计算坐标与坐标方位角地基本公式.docx
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计算坐标与坐标方位角地基本公式
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二计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐
标,控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。
下面
介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式,这些公式是矿山
测量工中最基本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边
长计算待定点的坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图 5—5 所示,已知 A 点的坐标为 xA 、 y A ,A 到 B 的
边长和坐标方位角分别为 S AB 和α AB ,则待定点 B 的坐标为
xB = xA + ∆xAB
yB = y A + ∆y AB
}
(5—1)
式中
∆xAB
、 ∆y AB ——坐标增量。
由图 5—5 可知
∆xAB = S AB cosα AB
∆y AB = S AB sin α AB
}
(5—2)
式中
S AB ——水平边长;
α AB ——坐标方位角。
将式(5-2)代入式(5-1),则有
xB = xA + S AB cosα AB
yB = y A + S AB sin α AB
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}
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(5—3)
当 A 点的坐标 xA 、 y A 和边长 S AB 及其坐标方位角α AB 为已知
时,就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标。
式(5—
2)是计算坐标增量的基本公式,式(5—3)是计算坐标的
基本公式,称为坐标正算公式。
从图 5—5 可以看出 ∆xAB 是边长 S AB 在 x 轴上的投影长度,
∆y AB 是边长 S AB 在
y 轴上的投影长度,边长是有向线段,是在
实地由 A 量到 B 得到的正值。
而公式中的坐标方位角可以
从 0°到 360°变化,根据三角函数定义,坐标方位角的正
弦值和余弦值就有正负两种
情况,其正负符号取决于坐标方位角所在的象限,如图 5—
6 所示。
从式(5—2)知,由于三角函数值的正负决定了坐
标增量的正负,其符号归纳成表 5—3。
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图 5—5 坐标计算图
5—6坐标增量符号
表 5—3坐标增量符号表
坐标方
所在象限
坐标增量的正
位角
负号
(°)
⊿x ⊿y
0~90
90~180
180~27
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
+
-
-
+
+
-
0
Ⅳ
+
-
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270~36
0
例 1已知 A 点坐标 xA =100.00m, y A =300.10m;边长
s AB =100m,方位角α AB =330°。
求
B 点的坐标 xB 、 yB 。
解:
根据公式(5—3)有
xB = xA + s AB cosα AB = 100 + 100 ⋅ cos 330︒ = 186.1m
yB = y A + s AB sin α AB = 300.1 + 100 ⋅ sin 330︒ = 249.6m
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角
和边长,这种计算称为坐标反算。
由式(5—1)有
∆xAB = xB - xA
∆y AB = yB - y A
(5—4)
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。
在图 5—5 中
}
∆xAB
表示由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量;
∆y AB 表示由
A 点到 B 点的横坐标之差称横坐标增量。
坐标增
量也有正负两种情况,它们决定于起点和终点坐标值的大
小。
在图 5—5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知,需要计算 AB
边的坐标方位角α AB 和边长时 S AB ,
则有
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tanα AB =
yB - y A
xB - xA
=
∆y AB
∆xAB
S AB =
∆xAB
cosα AB
=
∆yAB
sinα AB
}
(5—5)
或
S AB =
(∆xAB )2 + (∆yAB )2
公式(5—5)称为坐标反算公式。
应当指出,使用公式
(5—5)中第一式计算的角是象限角 R,应根据⊿x、⊿y
的正负号,确定所在象限,再将象限角换算为方位角。
因
此公式(5—5)中的第一式还可表示为:
RAB = arctan
yB - y A
xB - x A
= arctan
∆y AB
∆x AB
例 2.已知 xA =300m,
y A =500m, xB =500m, yB =300m,求
A、B
二点连线的坐标方位角α AB 和边长 S AB 。
解:
由公式(5-5)有
RAB = arctan
yB - y A
xB - xA
= arctan
300 - 500
500 - 300
= arctan(-1)
因为 ∆xAB 为正 、 ∆y AB 为负,直线 AB 位于第四象限。
所以
RAB = NW 45︒
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得:
α AB = 360︒ - 45︒ = 315︒
AB 边长为:
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S AB =(xB - xA )2 + ( yB - y A )2 =(500 - 300)2 + (300 - 500)2 = 282.8m
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的
公式,应用十分广泛。
在测量计算时,由于公式中各元素的数字较多,测量规
范对数字取位及计算成果作了规定。
例如图根控制点要求
边长计算取至毫米;角度计算取至秒;坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式(5-2)知,计算坐标增量需要边长和该边的坐标
方位角两个要素,其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的,坐标方
位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。
下面
介绍坐标方位角的推算公式。
如图 5-7 所示,箭头所指的方向为“前进”方向,位于
前进方向左侧的观测角称为左观测角,简称左角;位于前
进方向右侧的角称为右观测角,简称右角。
1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图 5—7 与 5—8 中,已知 AB 边的方位角为α AB ,
β左 为左观测角,需要求得
BC 边的方位角α BC 。
β左 是外业观
测得到的水平角,从图上可以看出已知方位角α AB 与左观测
角 β左 之和有两种情况:
即大于 180°或小于 180°。
图 5—
7 中为大于 180°的情况,图 5—8 中为小于 180°的情况。
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图 5—7 坐标方位角推算图 5—8 坐标方
位角推算
从图 5—7 可知,BC 边的坐标方位角为
α BC = α AB + β左 -180o
从图 5—8 可知,BC 边的坐标方位角为
α BC = α AB + β左 + 180o
综上所述两式则有
α前 = α后 + β左 ± 180o
(5—6)
式(5-6)是按照边的前进方向,根据后一条边的已知
方位角计算前一条边方位角的基本公式。
公式说明:
导线
前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左
观测角,其和大于 180°时应减去 180°,小于 180°时应
加上 180°。
2.观测右角时的坐标方位角计算公式
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从图 5-7或图 5-8 可以看出
β左 = 360o - β右
将该式代入式(5- 6),得
α前 = (α后 - β右 ± 180o) + 360o
当方位角大于 360°时,应减去 360°,方向不变。
所以上
式变为
α前 = α后 - β右 ± 180o
(5—7)
上式说明:
导线中,前一条边的坐标方位角等于后一条
边的坐标方位角减去右观测角,
其差大于 180°时应减去 180°,小于 180°时应加上
180°。
使用式(5-6)与(5-7)时,还应注意相应两条边的前进
方向必须一致,计算结果大于 360°时,则应减去 360°,
方向不变。
例 3图 5-9 为一条支导线,已知 A 点的坐标方位角α BA
=101°28´,导线 A 点的左观测角 β左
=108°32´,M 点的右观
测角
β右
=75°。
试推算坐标方位角
α AM 、α MN 。
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解:
由式(5-6)得
则有
由式(5-7)得
则有
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图 5—9 支导线
α AM = α BA + β左 ± 180o
α AM = 101o28'+108o32'-180o = 30o
αMN = α AM - β右 ± 180o
α MN = 30o - 75o +180o = 135o
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