初二数学培训讲义第11讲 梯形重心.docx
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初二数学培训讲义第11讲梯形重心
第十一讲梯形、重心
一、主要知识点回顾
1.一组对边_____另一组对边________的四边形叫做梯形。
2.两腰_______的梯形叫做等腰梯形。
3.有一个角是_____的梯形叫做直角梯形。
4.等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形同一底边上的两个角________。
(2)等腰梯形的两条对角线_________。
5.等腰梯形的判定:
(1)同一底边上的两个角________的梯形是等腰梯形。
(2)两条对角线_________的梯形是等腰梯形。
6.线段的重心是_______。
7.平行四边形的重心是______,正方形,矩形,菱形的重心是_______。
8.三角形的重心是,等腰三角形的重心位置在_____,等边三角形的重心位置在
___________________。
二、感悟与实践
例题1:
如图1,在△ABC中,∠B=∠C,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,那么四边形BCED是什么形状的图形呢?
变式练习1:
如图2所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,说明四边形EBCD为等腰梯形。
例题2:
如图3所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形ABCD的周长为10cm,求AB的长。
变式练习2:
已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠D=120°,对角线CA平分∠BCD,且梯形的周长20,求AC。
例题3:
如图4所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连接AC,CE,AC与CE相等吗?
为什么?
变式练习3:
(2011安徽芜湖)如图5,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°。
过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:
△DEF为等边三角形。
例题4:
已知△ABC(如图6所示)。
(1)在图中找出重心O。
(2)设BC,AC,AB边的中点为M,N,G,度量OM和OA,ON与OB,OG与OC,根据度量的结果,猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离的数量关系,并给予证明。
变式练习4:
如图7所示,在△ABC中,AB=AC,G是△ABC的重心,过G点作GD⊥AB,GE⊥AC,垂足为D,E。
(1)猜想:
GD_______GE;(填>、=或<)
(2)试对上面的猜想加以证明。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.如图8所示,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AD∥BC,AC、BD相交于点O,则图中面积相等的三角形有()。
A.1对B.2对C.3对D.4对
2.如图9,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为()。
A.19B.20C.21D.22
3.四边形ABCD中,若∠A:
∠B:
∠C:
∠D=2:
2:
1:
3,则这个四边形是()。
A.梯形B.等腰梯形C.直角梯形D.任意四边形
4.梯形的对角线()。
A.有可能被交点所平分B.不可能被交点所平分
C.不相等D.不可能互相垂直
5.在梯形中,以下结论:
①两腰相等;②两底平行;③对角线相等;④两底相等,正确的有()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.下列说法错误的是()。
A.线段的重心是线段的中点B.菱形的重心是菱形对角线的交点
C.矩形的重心是矩形两条对称轴的交点D.正方形的重心是正方形内任一点
7.梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=55°,∠C=78°,则∠D=______,∠A=______。
8.梯形ABCD中,AD∥CB,AB⊥BC,∠C=60°,BC=CD=4cm,则AD=______,
AB=_____,S梯形ABCD=_______。
9.直角梯形的一条腰长12cm,这条腰与上底的夹角为135°,则这个梯形的上、下底相
差为______cm。
10.等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm,则等腰梯形的下底角为
________。
(B)能力提高
11.顺次连接等腰梯形各边中点,得到的四边形为()。
A.梯形B.矩形C.菱形D.平行四边形
12.下列命题中,真命题有()。
①有两个角相等的梯形是等腰梯形;
②有两条边相等的梯形是等腰梯形;
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;
④等腰梯形上、下底中点连线,把梯形分成面积相等的两部分。
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.如图10,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18cm,MN=8cm,则AB的长等于()。
A.10cmB.13cm
C.20cmD.26cm
14.如图11所示,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,CE⊥AD,交AD的延长线于E,CF⊥AB,垂足为F。
(1)写出图中相等的线段(已知的相等线段除外)。
(2)选择
(1)中你所写的一组相等线段,说明它们相等的理由。
15.已知:
如图12,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=45°,BE⊥CD于点E,AD=1,CD=
。
求:
BE的长。
(C)趣味数学
有十名会员报名参加了这期的搞家五子棋赛。
规则采取单循环赛制,每两人分别下一场。
霞姐从昨天晚上算到今天上午,终于算出了共要下45场,这大约是不会错的。
令她伤透脑筋的是奖金分配问题。
她想按比赛胜的场数定出等级,例如胜9场的叫9级,全输的叫0级等。
当然有可能出现鼠胜了蛇,蛇胜了大头,大头胜了贼,贼胜了鼠这样的情况,但没有平局。
那么会不会出现十个人同处一个级别的情况?
