

AD∥BC.

〔解析〕要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.

学生证明过程展示:

①证明:

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

∠B=∠C（已知）,

∴∠B=

∠EAC（等式的性质）.

∵AD平分∠EAC（已知）,

∴∠EAD=

∠EAC（角平分线的定义）,

∴∠EAD=∠B（等量代换）,

∴AD∥BC（同位角相等,两直线平行）.

②证明:

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

∠B=∠C（已知）,

∴∠C=

∠EAC（等式的性质）.

∵AD平分∠EAC（已知）,

∴∠DAC=

∠EAC（角平分线的定义）,

∴∠DAC=∠C（等量代换）.

∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）,

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）,

即∠B+∠DAB=180°.

∴AD∥BC（同旁内角互补,两直线平行）.

师:

大家对于三角形的外角与内角之间的等量关系基本掌握.那么你知道不等关系有什么应用吗?

我们继续看例3.

【课件展示】（教材例3）已知:

如图所示,P是ΔABC内一点,连接PB,PC.

求证:

∠BPC>∠A.

（教师板演示范）

证明:

如图所示,延长BP,交AC于点D.

∵∠BPC是ΔPDC的一个外角（外角的定义）,

∴∠BPC>∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.

∵∠PDC是ΔABD的一个外角（外角的定义）,

∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.

∴∠BPC>∠A.

师:

你还有其他的证明方法吗?

与同伴进行交流.

学生证明过程展示:

①证明:

延长CP,交AB于点D.（过程同上）

②证明:

如图,连接AP,并延长AP,交BC于点D.

∵∠3是ΔABP的一个外角（外角的定义）,

∴∠3>∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.

∵∠4是ΔACP的一个外角（外角的定义）,

∴∠4>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.

∴∠3+∠4>∠2+∠1,

∴∠BPC>∠BAC.

[设计意图]　通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.

[知识拓展]　三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角.三角形外角的顶点是三角形的顶点,一条边是三角形内角的一边,另一条边是该内角另一条边的反向延长线.

三、课堂总结

四、课堂练习

1.三角形的一个外角等于　　　　的两个内角的和. 

答案:

和它不相邻

2.三角形的一个外角　　　　任何一个和它不相邻的内角. 

答案:

大于

3.如下图,在∠1至∠9中,ΔABC的外角共有（　　）

A.5个B.6个C.7个D.8个

答案:

B

4.如图,∠1是ΔABC的一个外角,则下列说法正确的是（　　）

A.∠1大于ΔABC中的任一内角B.∠1大于∠B+∠C

C.∠1大于∠A+∠BD.∠1等于∠A+∠B

答案:

D

5.如图,在ΔABC中,∠1是它的一个外角,E为AC边上一点,延长BC到D,连接DE.求证∠1>∠2.

证明:

∵∠1>∠3,∠3>∠2,∴∠1>∠2.

五、板书设计

第2课时

1.外角的定义

2.三角形外角的性质

3.例题解析,应用新知

六、布置作业

（1）、教材作业

【必做题】教材随堂练习第1,2题.

【选做题】教材习题7.7第4题.

（2）、课后作业

【基础巩固】1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是（　　）　　　　　　　　　　　

2.如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为（　　）

A.70°B.80°C.90°D.100°

3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于（　　）

A.70°B.100°C.110°D.120°

4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是（　　）

A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1

【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2的度数是（　　）

A.360°B.250°C.130°D.140°

6.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2的度数是（　　）

A.90°B.100°C.130°D.180°

【拓展探究】7.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.

（1）如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;

（2）如果∠A=70°,∠ABC=60°,求∠E的大小;

（3）根据

（1）和

（2）的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.

【答案与解析】

1.D（解析:

A.∠1与∠2是对顶角,相等,故本选项错误;B.由图可知,∠1<∠2,故本选项错误;C.∠1是锐角,∠2是直角,∠1<∠2,故本选项错误;D.∠1是三角形的一个外角,∠2是这个三角形中与它不相邻的一个内角,所以∠1>∠2,故本选项正确.故选D.）

2.B（解析:

∵AB∥CD,∠C=125°,∴∠BFE=125°,∴∠E=∠BFE-∠A=125°-45°=80°.故选B.）

3.C（解析:

∵DE∥AC,∠BDE=60°,∴∠BDE=∠A=60°,又∵∠C=50°,∴∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°.故选C.）

4.B（解析:

∵∠1是ΔACD的外角,∴∠1>∠A.∵∠2是ΔCDE的外角,∴∠2>∠1,∴∠2>∠1>∠A.故选B.）

5.B（解析:

先利用三角形内角与外角的关系,得出∠1+∠2=（∠C+∠4）+（∠3+∠C）,再根据三角形内角和定理即可得出结果.∵∠1,∠2是ΔCDE的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2=（∠C+∠4）+（∠3+∠C）=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°.故选B.）

6.B（解析:

设围成的小三角形为ΔABC,分别用∠1,∠2,∠3表示出ΔABC的三个内角,再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1,∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,在ΔABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°,∴∠1+∠2=150°-∠3,∵∠3=50°,∴∠1+∠2=150°-50°=100°.故选B.）

7.解:

（1）∵∠A=60°,∠ABC=50°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=

∠ABC=25°,∠ECD=

∠ACD=55°.∴∠E=∠ECD-∠EBC=55°-25°=30°.　

（2）∵∠A=70°,∠ABC=60°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=70°+60°=130°.∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=

∠ABC=30°,∠ECD=

∠ACD=65°,∴∠E=∠ECD-∠EBC=65°-30°=35°.　（3）猜测∠E=

∠A.理由如下:

∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=

∠ABC,∠ECD=

∠ACD.由题意得∠E=∠ECD-∠EBC=

∠ACD-

∠ABC=

∠A.