全国高考理科数学试题及答案解析全国卷.docx
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全国高考理科数学试题及答案解析全国卷
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷
5页,23小题,满分
150分。
考试用时
120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用
2B铅笔将
试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按
以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共
12小题,每小题
5分,共
60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合
A={x|x<1},B={x|
3x
1},则
A.
A
B{x|x
0}
B.
A
BR
C.
A
B{x|x
1}
D.
A
B
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.1
B.π
C.1
D.π
4
8
2
4
3.设有下面四个命题
p1:
若复数z满足1
R,则z
R;
p2:
若复数z满足z2
R,则z
R;
z
p3:
若复数z1,z2
满足z1z2R,则z1
z2;
p4:
若复数z
R,则zR.
其中的真命题为
A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
4.记Sn为等差数列
{an}的前n项和.若a4
a5
24,S6
48,则{an}的公差为
A.1
B.2
C.4
D.8
5.函数f(x)在(
)单调递减,且为奇函数.若
f
(1)
1,则满足
1f(x
2)1的x的取值范
围是
A.[
2,2]
B.[1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
6.(1
12)(1
x)6
展开式中x2的系数为
x
A.15
B.20
C.30
D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长
为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10
B.12
C.14
D.16
8.右面程序框图是为了求出满足
3
n
n
的最小偶数
,那么在
和
两个空白框中,可以分别填
-
2
>1000
n
入
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000
和n=n+2
C.A1000和n=n+1
D.A1000和n=n+2
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin(2
x+2π),则下面结论正确的是
3
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π个单位长度,得
6
到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π个单位长度,
12
2
得到曲线C
1
π
1
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得
C.把C上各点的横坐标缩短到原来的
2
6
到曲线C2
D.把C上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度,
1
2
12
得到曲线C2
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线
l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,
直线
l
2与
C
交于
、
E
两点,则||+|
|的最小值为
D
AB
DE
A.16
B.14
C.12
D.10
11.设xyz为正数,且2x
3y
5z,则
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,
开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动
.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列
1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是
20,接下来的两项是
20,21,再接下来的三项是
20,21,22,依此类推。
求满足如下条件的最小整数
N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该
款软件的激活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共
20分。
13.已知向量a,b的夹角为
60°,|a|=2,|b|=1,则|
a+2b|=.
x
2y
1
14.设x,y满足约束条件
2xy
1,则z
3x
2y的最小值为.
x
y
0
15.已知双曲线C:
x2
y2
1(a>0,b>0)的右顶点为
A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线
a2
b2
C
的一条渐近线交于
、
两点。
若∠
=60°,则
C
的离心率为________。
MN
MAN
16.如图,圆形纸片的圆心为
O,半径为
5cm,该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O。
D、E、F为圆O
上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以
BC,CA,AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后,分别以
,
,
为折痕折起△
,△
,△
,使得
、、
重合,得到三棱锥。
当△
的边长变
BCCAAB
DBC
ECA
FAB
DEF
ABC
化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为_______。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
a2
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
17.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量
其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件
数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的
16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
1
16
16
16
经计算得x
xi
9.97,s
1
(xi
x)2
1(
xi
216x2)2
0.212,其中xi为抽取
16i
1
16i1
16
i1
的第i个零件的尺寸,
i
1,2,
16.
用样本平均数
x作为
的估计值
?
,用样本标准差
s作为
的估计值
?
,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?
剔除
(?
3
?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据估计
和
(精确到0.01).
附:
若随机变量
Z服从正态分布
N(,
2),则P(
3
Z
3
)0.9974
,
0.997416
0.9592,
0.008
0.09.
20.(12分)
已知椭圆
:
x
2
y2
(
),四点
1
),
2
(
),
3
3
),4(1,
3)中恰有
C
2
2=1
P
(
1,1
P
0,1
P
(–
1
,
P
a
b
a>b>0
2
2
三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:
l
过定点.
21.(12分)
2xx
已知函数(fx)ae+(a﹣2)e﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共
10分。
请考生在第
22、23
题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程
](10分)
在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
x
3cos
(θ为参数),直线
l的参数方程为
y
sin
xa4t,
(t为参数).
y1t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为
17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:
本题共
12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
13.2
3
14.-5
15.23
16.15cm3
3
三、解答题:
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
a2
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解:
(1)
由题意可得SABC
1bcsinA
a2
,
2
3sinA
化简可得2a2
3bcsin2
A,
根据正弦定理化简可得:
2sin2
A3sinBsinCsin2A
sinBsinC
2
。
3
(2)
sinBsinC
2
3
1
2
由
cosA
cosAB
sinBsinCcosBcosC
,
1
A
3
cosBcosC
2
6
因此可得B
C,
3
将之代入sinBsinC
2
中可得:
sin
C
sinC
3sinCcosC
1sin2C
0,
3
3
2
2
化简可得tanC
3
C
B
,
366
利用正弦定理可得
b
a
3
1
sinB
3
3,
sinA
2
2
同理可得c
3,
故而三角形的周长为
3
23。
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.
(1)证明:
AB//CD,CDPDABPD,
又AB
PA,PA
PD
P,PA、PD都在平面
PAD内,
故而可得
AB
PAD。
又AB在平面PAB内,故而平面PAB⊥平面PAD。
(2)解:
不妨设PA
PD
AB
CD
2a
,
以
中点
O
为原点,
为
x
轴,
为
z
轴建立平面直角坐标系。
AD
OA
OP
故而可得各点坐标:
P0,0,
2a,A
2a,0,0
B
2a,2a,0
C
2a,2a,0
,
因此可得PA
2a,0,
2a,PB
2a,2a,
2a,PC
2a,2a,
2a
,
假设平面PAB的法向量n1
x,y,1,平面PBC的法向量n2
m,n,1,
故而可得
n1
PA
2ax
2a
0
x
1
,即n1
1,0,1
,
n1
PB
2ax
2ay
2a
0
y
0
n2
PC
2am
2an
2a
0
m0
2,1
同理可得
2
,即n2
0,
。
n2
PB
2am
2an
2a
0
n
2
2
因此法向量的夹角余弦值:
cosn1,n2
1
3。
3
3
2
2
很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为
3
。
3
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件
数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的
16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
1
16
16
16
经计算得x
xi
9.97,s
1
(x
x)2
1(
x216x2)2
0.212,其中xi
为抽取
i
16i
1
16i1
16
i1
i
的第i个零件的尺寸,
i
1,2,
16.
用样本平均数
x作为
的估计值
?
,用样本标准差
s作为
的估计值
?
,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?
剔除
(?
3?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据估计
和(精确到
0.01).
附:
若随机变量
Z服从正态分布
N(
2),则P(
3
Z
3
)0.9974,
0.99
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