第四章第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型.docx
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第四章第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型
第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型
【目标要求]1•熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系2掌握匀速圆周运动由周期性
引起的多解问题的分析方法.3•会分析圆周运动的向心力来源,掌握圆周运动的动力学问题的分析方法,掌握圆锥摆模型.
考点一描述圆周运动的物理量
[基础回扣】
1.描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度(V)
1描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
2是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切
1v=页(定义式)=〒(与周期的关系)
2单位:
m/s
角速度(3)
1描述物体绕圆心转动快慢的物理量
2是矢量,但不研究其方向
13=~(定义式)=罕与周期的关系)
2单位:
rad/s
33与v的关系:
v=3r
周期(T)
转速(n)
频率(f)
1周期是物体沿圆周运动一周所用的
时间,周期的倒数为频率
2转速是单位时间内物体转过的圈数
2n1
1T—v—f(与频率的关系)
2T的单位:
s
n的单位:
r/s、r/min
f的单位:
Hz
向心加速
度(an)
1描述线速度方向变化快慢的物理量
2方向指向圆心
巾v224n
1an——3r—丁2r—3v
2单位:
m/s2
2.匀速圆周运动
⑴定义:
如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,所做的运动就是匀速圆周运动.
(2)特点:
加速度大小不变」向始终指向圆心丄变加速运动.
(3)条件:
合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
技巧点拨】
1.对an=与=w2r的理解
在v一定时,an与r成反比;在w—定时,an与r成正比.
2.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动:
如图1甲、乙所示,皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,
即Va=VB.
屮
图1
(2)摩擦传动和齿轮传动:
如图2甲、乙所示,两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边
缘线速度大小相等,即Va=vb.
屮
图2
3A=WB,由v=wr
描述圆周运动物理量的关系
【例1A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,
在相同时间内,它们通过的路程之比是4:
3,
运动方向改变的角度之比是3:
2,则它们(
A.线速度大小之比为4:
3
B.角速度大小之比为3:
C.圆周运动的半径之比为
D.向心加速度大小之比为
答案A
解析时间相同,路程之比即线速度大小之比,
A项正确;运动方向改变的角度之比即对应
2
得半径之比,为8:
9,C项错误;由向心加速度an=半知线速度平方比除以半径比即向心加
速度大小之比,为2:
1,D项错误.
Z厂>圆周运动的多解问题
f例2】(2021湖南长沙市雅礼中学高三月考)如图4所示,M是水平放置的半径足够大的圆盘,绕过其圆心的竖直轴00'匀速转动,规定经过圆心0水平向右为x轴的正方向.在圆
心0正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器,从t=0时刻开始该容器从0点正
上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动,速度大小为v.已知容器在t=0时刻滴下
(重力加速度为g)
图4
第一滴水,以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水,求:
(1)每一滴水经多长时间落到盘面上;
⑵要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上,圆盘转动的角速度3应为多大;
(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.
解析
(1)水滴在竖直方向上做自由落体运动,有
(2)分析题意可知,在相邻两滴水的下落时间内,圆盘转过的角度应为
nMn=1,2,3,…),
n=1,2,3,…).
⑶第二滴水落在圆盘上时到0点的距离为:
X2=v2t=
第三滴水落在圆盘上时到0点的距离为:
X3=v3t=3v"2h,
两点间的距离最大,则:
当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时,
X=X2+X3=
跟进岁1练
1.(传动装置中各物理量的关系)如图5所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为
4:
1:
16,在用力蹬脚踏板前进的过程中,下列说法正确的是()
图5
A.小齿轮和后轮的角速度大小之比为16:
1
B.大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1:
4
C.大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1:
4
D.大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4:
1
答案B
解析小齿轮和后轮是同轴转动装置,角速度大小相等,即32=33,大齿轮与小齿轮是皮带
传动装置,线速度大小相等,即V1=V2,根据v=3r得出空=12=£v^=v^=“=2,向心
32r14v3v3r316
2
va1「21
加速度a=—,则一=一=;,故A、C、D错误,B正确.
ra2r14
2.(圆周运动的多解问题)(2021广东肇庆中学月考)如图6所示为一个半径为5m的圆盘,正绕其圆心做匀速转动,当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候,在其圆心正上方20m
的高度有一个小球正在向边缘的
好落在A点,则()
A点以一定的速度水平抛出,取g=10m/s2,要使得小球正
cA
■
■
图6
A.小球平抛的初速度一定是2.5m/sB.小球平抛的初速度可能是2.5m/sC.圆盘转动的角速度一定是冗rad/s
D.圆盘转动的角速度可能是nrad/s
答案A
解析
根据h=2gt2可得
=2s,则小球平抛的初速度
R
vo=-=2.5m/s,A正确,B错
误;根据3=2nnn=1、2、3、…),解得圆盘转动的角速度w=~~n~=nnn=1、2、3、…),
圆盘转动的加速度为a=32r=n2nr=5n2,(n=1、2、3、…),C、D错误.
