学年苏教版必修一33幂函数教案.docx
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学年苏教版必修一33幂函数教案
考察以下几个函数:
y=x,y=x2,y=,y=.
问题1:
这几个函数是指数函数吗?
提示:
不是指数函数.
问题2:
它们有什么共同特征?
提示:
幂的底数是自变量,指数是常数.
问题3:
你能举出一个这样的函数的实际例子吗?
提示:
正方体的棱长为x,它的体积关于x的函数关系式是V=x3.
幂函数的概念:
一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x,y=x-2的图象如图所示.
问题1:
它们的图象都过同一个定点吗?
提示:
是的.都过定点(1,1).
问题2:
这六个函数的图象哪些关于原点对称,哪些关于y轴对称?
提示:
y=x,y=x3,y=x-1关于原点对称,而y=x2,y=x-2关于y轴对称.
问题3:
通过观察这六个函数的图象,在第一象限内,哪些是增函数,哪些是减函数?
提示:
在第一象限内,y=x,y=x2,y=x3,y=x是增函数,y=x-1,y=x-2是减函数.
问题4:
这几个函数在第四象限有图象吗?
提示:
没有.
幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1,y=x-2的性质:
函数
特征
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
y=x-2
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
(0,+∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
偶
单调性
增
x∈[0,+∞)增,
x∈(-∞,0]减
增
增
x∈(-∞,0)减,
x∈(0,+∞)减
x∈(0,+∞)减,
x∈(-∞,0)增
公共点
(0,0),(1,1)
(1,1)
1.幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,指数函数y=ax中,底数是常数,指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大到小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.
[例1] 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)是:
①幂函数;②正比例函数;③反比例函数;④二次函数?
[思路点拨] 根据各相应函数的定义,列出系数、指数满足的方程或不等式求解.
[精解详析] ①∵f(x)是幂函数,
故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1.
②若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,
解得m=-,
此时m2-m-1≠0,故m=-.
③若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,
解得m=-,
此时m2-m-1≠0,故m=-.
④若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,得m=-1.
此时m2-m-1≠0,故m=-1.
[一点通] 将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查,要注意区别它们之间的不同点,根据各自定义:
①正比例函数y=kx(k≠0);②反比例函数y=(k≠0);③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0);④幂函数y=xα(α∈R),转化为系数和指数的取值问题.
1.下列函数中是幂函数的为________.
①y=;②y=-3x3;③y=x+x2;④y=xπ;⑤y=(x-1)2;⑥y=2x2+1;⑦y=4.
解析:
具备形式y=xα的函数是幂函数,所以①y==x-2,④y=xπ是幂函数,其他都不是幂函数.
答案:
①④
2.若函数f(x)=(2m+3)xm2-3是幂函数,则m的值为________.
解析:
因为函数f(x)=(2m+3)xm2-3是幂函数,
所以2m+3=1,即m=-1.
答案:
-1
[例2] 讨论函数f(x)=x-的定义域、值域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象求出函数的单调区间.
[思路点拨] 首先将幂函数化成根式的形式,再讨论定义域、值域、奇偶性,作图象.
[精解详析] ∵y=x-=,
∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞).
令f(x)=,∵f(-x)===f(x).
∴y=x-是偶函数.其图象如图所示.
由图可知,函数在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
[一点通] 幂函数y=xα的图象和性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
(1)α的正负:
α>0时,图象过(0,0)和(1,1),在第一象限图象上升是增函数;α<0时,图象过(1,1),不过(0,0),在第一象限图象下降是减函数,反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:
α>1时,曲线下凸,0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.
3.下列命题正确的个数是________.
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
④幂函数的图象不可能在第四象限
⑤图象不经过点(-1,1)的幂函数一定不是偶函数
解析:
序号
结论
原因
①
错误
直线上不含(0,1)点
②
错误
如y=在x=0处没意义,不过(0,0)
③
错误
如y=在(0,+∞)上随x增大而减小
④
正确
在x>0时,xα>0
⑤
正确
点(-1,1)与点(1,1)关于y轴对称
答案:
2
4.如图,曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α分别取-1,1,,2四个值,则图象C1,C2,C3,C4对应的α依次为________.