会不会出现十个人分处两个不同级别的情况,例如五个9级,五个0级;或五个4级,五个5级?
会不会出现十个人分处三个不同级别的情况,例如三个9级,三个6级,四个0级?
会不会出现十个人分处十个不同级别的情况,例如一个9级,一个8级,……,一个0级?
如果没有,请给出证明;如果有,请给出实例。
不忍心看到霞姐为这个问题想到脑浆流一地,列位帮帮她吧。
四、考考你
1.有如下命题:
(1)有两个角相等的梯形是等腰梯形;
(2)有两条对角线相等的梯形是等腰梯形;(3)有两条边相等的梯形是等腰梯形;(4)有两个直角的梯形是直角梯形。
其中不正确的命题有()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=AB=6cm,则等腰梯形ABCD的
周长是______cm。
3.下列说法错误的是()。
A.线段的重心在线段的中垂线上B.菱形的重心是菱形对角线的交点
C.矩形的重心是矩形两条对称轴的交点D.正方形的重心是正方形内任一点
4.梯形ABCD中,AD∥BC,则∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可能是()。
A.4:
6:
2:
8B.2:
4:
6:
8C.4:
2:
8:
6D.8:
4:
2:
6
5.若等腰梯形的两底之差等于一腰的长,那么它的下底角为()。
A.75°B.60°C.45°D.30°
五、课外练习
1.如图13某村计划挖1500m长的水渠,渠道的横断面为等腰梯形,渠道深0.8m,下底宽1.2m,坡角为45°(如图13所示),现计划在30天内完成,假如每个劳力每天能
挖
土,那么每天需要_______个劳力,才能如期完成?
2.在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,CD=5,则AD的长是()。
A.6B.5C.4C.3
3.如图14所示,在直角梯形ABCD中,已知底AD=6cm,BC=11cm,腰CD=12cm,
则这个直角梯形的周长=_____________。
补充习题梯形、重心
【能力拓展】
1.如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点。
(1)求证:
△MDC是等边三角形;
C'
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD')与AB交于一点E,MC即MC',同时与AD交于一点F时,点E、F和点A构成△AEF。
试探究△AEF的周长是否存在最小值。
如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值。
D
A
F
D'
E
C
M
B
图1
2.(2010四川)在△ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,直线l过点O。
过A、B、C三点分别做直线l的垂线,垂足分别是G、E、F,设AG=h1,BE=h2,CF=h3。
(1)如图2-1,当直线l⊥AD时(此时点G与点O重合)。
求证:
h2+h3=2h1;
(2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直。
①如图2-2,当点B、C在直线l的同侧时,猜想
(1)中的结论是否成立,请说
明你的理由;
②如图2-3,当点B、C在直线l的异侧时,猜想h1、h2、h3满足什么关系。
(只需写出关系,不要求说明理由)
图2
3.已知:
在△ABC中,AB=10。
(1)如图3-1所示,若点D,E分别是AC,CB的中点,求DE的长。
(2)如图3-2所示,若点A1,A2把AC三等分,B1,B2把BC三等分,求A1B1+A2B2的值。
(3)如图3-3所示,若点A1,A2,…A10把AC边十一等分,B1,B2,…,B10把BC边十一等分,分别交BC边于点B1,B2,…,B10。
根据你发现的规律,直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果。
【课堂小测】每题20分,共5小题,满分100分
1.如图4,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,有如下四个结论:
①AC=BD;②AC⊥BD;③等腰梯形ABCD是中心对称图形;④△AOB≌
△DOC。
则正确的结论是()。
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①②③④
2.如图5,等腰梯形ABCD下底与上底的差恰好等于腰长,DE∥AB。
则∠DEC等于
()。
A.75°B.60°C.45°D.30°
3.如图6,梯形ABCD中,AD∥BC。
∠C=90°,且AB=AD。
连结BD,过A点作BD
的垂线,交BC于E。
如果EC=3cm,CD=4cm,那么,梯形ABCD的面积是
。
4.如图7,已知等腰梯形ABCD的周长是20,AD∥BC,AD<BC,∠BAD=120°,对
角线AC平分∠BCD,则S梯形ABCD
。
5.等腰等腰梯形ABCD的对角线互相垂直,且该梯形的面积为18,则对角线长为。
初二数学讲义第十一讲参考答案(58期)
一、主要知识点回顾
1.平行,不平行;
2.相等;
3.直角;
4.