考点二圆周运动的动力学问题
[基础回扣】
1.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度,只改变速度的方向丄改变速度的大小.
(2)大小
Fn=
vf
m_
r
m「32=
mwv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力.
(4)来源
向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分力提供.
2.离心运动和近心运动
(1)离心运动:
做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动.
⑵受力特点(如图7)
1当F=0时,物体沿切线方向飞岀,做匀速直线运动.
2当0 3当F>mrw2时,物体逐渐向圆心靠近,做近心运动. ⑶本质: 离心运动的本质并不是受到离心力的作用,而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力. [技巧点拨】 1.匀速圆周运动的实例分析 圆锥摆模型 飞机水平转弯 Ff呗nnfl 火车转弯 X P,=W」.UI;I」Iif 圆锥摆 rihinH 飞车走壁 Fn=rprjfLiJil(f 汽车在水平路面转弯 /汽车 jr F启料 水平转台(光滑) 2.圆周运动动力学问题的分析思路 [例3公路急转弯处通常是交通事故多发地带•如图8,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车 行驶的速率为vo时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处 A•路面外侧低内侧高 B.车速只要低于vo,车辆便会向内侧滑动 C•车速虽然高于vo,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动 D•当路面结冰时,与未结冰时相比,vo的值变小 答案C 解析路面应建成外高内低,此时重力和支持力的合力指向内侧,可以提供圆周运动的向心 力,A错误;车速低于vo,所需的向心力减小,此时可以产生指向外侧的摩擦力,减小提供 的力,车辆不会向内侧滑动,B错误;当车速为vo时,静摩擦力为零,靠重力和支持力的合 力提供向心力,速度高于vo时,摩擦力指向内侧,只要速度不超过最高限度,车辆不会向外 侧滑动,C正确;当路面结冰时,与未结冰时相比,由于支持力和重力不变,故vo不变,D 错误. [例4如图9所示,两个圆锥内壁光滑,竖直放置在同一水平面上,圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°,有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动,下列说法正确的是() 图9 A.A、B球受到的支持力之比为3: 3 B.A、B球的向心力之比为.'3: 1 C.A、B球运动的角速度之比为3: 1 D.A、B球运动的线速度之比为1: 3 答案C 解析设小球受到的支持力为Fn,向心力为F,则有FNSin0=mg,Fna: Fnb=: 3: 1,选项 A错误;F=to%,Fa: Fb=3: 1,选项B错误;小球运动轨道高度相同,则半径R=htan0 Ra: Rb=1: 3,由F=m®2R得wa: wb=3: 1,选项C正确;由v=wR得va: vb=1: 1, 选项D错误. 跟进训练 3.(圆周运动的动力学问题)(2O21海南海口一中高三月考)如图1O所示,内壁光滑的竖直圆桶, 绕中心轴做匀速圆周运动,一物块用细绳系着,绳的另一端系于圆桶上表面圆心,且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动,则() 图10 A•绳的张力可能为零 B.桶对物块的弹力不可能为零 C.随着转动的角速度增大,绳的张力保持不变 D.随着转动的角速度增大,绳的张力一定增大 答案C 解析当物块随圆桶做圆周运动时,绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡,因此绳的 张力为一定值,且不可能为零,故A、D错误,C正确;当绳的水平分力提供向心力的时候, 桶对物块的弹力恰好为零,故B错误. 4.(圆锥摆模型)如图11所示,长度不同的两根轻绳Li与L2,—端分别连接质量为mi和m2 的两个小球,另一端悬于天花板上的同一点0,两小球质量之比mi: m2=1: 2,两小球在同 一水平面内做匀速圆周运动,绳L1、L2与竖直方向的夹角分别为30。 与60°下列说法中正确 的是() A.绳L1、L2的拉力大小之比为 B.小球m1、m2运动的向心力大小之比为1: 6 C.小球m1、m2运动的向心加速度大小之比为1: 6 D.小球m1、m2运动的线速度大小之比为1: 2 答案B 解析小球运动的轨迹圆在水平面内,运动形式为匀速圆周运动,在指向轨迹圆圆心方向列向心力表达式方程,在竖直方向列平衡方程,可得拉力大小ft1=cmgo,°ft2=comgo,。 则f cos30cos60Ft2 3F11一 =g,A选项错误;向心力大小F1=m1gtan30°,F2=m2gtan60。 ,贝U卩2=6,B选项正确; 2 FiF2ai1v ai=m1,a2=m2,则3,c选项错误;由,因连接两小球的悬点距两小球运动平面 的距离相等可知, viaitan30°1、丄十七“ 荷a2tan60壬3,D选项错误. 5. 12所示,当火车以规定的 (火车转弯)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨.如图 行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g, 两轨所在面的倾角为0,则( v2 A.