1 数和数的运算.docx
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1数和数的运算
第一章数和数的运算
一概念
(一)整数
1整数的意义:
自然数和0都是整数。
2自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
3计数单位
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4数位计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5数的整除
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
例如:
10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
例如:
16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
例如:
1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
(二)小数
1小数的意义
2小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25、5.26都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33……3.1415926……
无限不循环小数:
一个数小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫无限不循环小数。
如:
∏
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555……0.0333……12.109109……
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
(三)分数
1分数的意义
2分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(四)百分数
1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二方法
(一)数的读法和写法
(二)数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1.准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万;改写成以亿做单位的数12.543亿。
2.近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3.四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
例如:
省略345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
4.大小比较
1.比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
2.比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
3.比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)数的互化
1.小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2.分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
3.一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
(四)数的整除
1.把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公约数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.成为互质关系的两个数:
1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。
三性质和规律
(一)商不变的规律
商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。
(二)小数的性质
小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍……
2.小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍……
3.小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
(四)分数的基本性质
分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系
1.被除数÷除数=被除数/除数
2.因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
3.被除数相当于分子,除数相当于分母。
四运算的意义
(一)小数四则运算
1.小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3.小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4.小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
5.乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如3×3=32
(三)分数四则运算
1.分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3.分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(四)运算定律
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
(六)运算顺序
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
练习一数的读写习题精编
一、填一填:
1.整数部分从右边起,第五位是()位,亿位在第()位;小数部分从左边起,第一位是()位,万分位在第()位。
2.15040800.56里面有()个千万,()个万,()个百,( )个十分之一,( )个百分之一。
3.一个数的千万位、万位、百位、和百分位上都是2,其它各位上都是0,这个数是()。
4.用数字0、7、3、9、8、5组成一个最大的六位数是(),最小的六位数是()。
5.8.954保留整数是(),保留一位小数是(),保留两位小数是(),改写成百分数是()%。
6.将一根
米长的木料平均锯成4段,用去其中的一份,用去这根木料的
,用去
米,还剩()%。
二、选一选:
1.一个数的小数点向右移动两位,再缩小1000倍是3.45,这个数是()。
A0.345B3.45C34.5D345
2.用三个2和两个0组成一个五位数,只读一个“零”的数是()。
A22200B20202C20022D22002
3.求一个圆柱需要多少铁皮一般用()取近似值,求圆柱的容积一般用()取近似值,求一堆圆锥
形沙堆的体积一般用()取近似值。
A四舍五入法B进一法C去尾法
三、读一读:
73986.403读作:
60099000读作:
100020000.002读作:
四、写一写:
一亿八千万零点三零零二六亿七千一百五十万零六点零五
写作:
写作:
写作:
五、改一改:
346300=万≈万790034080=亿≈亿
2010999=万≈万149640000.5=亿≈亿
0.285=
=()%36.8%=
=()(小数)
六、猜一猜:
□里面可以填哪些数:
9□875≈10万39□0000000≈39亿
七、比一比:
将3.1415、314.2%、
、3.1425从小到大排列起来。
练习二因数倍数习题精编
一、对号入座.
1.在35÷5=7中,()是()的倍数,()是()的因数。
2.在2、3、5、6、8、10、12、15、24、30、60这些数中,()是60
的因数,()是3的倍数。
3.用3、0、6排列成的三位数中,有因数2的数有(),有因数
5的数有(),既有因数3,又有因数5的有()。
4.在4、11、27、31、101、48、97中素数有(),合数有()
5.12和16的最大公因数是(),最小公倍数是()。
6.
=
=
=
小数
0.75
分数
百分数
125%
7.
8.在括号里填上合适的数
(1)
、
、
、()、()……
(2)
、
、
、
、
、()、()……
(3)
、
、
、
、()、()、()……
(4)△○□○△○□○△○□○……
像上面这样排列下去,第20个图形是()。
9.
(1)从小到大写出3的五个倍数:
、、、、
(2)写出12的所有因数:
10。
指出下面哪些数是偶数,哪些是奇数?
35、72、69、101、0、1、73、1003、2008
偶数有:
奇数有:
11。
指出下面哪些是素数,哪些是合数?
78、51、23、57、91、90
素数有:
合数有:
二、明辨是非.
1.18是倍数,6是因数。
………………………………………()
2.所有的合数都是偶数。
………………………………………()
3.所有的素数都是奇数。
………………………………………()
4.分数的分子和分母同时乘或除以相同的数,分数的大小不变。
()
5.一个自然数,不是素数就是合数。
……………………………()
6.30分=0.5时。
…………………………………………………()
三、挑战自我.
把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学,结果水果糖剩1块,巧克力剩3块。
你知道这个组最多有几位同学吗?
