重庆市万州二中届高三年级月考数学理.docx
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重庆市万州二中届高三年级月考数学理
重庆万州二中
2011届高三年级3月月考
数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分;共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列中,,,则()
A.8B.12C.24D.25
2.已知集合,,则=()
A.B.C.D.
3.设,是定义在R上的函数,,则“,均为奇函数”是“F为偶函数”的()
A.充要条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件
4.已知向量=(3,4),=(sin,cos),且,则tan等于()
A.B.C.D.
5.二项式的展开式中含有的项,则的一个可能值是()
A.6B.8C.9D.10
6.若,表示不同的直线,表示两个不同的平面,给出如下四组命题:
①“直线为异面直线”的充分非必要条件是“直线不相交”;
②“⊥”的充要条件是“直线垂直于平面内的无数多条直线”;
③“∥”的充分非必要条件是“上存在两点到的距离相等”.
④“∥”的必要非充分条件是“存在且∥,∥”.
其中正确的命题是()
A.④ B.③④ C.①② D.②
7.已知满足约束条件,则的最小值为()
A.B.C.D.1
8.在锐角中,角所对的边分别为,若,,,则的值为
A.B.C.D.
9.已知双曲线(>0,>0)的左、右焦点为,设是双曲线右支上一点,在上的投影的大小恰为,且它们的夹角为,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
10.某电视台连续播放6个广告,三个不同的商业广告,两个不同的奥运宣传广告,一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放,两个奥运宣传广告也不能连续播放,则不同的播放方式有()
A.48种B.98种C.108种D.120种
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知两条直线若.
12.设函数的导函数,则数列的前项和为.
13.对于任意实数,不等式恒成立,则的取值范围是.
14.圆心在抛物线()上,并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是_______________________________.
15.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上,球心在上,底面,,则三棱锥的体积与球的体积之比是.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)设,求的值域和单调递增区间.
17.(本小题满分13分)某军事院校招生要经过考试和体检两个过程,在考试通过后才有体检的机会,两项都合格则被录取.若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4,0.5,0.8,体检合格的概率分别为0.5,0.4,0.25,每名考生是否被录取相互之间没有影响.
(1)求恰有一人通过考试的概率;
(2)设被录取的人数为求的分布列和数学期望.
18.(本小题满分13分)如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB,PD的中点.
(1)求证:
AF//平面PCE;
(2)若PA=AD且AD=2,CD=3,求P—CE—A的正切值.
19.(本小题满分12分)如图,在边长为a的正方体中,M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点.
(1)求点P到平面MNQ的距离;
(2)求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)如图,设是椭圆的左焦点,直线为对应的准线,直线与轴交于点,为椭圆的长轴,已知,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:
对于任意的割线,恒有;
(3)求三角形△ABF面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数在其定义域上满足.
(1)函数的图象是否是中心对称图形?
若是,请指出其对称中心(不证明);
(2)当时,求x的取值范围;
(3)若,数列满足,那么:
①若,正整数N满足时,对所有适合上述条件的数列,恒成立,求最小的N;
②若,求证:
.
参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
A
A
D
A
B
C
二、填空题:
11.12.13.14.15.
三、
16.【解】(Ⅰ)∵
.…………3分
的最小正周期为.…………………5分
(Ⅱ)∵,,.
的值域为. ………………11分
当递减时,递增.,即.
故的递增区间为.……………………13分
17.解:
(1)设恰有一人通过考试为事件A,则
………………5分
(2)的可能值为:
0,1,2,3,计算得三人被录取的概率均为0.2.………7分
所以
所以的分布列为:
0123
0.5120.3840.0960.008
因为服从二项分布,所以…………………………13分
18.(本小题满分13分)
证:
(1)取PC中点M,连ME,MF
∵FM//CD,FM=,AE//CD,AE=
∴AE//FN,且AE=FM,即四边形AFME是平行四边形
∴AE//EM,
∵AF平面PCEAF//平面PCE………………………5分
解:
(2)延长DA,CE交于N,连接PN,过A作AH⊥CN于H连PH
∵PA⊥平面ABCD
∴PH⊥CN(三垂线定理)
∴∠PHA为二面角P—EC—A的平面角……8分
∵AD=2,CD=3
∴CN=5,即EN=A=AD
∴PA=2
∴AH=
∴
∴二面角P—EC—A的正切值为………………………13分
19.解:
方法1(几何法):
∵平面,∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离.设.∵平面MNQ平面ABCD,∴由得平面MNQ,∴点P到平面MNQ的距离为.……………5分
(2)设点N到平面MNQ的距离为d.可以求得,
∴..由得
,∴.……………10分
设直线PN与平面MPQ所成的角为,则.故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为.……………12分
方法2(空间向量方法)建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)是平面MNQ的一个法向量.
∵,
∴点P到平面MNQ的距离.……………5分
(2)设平面MPQ的一个法向量为..
由得得
..……………10分
.设直线PN与平面MPQ所成的角为,则
.……………12分
20.解
(1)∵,∴,
又∵,∴,
∴,∴椭圆的标准方程为.………(3分)
(2)当的斜率为0时,显然=0,满足题意,
当的斜率不为0时,设方程为,
代入椭圆方程整理得:
.
,,.
则
,
而
∴,从而.
综合可知:
对于任意的割线,恒有.………(8分)
(3),
即:
,
当且仅当,即(此时适合于的条件)取到等号.
∴三角形△ABF面积的最大值是.………(12分)
21.解:
(1)依题意有.若,则,得,这与矛盾,∴,∴,故的图象是中心对称图形,其对称中心为点.………(3分)
(2)∵,∴即又∵,∴
得.………(6分)
(3)①由得,∴.由得,
即.令,则,又∵,∴,∴.
∵,∴,∴当时,.
【或∵,∴】
又∵也符合,∴,即,得.要使恒成立,只需,即,∴.故满足题设要求的最小正整数.……(9分)
②由①知,∴,
,∴当时,不等式成立.
证法1:
∵,∴当时,
.………(12分)
证法2:
∵,∴当时,
.………(12分)
证法3:
∵,∴当时,
.…(12分)
证法4:
当时,∵,∴
,∴
.………(12分)
证法5:
∵,∴当时,.
综上,对任意的,都有.………(12分)
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