该弯道的半径r=g 图12 B•当火车质量改变时,规定的行驶速度随之改变 C•当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压 D•当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压 答案D 解析火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二 222 定律有: mgtan0=,解得: r=諸赢,故A错误;根据牛顿第二定律有: mgtanA士, 解得: v=.grtan0可知火车规定的行驶速度与火车质量无关,故B错误;当火车速率大于v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车有侧压力,轮缘挤压外轨, 故C错误,D正确. |拓展点非匀速圆周运动 物体所受合力不指向圆心,合力产生两个效果: (1)沿半径方向的分力提供向心力,产生向心加速度an,改变速度的方向; ⑵沿切线方向的分力,产生切向加速度at,改变速度的大小,当at与v同向时,速度增大, 做加速圆周运动,反之,则做减速圆周运动. [例5】(2019江苏南京市月考)如图13所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中 c方向沿半径指向圆心,a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时,下列说法正确的是() 图13 A.当转盘匀速转动时,P所受摩擦力方向为b B.当转盘匀速转动时,P不受转盘的摩擦力 c.当转盘加速转动时,P所受摩擦力方向可能为a D.当转盘减速运动时,P所受摩擦力方向可能为d 答案D 解析转盘匀速转动时,重力和支持力平衡,合外力(摩擦力)提供物块做圆周运动的向心力, 则摩擦力方向为c,故A、B错误;当转盘加速转动时,物块P做加速圆周运动,不仅有沿c 方向指向圆心的向心力,还有指向a方向的切向力,使线速度大小增大,两方向的合力即摩 擦力方向不可能指向a,故C错误;当转盘减速转动时,物块P做减速圆周运动,不仅有沿 c方向指向圆心的向心力,还有指向a的相反方向的切向力,使线速度大小减小,两方向的 合力即摩擦力的方向可能指向d,故D正确. 课时精练 双基巩固练 A绕O点旋转时, 1.(2019浙江嘉兴市期末)如图1所示是某品牌手动榨汁机,榨汁时手柄手柄上B、C两点的周期、角速度及线速度等物理量的关系是() 图1 A.Tb=Tc,vb>vc C.wb>wc,vb=vc 答案B B.Tb=Tc,vb D.wB 解析 由B、c共轴,故 wb=wc,即卩Tb=Tc,又rB 由v=wr知vb 2.(2019山西六校联考)如图2所示,小物块A与圆盘保持相对静止,随圆盘一起做匀速圆周 运动,则下列关于小物块A受力情况的说法中正确的是() A.受重力、支持力和向心力 B•受重力、支持力和指向圆心的摩擦力 C.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力 D.受重力、支持力、指向圆心的摩擦力和指向圆心的向心力答案B 3.(2020浙江杭高5月测试)游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8位同学,如图3 所示,“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动,某时刻甲正好在最高点,乙处于最低点.则 此时甲与乙() 图3 A•线速度相同 B.加速度相同 C.所受合外力大小相等 D•“摩天轮”对他们作用力大小相等 答案C 解析由于“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动,所以甲、乙线速度大小相等,甲线速 度方向向左,乙线速度方向向右,故 A错误;根据a可知,甲、乙加速度大小相等,甲 他们作用力大小不相等,故D错误. 4. 三个齿轮的半径之比为 (2020辽宁丹东市质检)在如图4所示的齿轮传动中, 轮转动的时候,关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点,() 图4 A.A点和B点的线速度大小之比为1: 3 B.A点和B点的角速度之比为1: 1 C.A点和B点的角速度之比为3: 1 D•以上三个选项只有一个是正确的 答案C 解析题图中三个齿轮边缘线速度大小相等,则A点和B点的线速度大小之比为1: 1,由v =可知,线速度一定时,角速度与半径成反比,则A点和B点角速度之比为3: 1,故C 正确,A、B、D错误. 5.(2018浙江11月选考9)如图5所示,一质量为2.0X103kg的汽车在水平公路上行驶,路面 对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4X104N,当汽车经过半径为80m的弯道时,下列判断正确 的是() 图5 A•汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4X104N C.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2 答案D 解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力,向心力是由摩擦力提供的,A错误;汽 v24 车转弯的速度为20m/s时,根据Fn=mR,得所需的向心力为1.0X104N,没有超过最大静摩擦力,所以汽车不会发生侧滑,B、C错误;汽车安全转弯时的最大向心加速度为am=三= 7.0m/s2,D正确. 6.(2021江苏无锡市期中)在空间站中,宇航员长期处于失重状态.为缓解这种状态带来的不 适,科学家设想建造一种环形空间站,如图6所示.圆环绕中心匀速旋转,宇航员站在旋转 舱内的侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力.已知地球表面的重力加速 度为g,圆环的半径为r,宇航员可视为质点.以下说法正确的是() 图6 A•宇航员处于平衡状态 B.