(1)相等
(2)相等
5.
(1)相等
(2)相等
6.线段的中点;
7.对角线的交点,对角线的交点;
8.三条中线的交点,底边的高线上,每条边的高的交点
二、感悟与实践
例题1:
分析:
可以猜测四边形BCED是等腰梯形。
要说明BCED是等腰梯形必须先说明BCED是梯形,根据梯形的定义,论证DE//BC,同时要说明DB与EC不平行,这一点容易被遗漏。
证明:
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=
,
又∵∠B=∠C=
,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC。
由BD与CE交与点A,
∴BD与CE不平行,∴四边形BCED是梯形。
∵∠B=∠C,∴AB=AC,
又∵AD=AE,∴BD=CE,∴四边形BCED是等腰梯形。
变式练习1:
证明:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。
∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠DBC=∠ECB。
又∵BC=BC,
∴△EBC≌△DCB。
∴BE=CD。
∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD。
∴∠AED=∠ADE。
∴∠ABC=∠AED=
。
∴ED∥BC。
又∵BE与CD交于点A。
∴BE与CD不平行。
从而得四边形EBCD是等腰梯形。
例题2:
分析:
本题考查的是等腰梯形的性质和判定。
解:
∵AB∥CD,∴∠1=∠2。
又∵AC平分∠DAB,∴∠3=∠2=
×60°=30°。
∴∠1=∠3=30°。
DC=AD。
∵ABCD是等腰梯形,
∴∠B=∠DAB=60°。
∴∠ACB=90°。
在Rt△ACB中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC=2AD=2DC。
而AB+BC+CD+DA=5AD=10,
∴AD=2cm,∴AB=2AD=4cm。
变式练习2:
解:
∵AD∥BC∴,∠1=∠2
又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,AD=DC
又AB=DC,得AB=AD=DC=x
在△ADC中,∵∠D=120o,∠1=∠3=
又∠BCD=2∠3=60°
∴∠B=∠BCD=60°∠BAC=180°-∠B-∠2=90°,∠2=30°
则BC=2AB=2x,
,
,AB=4,BC=8
在Rt△ABC中AC=
例题3:
分析:
本题考查的是等腰梯形的性质和判定
解:
AC=CE。
理由:
∵DC∥AB,BE=DC,且E在AB的延长线上,即DC
BE,
∴四边形EBDC是平行四边形。
∴CE=BD。
又∵AD=BC。
∴梯形ABCD为等腰梯形。
∴AC=BD。
故AC=CE。
变式练习3:
证明:
因为DC∥AB,
,所以
又因为BD平分∠ABC,所以
因为DC∥AB,所以
,
所以
,所以CB=CD。
因为CF⊥BD,所以F为BD中点,又因为DE⊥AB,所以DF=BF=EF。
由
,得
,所以△DEF为等边三角形。
例题4:
分析:
本题考查的是重心的性质。
解:
(1)用尺规作图作出△ABC三边的中线AM,BN,CG,设它们的交点为O,则O为△ABC的重心。
(2)通过度量发现:
AO=2OM,BO=2ON,CO=2OG。
猜想:
三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证明:
如图所示,取BO,CO的中点K,H,连接KH,HN,NG,GK。
∵G,N分别是AB,AC的中点,∴GN
BC。
又∵K,H分别是OB,OC边的中点,∴KH
BC。
∴GN
KH。
∴四边形KHNG是平行四边形,
∴GO=OH,NO=KO。
而BK=KO,CH=HO,∴BO=2ON,CO=2OG。
若取AO的中点R,
同理,可证AO=2OM。
故AO=2OM,BO=2ON,CO=2OG。
变式练习4:
分析:
本题考查的是重心的性质。
(1)=
(2)连结AG并延长交BC于F。
∵G是△ABC的重心,∴AF是△ABC的中线,
∵AB=AC,∴AF平分∠BAC。
又∵GD⊥AB,GE⊥AC,∴GD=GE。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.C2.D3.C4.B5.A6.D7.102°125°
8.2cm2
cm6
cm29.6
10.60°
(B)能力提高
11.C12.B13.D
14.解:
(1)CE=CF,DE=BF。
