河北省衡水中学届高三下学期第7周周考数学理试题Word版含答案.docx
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河北省衡水中学届高三下学期第7周周考数学理试题Word版含答案
2017-2018届高三数学下学期理科数学周日测试7
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.记复数的虚部为,已知复数,(为虚数单位),则为()
A.2B.3C.D.-3
3.已知命题:
“对任意,都有”,则命题的否定是()
A.对任意,都有B.存在,使得
C.对任意,都有D.存在,使得
4.下列函数:
,,,在上是增函数且为偶函数的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则()
A.B.2C.D.
6.函数的图象大致是()
A.B.C.D.
7.若向量的夹角为,且,,则向量与向量的夹角为()
A.B.C.D.
8.定义在上的奇函数满足:
,且当时,,则的值为()
A.B.C.D.
9.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”,已知在上为“凸函数”,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
10.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,则是减函数的区间为()
A.B.C.D.
11.已知在中,,,,若三角形有两个解,则的取值范围是()
A.B.C.D.
12.设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数的定义域为(其中),则“在和上分别单调递增”是“在上为增函数”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”)
14.已知函数.若,则实数的最小值为.
15.设函数是定义在上的可导函数,且满足条件,则不等式的解集为.
16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设三个内角所对的边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为.若,,则用“三斜求积”公式求得的面积为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和,其中.
(1)证明是等比数列,并求其通项公式;
(2)若,求.
18.自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”,“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:
(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?
(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;
②如果用表示两种方案休假周数之和.求随机变量的分布列及数学期望.
19.如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.
(1)求证:
;
(2)求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.
21.已知函数(且)
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当时,设函数,函数,
①若恒成立,求实数的取值范围;
②证明:
22.在直角坐标系中,圆的方程为.
(1)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(2)直线的参数方程是(为参数),与交于两点,,求直线的斜率.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知关于的不等式的解集为.
(1)求的最大值;
(2)已知,,,且,求的最小值及此时的值.
附加题:
1.已知数列的前项和为,点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和为,并求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.
2.已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为,轴正半轴上的某点满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为,点在圆上,且在第一象限,过作圆的切线交椭圆于,求证:
的周长是定值.
2017-2018届高三数学下学期理科数学周日测试7
参考答案
一、选择题
1-5:
ADBAC6-10:
CABCB11、12:
CD
二、填空题
13.必要不充分14.315.16.
三、解答题
17.【答案】
(1);
(2).
18.解:
(1)由表中信息可知,当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为;
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.
(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件,由已知从5种不同安排方案中,随机地抽取2种方案选法共有(种),其和不低于32周的选法有、、、、、,共6种,由古典概型概率计算公式得.
②由题知随机变量的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.
,,
因而的分布列为
29
30
31
32
33
34
35
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
所以.
19.解:
(1)由于平面平面,为等边三角形,
为的中点,则,
根据面面垂直性质定理,所以平面,
又平面,则.
(2)取的中点,连接,以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,
,,,,
由于平面与轴垂直,则设平面的法向量为,
设平面的法向量,
,,,,,
则,二面角的余弦值,
由二面角为钝二面角,所以二面角的斜弦值为.
20.解:
(1)∵左顶点为
∴又∵∴
又∵∴椭圆的标准方程为.
(2)直线的方程为,由消元得
化简得,,则
当时,,
∴
∵点为的中点
∴点的坐标为,则.
直线的方程为,令,得点的坐标为,
假设存在定点使得,则,
即恒成立,∴恒成立
∴即∴定点的坐标为.
(3)∵∴的方程可设为,
由得点的横坐标为
由,得,
当且仅当即时取等号,
∴当时,的最小值为.
21.解:
(1)∵,令.
当时,解得;当时,解得,
所以时函数的单调递增区间是;
时函数的单调递增区间是
(2)①∵,由题意得,
因为,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
∴
由得,则实数的取值范围是(分离参数法亦可).
②由
(1)知时,在上恒成立,当时等号成立,
∴,令,累加可得
即
22.解:
(1)整理圆的方程得,
由可知圆的极坐标方程为.
(2)记直线的斜率为,则直线的方程为,由垂径定理及点到直线距离公式知:
,
即,整理得,则.
23.解:
(1)因为
当,或时取等号,
令,所以,或.
解得,或
∴的最大值为1
(2)由
(1).
由柯西不等式,,
∴,等号当且仅当,且时成立.
即当且仅当,,时,的最小值为.
附加题
1.解:
(1)由题意,得
故当时,
当时,,所以.
(2).
所以
由于,因此单调递增,
故.令,得,所以.
2.
(1)设点的坐标为,可知,
.
因此椭圆的方程是.
(2)设,则,
∵,∴,
在圆中,是切点,
∴,
∴,
同理,∴,
因此的周长是定值.
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