宇航员的向心加速度大小应为g C.旋转舱绕其轴线转动的角速度大小应为gr D•旋转舱绕其轴线转动的线速度大小应为 答案B 解析旋转舱中的宇航员做匀速圆周运动,圆环绕中心匀速旋转使宇航员受到与在地球表面 时相同大小的支持力作用,向心加速度大小应为g,合力指向圆心,宇航员处于非平衡状态.设 角速度为3,则w2r=g,3=: g,设线速度为v,则*=g,v=.gr,B正确. 7.(2021江苏溧水二高、秦淮中学、天印中学期中联考)有一种杂技表演叫“飞车走壁”,由 杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶,做匀速圆周运动•如图7所示,图 中虚线表示摩托车的行驶轨迹,轨迹离地面的高度为h,下列说法中正确的是() B.h越高,摩托车做圆周运动的线速度将越小 C.h越高,摩托车做圆周运动的周期将越大 D.h越高,摩托车做圆周运动的向心力将越大答案C 解析摩托车做匀速圆周运动,合外力完全提供向心力,所以摩托车在竖直方向上受力平衡, 有Fncos0=mg, 可知侧壁对摩托车的支持力与高度h无关,根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力不变, 2 A错误;根据牛顿第二定律可知mgtan0=m^, 解得v=.grtan0, 高度h越大,r越大,摩托车做圆周运动的线速度越大,B错误;根据牛顿第二定律可知mgtan 高度h越大,r越大,摩托车做圆周运动的周期越大, C正确;摩托车做圆周运动的向心力 大小为mgtan0,大小不变,D错误. 8.(2019天津市南开区下学期二模)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外,还受到重力和机翼的升力,机翼的升力垂直于机翼所在平面向上,当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图 8所示),以保证重力和机翼升力的合力提供向心力.设飞机以速率v在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动时机翼与水平面成0角,飞行周期为T.则下列说法正确的是() 周期T不一定增大,故D错误. 9•如图9所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金 属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运 动(圆锥摆)•实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用•设因阻力作用,小 球Q的运动轨道发生缓慢的变化 (可视为一系列半径不同的圆周运动)•下列判断正确的是 A.小球Q的位置越来越高 B.细线的拉力变小 C.小球Q运动的角速度变大 D.P受到桌面的静摩擦力变大答案B 解析由于小球受到空气阻力作用, 线速度减小,则所需要的向心力减小,小球做近心运动, 小球的位置越来越低,故A项错误;设细线与竖直方向的夹角为0,细线的拉力大小为Ft, 细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图 所示,则有 mg cos0, mgtan0=m v2 Lsin0= mw2Lsin 气阻力作用,线速度减小,0减小,cos0增大,因此,细线的拉力Ft减小,角速度3减小, 故B项正确,C项错误;对金属块P,由平衡条件知, 能力提升练 10.(2019四川成都七中5月测试)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无 摩擦地旋转.一根轻绳穿过P,两端分别连接质量为m-i和m2的小球A、B(mi工m2).设两球 同时做如图10所示的圆锥摆运动,且在任意时刻两球均在同一水平面内,则() A•两球运动的周期之比等于mi: m2 B.两球的向心加速度大小相等 C.球A、B到P的距离之比等于m2: mi D.球A、B到P的距离之比等于mi: m2 答案C 解析对其中一个小球受力分析,其受到重力和绳的拉力Ft,绳的拉力在竖直方向的分力与 重力平衡,设轻绳与竖直方向的夹角为0,则有Ftcos0=mg,拉力在水平方向上的分力提供 、4n 向心力,设该小球到P的距离为I,则有FTSin0=mgtan0=m^rlsin0,解得周期为T= 因为任意时刻两球均在同一水平面内,故两球运动的周期相等,选项 A错误;连接两球的绳的张力Ft相等,由于向心力为Fn=FTSin0=mw2lsin0,故m与I成反 ■ 比,即~m,又小球的向心加速度a=32htan0=(^j^htan0,故向心加速度大小不相等,选 丨2miI 项C正确,B、D错误. 11•如图11所示,直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动.一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒,从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为 h,重力加速度为g,则() A.子弹在圆筒中的水平速度为 B.子弹在圆筒中的水平速度为 C.圆筒转动的角速度可能为3=2 D•圆筒转动的角速度可能为3=3 答案 解析子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度 h的时间相同,即 ,故A、B错误;在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍,即 3=(2n+1)nn =0,1,2, …),所以 2n+1ng 3=t=(2n+1)2h(n=0,1,2, …),故D正确, C错误. 12.(2019江苏宿迁市2月调研)如图1
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- 第四 圆周运动 描述 圆锥 模型