练习三“数的认识”过关测试题
1.在2、6、0、1.2、5、-78、51、32%、-21、
、31这些数中,自然数有(),负数有(),奇数有(),偶数有(),素数有(),合数有()。
2.王伯伯用20分钟读了一张29800字的报纸,平均每分钟大约读()字,3分钟读了这张报纸的
,也就是()%。
4.百万位上的2表示(),十位上的2表示(),百分位上2表示(),千分位上的2表示()。
5.一件羊毛衫标价a元,打八折出售,这件羊毛衫的售价是()元。
6.9和6的最小公倍数是(),最大公约数是()。
如果
=c(a、b、c都是不等于0的自然数),a和b的最大公约数是(),最小公倍数是()。
7.如果把
的分子加上21,要使分数的大小不变,分母应加上()。
8.一个三位数,个位上的数是偶数又是素数,十位上的数是奇数又是合数,百位上既不是素数也不是合数,这个三位数是()。
9.两个数相除商是6.38,如果把被除数的小数点向右移动一位,除数小数点向左移动一位,商是()。
10.把3米的钢管平均分成4段,每段长()米,其中的3段是全长()%。
11、a=2×2×5,b=2×3×3,a、b两数的最大公约数是(),最小公倍数是()。
12.填写下面的表格:
小数
0.25
1.5
分数
百分数
28%
40%
国家
面积(km)
读作
改写成以"万"作单位的数
精确到
"万"位
从大到小排序
中国
9600000
俄罗斯
17075400
美国
9372614
加拿大
9970610
二、明辨是非.
1.十个百分之一是一个千分之一。
………………………………()
2.自然数没有最大的,也没有最小的。
…………………………()
3.12的倍数中,24最小;12的因数中,6最大。
……………()
4.在既是合数又是奇数的自然数中,最小的是9。
……………()
5、因为8和13的公约数只有1,所以8和13是互质数。
……()
三、慎重选择.
1.用4、2、6三个数字组成的三位数中,3的倍数有()个。
A、3B、4C、5D、6
2.如果a×b=c(a、b、c都是不等于0的自然数),那么()。
A、a是b的倍数B、b和c都是a的倍数C、a和b都是c的因数
3.下面算式中,结果最大的是()
A、300×
B、300÷
C、300÷
练习四数的运算习题精编
一.直接写出得数
+
=
-
=
÷
=
×14=20÷
=
×
=2.1×4=10-3.7=13.5÷9=4.6×10%=
二.在○里填上“>”“<”或“=”。
2÷3○0.6660.7×0.8○0.82.532○2.532÷0.1
62×10%○62÷10%
三.填空题
1.()的
是
;()米比
米多
;
千克增加
就是增加()千克。
2.()+
=()×
=
÷()=()-
=():
4=0.5
3.把3米长的绳平均分成4段,每段长()米,每段占3米的().
4.两个数的和是196,其中一个数是另一个数的3倍,这两个数分别是()和()。
5.分母是8的最简真分数的和是()。
6.一辆汽车
小时行驶27千米,这辆汽车
小时行驶()千米,1小时行驶()千米。
四.解决问题。
1.六
(1)班有男生24人,女生28人,这学期转走了2名女生。
现在女生人数是男生的百分之几?
2.一条公路全长1200米,修路队第一天修了全长的45%,第二天修了全长的
。
先估计哪一天修的多一些?
多修多少米?
3.星星小学六月份用水82吨,比五月份多用水6.2吨。
五.六月份一共用水多少吨?
4.3月份某商场营业额为250万元,按规定要缴纳5%的营业税,还要按营业税的7%缴纳城市维护建设税。
该商场3月份一共要缴纳税款多少元?
练习五计算习题精编
一.对号入座。
1.432-234=198987-789=198654-456=198,仔细观察这三个等式有什么规律,你能再写几个像这样等式吗?
()-()=198()-()=198()-()=198
2.算式中的□和△各代表一个数,已知(△+□)×0.3=4.2□÷0.4=12。
那么△=(),□=()。
3.有一天,六年级出席人数117人,缺席人数3人,缺勤率是(),第二天出勤率是92.5%,第二天出席了()人。
4.甲车速度是乙车的120%,甲车比乙车快()%。
5.在除法算式中()÷36=12……()中,余数最大是(),这时被除数是()。
6.300千克稻谷经过加工,得到大米225千克。
这种稻谷的出米率是()%。
二.神机妙算。
(能简算的要简算)
6.42×1.01-6.4280.7×8.7+8.07×13
×153-0.6×53
×
+
÷5+
三.解决问题:
1.红旗小学师生帮助公园铺草坪。
计划9天铺216平方米,实际每天比原计划多铺4.8平方米。
实际用几天完成任务?
2.一段路已经修了36千米,比全长的60%多9千米,这段路全长多少千米?
3.六年级同学栽树,六
(1)班栽了总数的
,六
(2)班栽了120棵。
与六
(1)班栽的棵树比为3:
2,六年级同学一共栽树多少棵?
4.永固水泥厂计划全年生产水泥32400吨。
实际前5个月产量就比全年计划任务多生产了40吨。
按这样的速度生产下去,实际全年生产多少吨水泥?
5.有快.慢两种列车同时从A、B两城出发,相向而行。
6小时后在途中相遇。
已知快车每小时行驶84千米,比慢车每小时多行12千米。
A、B两城相距多少千米?
6.我国很多城市水资源缺泛,很多城市制定了用水收费标准,A市规定了每户每月的标准用水量,不超过标准用水量的部分按1.2元/立方米收费,超过标准用水量的部分按3元/立方米收费,若该城市张家5e44月份用水9立方米,需交水费多少元?
4.某种商品降价10%后,售价是90元,这种商品原来的售价是()元。
A、10B、100C、80
5、下列各数中,同时能被2、3和5整除的最小数是()
(A)
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