(2)CE=CF。
∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,
∴∠B=∠A=∠EDC。
又∵CE⊥AD,CF⊥AB,
∴∠CFB=∠E=90°。
∴△CFB≌△CED。
∴CE=CF。
15.解:
过D作DF⊥BC于F,在等腰Rt△DFC中,用勾股定理求出FC=2,
所以BC=3,在等腰Rt△BEC中,再由勾股定理求出BE=
。
(C)趣味数学
十种可能有可能为:
9876543210。
各设为9位,8位,7位,6位……0位。
则开始预测级别为:
9876543210,但实际结果可能是一人的分数能从前往后转交给另外的人每人1分也只能给1分。
9种不可能,9876543210无论哪人减一分,后面的人加一分。
就变了两数了。
从前往后加分,各种情况只能一次。
6,0位变:
9875543211。
(8种)
9,0位变:
8875543212。
(7种)
9,1位、9,2位、9,3位变:
5875544322。
(6种)
8,0位变:
5775544323。
(5种)
8,1位变:
5675544333。
(5种)
7,1位变:
5665544334。
(4种)
最后:
5555544444。
(2种)。
即然5555544444存在。
则6555444444也必然存在。
所以3种也存在。
四、考考你
1.B2.303.D4.A5.B
五、课外练习
1.802.B3.42(cm)
初二数学补充讲义第十一讲参考答案(58期)
【能力拓展】
1.分析:
本题考查的是等腰梯形的性质和判定的综合运用
(1)证明:
过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,
∵∠C=∠B=60°
∴CP=BQ=
AB,CP+BQ=AB
又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,故BC=2AD,
由已知,点M是BC的中点,
BM=CM=AD=AB=CD,
即△MDC中,CM=CD,∠C=60°,故⊿MDC是等边三角形。
(2)解:
△AEF的周长存在最小值,理由如下:
连接AM,由
(1)平行四边形ABMD是菱形,△MAB,△MAD和△MC'D'是等边
三角形,
∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°
∴∠BME=∠AMF
在△BME与⊿AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°
∴△BME≌⊿AMF(ASA)
∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=60°,故⊿EMF是等边三角形,EF=MF。
∵MF的最小值为点M到AD的距离
,即EF的最小值是
。
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
△AEF的周长的最小值为2+
。
2.分析:
本题考查的是梯形的判定和梯形的中位线的综合运用
(1)证明:
∵BE⊥l,GF⊥l,
∴四边形BCFE是梯形。
又∵GD⊥l,D是BC的中点,
∴DG是梯形的中位线,
∴BE+CF=2DG。
又O为AD的中点,∴AG=DG,
∴BE+CF=2AG。
即h2+h3=2h1。
(2)成立。
证明:
过点D作DH⊥l,垂足为H,
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠,∠AOG=∠DOH,OA=OD,
∴△AGO≌△DHO,
∴DH=AG。
又∵D为BC的中点,由梯形的中位线性质,
得2DH=BE+CF,即2AG=BE+CF,
∴h2+h3=2h1成立。
(3)h1、h2、h3满足关系:
h2-h3=2h1。
3.分析:
本题考查的是等腰梯形的性质和判定的综合运用。
(1)DE=
AB=5
(2)设A1B1=x,则A2B2=2x。
∵A1,A2是AC的三等分点,B1,B2是BC的三等分点
故由梯形中位线定理,有x+10=4x,解得x=
。
这时A1B1+A2B2=10。
(3)同理可求出A1B1+A2B2+A3B3=15。
A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20,…从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50。
【课堂小测】
1.A2.B3.264.12
m5.6
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