数值分析作业.docx
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数值分析作业
数值分析作业
姓名:
***
学号:
Z********
学院:
化学工程学院
班级:
化工8班
实验3.1Gauss消去法的数值稳定性实验
实验目的:
理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不稳定性
实验题:
求解线性方程组
实验要求
1计算矩阵的条件数判断系数矩阵是良态的还是病态的
2用高斯列主元消去法求得L和U及解向量
3用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量
4观察小主元并分析对计算结果的影响
解1
1.1判断矩阵A1是否病态
程序如下:
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];cond(A1=,1)
结果如下:
ans=
136.2945
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];cond(A1,inf)
结果如下
ans=
84.3115
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];cond(A1,2)
结果如下
ans=
68.4296
因为cond(A1,1)=136.2945》1;cond(A1,2)=68.4296》1;cond(A1,inf)=84.3115》1所以该矩阵A1是病态矩阵。
1.2判断矩阵A2是否病态
程序如下:
>>A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];cond(A2,1)
ans=
19.2832
>>A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];cond(A2,2)
ans=
8.9939
>>A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];cond(A2,inf)
ans=
18.3564
因为cond(A2,1)=19.2832》1;cond(A2,2)=8.9939》1;cond(A2,inf)=18.3564》1所以该矩阵A2是病态矩阵。
2高斯列主元消去法程序如下:
functionx=gauss(A,b)%高斯求解方程组
%x=gauss(A,b)
n=length(A);
a=[A,b];
fork=1:
n-1
maxa=max(abs(a(k:
n,k)));
ifmaxa==0
return;
end
fori=k:
n
ifabs(a(i,k))==maxa
y=a(i,k:
n+1);a(i,k:
n+1)=a(k,k:
n+1);a(k,k:
n+1)=y;
break;
end
end
fori=k+1:
n
l(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
a(i,k+1:
n+1)=a(i,k+1:
n+1)-l(i,k).*a(k,k+1:
n+1);
end
end
%回代
ifa(n,n)==0
return
end
x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);
fori=n-1:
-1:
1
x(i)=(a(i,n+1)-sum(a(i,i+1:
n).*x(i+1:
n)))/a(i,i);
end
执行下列程序:
>>A=[0.3*10^(-15),59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];b=[59.17;46.78;1;2];x=gauss(A,b)
得到结果如下:
x=
3.84571.6095-15.476110.4113
>>A=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];b=[8;5.900000000001;5;1];x=gauss(A,b)
得到结果如下:
x=
0.0000-1.00001.00001.0000
2.1选列主元的分解如下:
2.1.1对A1进行列主元分解程序如下:
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];[L,U,P]=lu(A1)
结果如下:
L=
1.0000000
0.00001.000000
0.4724-0.17551.00000
0.08930.0202-0.17381.0000
U=
11.20009.00005.00002.0000
059.14003.00001.0000
00-2.83541.2307
0001.0151
P=
0010
1000
0100
2.1.2对A2进行列主元分解程序如下:
>>A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];[L,U,P]=lu(A2)
结果如下:
L=
1.0000000
0.50001.000000
-0.3000-0.00001.00000
00.4000-0.33331.0000
U=
10.0000-7.000001.0000
02.50005.0000-1.5000
006.00002.3000
0003.3667
P=
1000
0010
0100
0001
3.不用选主元的gauss的程序如下:
functionx=gauss(a,b);%编写高斯消去法函数
%a表示方程组的系数矩阵,b表示方程组的值
%X表示最终的输出结果,即方程组的解
n=length(b);%计算方程组的维数
%下面的程序在不断的消去,直到变成a变成上三角矩阵未知
fork=1:
n-1
fori=k+1:
n
a(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
forj=k+1:
n
a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j);
end
b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k);
end
end
%表示高斯消去法的回带过程
x=zeros(n,1);
x(n)=b(n)/a(n,n);
fork=n-1:
-1:
1
s=b(k);
forj=k+1:
n
s=s-a(k,j)*x(j);
end
x(k)=s/a(k,k);
end
执行下列程序:
>>A=[0.3*10^(-15),59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];b=[59.17;46.78;1;2];x=gauss(A,b)
结果如下:
x=
3.84571.6095-15.476110.4113
>>A=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];b=[8;5.900000000001;5;1];x=gauss(A,b)
x=
0.0000-1.00001.00001.0000
3.1不选列主元的分解如下:
>>A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];[L,U]=lu(A1)
结果如下:
L~=
0.00001.000000
0.4724-0.17551.00000
1.0000000
0.08930.0202-0.17381.0000
U~=
11.20009.00005.00002.0000
059.14003.00001.0000
00-2.83541.2307
0001.0151
>>A2=[10,-7,0,1;-3,2.099999999999,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];[L,U]=lu(A2)
L~=
1.0000000
-0.3000-0.00001.00000
0.50001.000000
00.4000-0.33331.0000
U~=
10.0000-7.000001.0000
02.50005.0000-1.5000
006.00002.3000
0003.3667
4.分析小元对计算结果的影响
观察分析可知:
小元对计算结果的影响非常大。
小元的存在会使得到的计算结果有非常大的误差。
实验3.2方程组的性态和条件数实验
实验目的:
理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响
实验要求:
对A1,取Xk=1+0.1k,k=0,1,...,n,下面均用Matlab函数"x=A\b"计算方程的解。
1取n=4,6,8,分别求出A1,A2的条件数,判断他们是否是病态阵?
随n的增大矩阵性态的变化如何?
2取n=5,分别求出两个方程的解向量X1,X2
3取N=5,b不变,对A1的元素a22和a66分别加一个扰动10^-14,分别求出第一个方程组的解向量x;若A1不变,对b的元素加一个扰动10^-4,求出X
4取n=6,b不变,对A2的元素a22和a66分别加一个扰动10^-7分别求出第二个方程组的解向量X
5观察和分析A1,A2和微小扰动对解向量的影响,得出你的结论。
6求
解1
当n=4时程序如下:
>>A1=[1,1,1,1,1;1,1.1,1.1^2,1.1^3,1.1^4;1,1.2,1.2^2,1.2^3,1.2^4;1,1.3,1.3^2,1.3^3,1.3^4;1,1.4,1.4^2,1.4^3,1.4^4];cond(A1,1)
结果如下:
ans
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- 数值 分析 作业