解析:
作直线x=x0(x0>1)与四条曲线相交,有x 答案: 2,1,,-1 5.若点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(2,)在幂函数g(x)的图象上,定义h(x)=求函数h(x)的最大值以及单调区间. 解: 设f(x)=xα,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,所以()α=2,解得α=2,所以f(x)=x2. 又设g(x)=xβ,由点(2,)在幂函数g(x)的图象上,所以2β=,解得β=-1,所以g(x)=x-1. 在同一坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,由题意及图可知h(x)= 根据函数h(x)的解析式及图象可知函数h(x)的最大值为1, 所以h(x)的单调增区间是(0,1],单调减区间是(-∞,0)和(1,+∞). [例3] 比较下列各组数中两个值的大小: (1)()与(); (2)(-)-2与(-)-2; (3)(a+1)3与a3;(4)31.4与51.5. [思路点拨] 分别构造出相对应的幂函数,然后再利用函数的单调性比较值的大小. [精解详析] (1)函数y=x在R上为增函数, ∵<,∴()<(). (2)函数y=x-2在(-∞,0)为增函数, ∵->-,∴(-)-2>(-)-2. (3)函数y=x3在R上为增函数, ∵a+1>a,∴(a+1)3>a3. (4)函数y=3x与y=x1.5在(0,+∞)上均为增函数, ∵1.4<1.5,3<5,∴31.4<31.5,31.5<51.5, ∴31.4<51.5. [一点通] 比较幂式的大小时,首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同.若指数相同,底数不同,则考查幂函数;若底数相同,指数不同,则考查指数函数;若底数和指数均不同,要引进中间量,综合考查指数函数和幂函数. 6.已知(3-2a)<(2+a),则a的取值范围是________. 解析: ∵幂函数f(x)=x在(-∞,+∞)上是增函数, ∴3-2a<2+a. 解得a>. ∴a的取值范围是(,+∞). 答案: (,+∞) 7.比较下面各组数的大小: (1)(),(); (2)(-2.1),(-2.2); (3)(-π),(-2). 解: (1)∵>0,y=x在[0,+∞)上是单调增函数,且<,∴()<(). (2)∵(-2.1)=-2.1,(-2.2)=-2.2, 经比较知2.1<2.2,∴(-2.1)>(-2.2). (3)∵(-π)=π,(-2)= (2), 经比较知π> (2), ∴(-π)>(-2). 简单的幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为1时,函数值为1,即f (1)=1,幂函数过定点(1,1). (2)如果α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数. (3)如果α<0,幂函数在x=0处无意义,在(0,+∞)上是减函数. 一、填空题 1.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则其表达式为f(x)=________. 解析: 设f(x)=xa,图象过点(2,),即=2a,则a=,故f(x)=x. 答案: x 2.设α∈{-2,-1,-,,,1,2,3},则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上是单调增函数的α的值的个数为________. 解析: ∵f(x)=xα为奇函数,∴α=-1,,1,3. 又f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴α=,1,3.共3个. 答案: 3 3.函数y=x的图象是________. 解析: 当0<x<1时,x>x,当x>1时,x<x.故图象是②. 答案: ② 4.幂函数f(x)的图象过点(2,m)且f(m)=16,则实数m的值为________. 解析: 设幂函数f(x)=xa,由图象过点(2,m),得f (2)=2a=m,所以f(m)=ma=2a2=16,解得a=-2或2,所以m=22=4或m=2-2=. 答案: 4或 5.已知x2>x,则x的取值范围是________. 解析: 作出函数y=x2和y=x的图象(如图所示). 由图象易知x<0或x>1. 答案: (-∞,0)∪(1,+∞) 6.给出幂函数: ①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=.其中满足条件f()<(x1>x2>0)的函数序号是________.(填入所有正确的序号) 解析: 结合图象可知满足条件的函数图象在第一象限向下凸起,②③⑤都是向下凸起,①没有凸起,④向上凸起,故满足条件的只有②③⑤. 答案: ②③⑤ 二、解答题 7.比较下列各组数的大小. (1)3和3.1; (2)-8-1和-9-1; (3)(),()和(). 解: (1)构造函数f(x)=x,此函数在[0,+∞)上是增函数,∵3<3.1, ∴3<3.1. (2)构造f(x)=x-1,此函数在(0,+∞)上是减函数, ∵8<9,∴8-1>9-1, ∴-8-1<-9-1. (3)构造函数y=x,此函数在[0,+∞)上是增函数, 则()>(). 构造函数y=()x,此函数在R上是减函数, 则()<(), 故()<()<(). 8.点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有: ①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x) 解: 设f(x)=xα,则由题意得2=()α,∴α=2,即f(x)=x2. 再设g(x)=xβ, 则由题意得=(-2)β, ∴β=-2,即g(x)=x-2,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示. 由图象可知: ①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x); ②当x=±1时,f(x)=g(x); ③当-1 9.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1)-<(3-2a)-的a的取值范围. 解: ∵函数在(0,
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- 学年 苏教版 必修 33 函数 教案