专题14 简单的轴对称图形知识点串讲原卷版.docx
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专题14 简单的轴对称图形知识点串讲原卷版.docx
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专题14简单的轴对称图形知识点串讲原卷版
专题14简单的轴对称图形
知识网络
重难突破
知识点一等腰三角形性质
1、等腰三角形
有两条边相等的三角形称为等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另外一边叫做底,腰和底的夹角叫做底角,两腰的夹角叫做顶角.
特别地,三边相等的三角形叫做等边三角形.
2、等腰三角形性质
(1)等腰三角形的两个底角相等,可简写成“等边对等角”.
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”).
注意:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴.
3、等腰三角形的判定
判定定理:
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
4、等边三角形
定义:
三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形,它是特殊的等腰三角形;
性质:
等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外,还具有更特殊的性质:
(1)有三条对称轴;
(2)每个内角都等于60°,三条边都相等.
判定:
(1)三个角相等的三角形是等边三角形;
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
典例1
(2019春•福田区期末)等腰三角形的一个外角是,则这个等腰三角形的底角为 .
典例2
(2019秋•盐都区期末)等腰三角形的一个内角为,则它的一个底角的度数为 .
典例3
(2019春•雁塔区校级期末)如图,在中,,点是边上的中点,,则的大小为
A.B.C.D.
知识点二线段垂直平分线
1、线段的轴对称性:
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2、定义:
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
注:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
3、性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
注:
对于含有垂直平分线的题目,首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来.
4、作图
已知:
线段.
求作:
的垂直平分线.
作法:
(1)分别以点和为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点和.
(2)作直线.
直线就是线段的垂直平分线.
典例1
(2019春•高新区期末)如图,中,,的垂直平分线交于点,交的延长线于点,,则
A.B.C.D.
典例2
(2019春•高新区期末)如图,在中,,,的垂直平分线交、于点、.则的周长为 .
典例3
(2019春•天桥区期末)在中,,,、分别垂直平分、.则 .
知识点三角平分线
1、角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
2、性质:
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图,已知平分,,,则.
3、利用尺规,作的平分线.
求作:
射线,使.
作法:
(1)在和上分别截取,,使.
(2)分别以,为圆心、以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点.
(3)作射线.
就是的平分线.
典例1
(2019春•长清区期末)如图,在中,,平分,若,则点到的距离是
A.4B.3C.2D.5
典例2
(2019春•南山区期末)如图,中,,,平分,于,则下列结论:
①平分,
②,
③平分,
④,
其中正确的有
A.1个B.2个C.3个D.4个
典例3
(2019春•南山区期末)如图所示,在中,是平分线,的垂直平分线分别交、延长线于点、.
求证:
.
证明:
平分
(角平分线的定义)
垂直平分
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)
(等量代换)
知识点四折叠问题
典例1
(2019春•简阳市期末)正方形纸按图中的①的方式折叠,要得到图中的②需要折叠 次.
典例2
(2019春•简阳市期末)如图所示,在等腰中,,,将中的沿向下翻折,使点落在点处.若,则的长是 .
知识点五等腰三角形综合
等腰三角形的性质与其他知识的综合
(1)等腰三角形与线段垂直平分线相结合
线段垂直平分线的性质常用来说明线段相等,比较常见的就是与等腰三角形的性质结合考虑,一般要结合具体图形及条件,理解该性质满足的条件,得出相应的结论.
(2)等腰三角形与角平分线相结合
利用角平分线可以得到两个角相等,若这两个角可转化到一个等腰三角形中,则可运用等腰三角形的“三线合一”得到其他的结论.
典例1
(2019秋•东莞市期末)已知:
如图,在等腰三角形中,,且,于,交的延长线于.
(1)求证:
;
(2)如果连结,请写出与的关系并证明.
典例2
如图1,点、分别是等边边、上的动点(端点除外),点从顶点、点从顶点同时出发,且它们的运动速度相同,连接、交于点.
(1)求证:
;
(2)当点、分别在、边上运动时,变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点、在运动到终点后继续在射线、上运动,直线、交点为,则变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.
典例3
(2019•济南模拟)已知是等腰直角三角形,,点是的中点,延长至点,使,连接.
(1)如图①,求证:
;
(2)已知点是的中点,连接.
①如图②,求证:
;
②如图③,延长至点,使,求证:
.
巩固训练
一、单选题(共6小题)
1.(2019春•简阳市期末)如图所示,将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是
A.B.
C.D.
2.(2019春•青羊区期末)若等腰三角形的一个内角为,则这个等腰三角形的顶角为()
A.B.C.或D.或
3.(2019春•天桥区期末)如图在的网格中,点、在格点处:
以为一边,点在格点处,则使为等腰三角形的点有 个.
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.(2019春•市中区期末)等腰三角形中,有一个角是,它的一条腰上的高与底边的夹角是
A.B.C.或D.或
5.(2019秋•遂宁期末)如图,在中,是边的垂直平分线,,的周长为,则的周长为
A.32B.29C.38D.36
6.(2019春•平阴县期末)如图,在中,,,以为圆心,任意长为半径画弧分别交、于点和,再分别以、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,连结并延长交于点,则下列说法中:
①是的平分线;②;③点在的中垂线上;④边上的高等于.其中正确的个数是
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(共5小题)
7.(2019春•金牛区期末)等腰三角形的一个底角为,则顶角的度数是 度.
8.(2019春•莲湖区期末)如图,点关于、的对称点分别为、,连接,交于,交于,若的周长厘米,则为 厘米.
9.(2019春•商河县期末)如图,中,,,,平分,于,则的周长为 .
10.如图,在中,,是的角平分线,垂直平分,垂足为,若,,则 , , .
11.(2019秋•惠安县期末)我们规定:
等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”,记作.若,则该等腰三角形的顶角为 度.
三、解答题(共2小题)
12.(2019春•光明区期末)如图,,以点为圆心,小于长为半径作圆弧,分别交,于,两点,再分别以,为圆心,大于长为半径作圆弧,两条圆弧交于点,作射线,交于点,
(1)由题意可知,射线是______________;
(2)若,求的度数;
(3)若,垂直为,试说明:
.
13.(2019秋•苍溪县期末)已知:
为等边三角形,点为射线上一点,点为射线上一点,.
(1)如图1,当在的延长线上且时,是的中线吗?
请说明理由;
(2)如图2,当在的延长线上时,等于吗?
请说明理由;
(3)如图3,当在线段的延长线上,在线段上时,请直接写出、、的数量关系.
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