上海高中高考数学知识点总结大全.docx
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上海高中高考数学知识点总结大全
上海高中高考数学知识点总结(大全)
一、集合与常用逻辑
1.集合概念元素:
互异性、无序性
2.集合运算全集U:
如U=R
交集:
AB{xxA且xB}
并集:
AB{xxA或xB}
补集:
CUA{xxU且xA}
3.集合关系空集A
子集AB:
任意xAxB
ABAABABBAB
注:
数形结合---文氏图、数轴
4.四种命题
原命题:
若p则q逆命题:
若q则p
否命题:
若p则q逆否命题:
若q则p
原命题逆否命题否命题逆命题
5.充分必要条件
p是q的充分条件:
Pq
p是q的必要条件:
Pq
p是q的充要条件:
p?
q
6.复合命题的真值
①q真(假)?
“q”假(真)
②p、q同真?
“p∧q”真
③p、q都假?
“p∨q”假
6.全称命题、存在性命题的否定
M,p(x)否定为:
M,p(X)
M,p(x)否定为:
M,p(X)
二、不等式
1.一元二次不等式解法
若a
0,
ax2
bx
c
0有两实根
(
),则
ax2
bx
c0解集(
)
ax2
bx
c
0解集(
)
(,
)
注:
若a0,转化为a0情况
2.其它不等式解法—转化
xaaxax2a2
xaxa或xax2a2
f(x)
0
f(x)g(x)
0
g(x)
a
f(x)
a
g(x)
f(x)
g(x)(
a
)
1
loga
f(x)
logag(x)
f(x)
0
0
(
)
f(x)
g(x)
a1
3.基本不等式
①a2
b2
2ab
a
b
ab
②若a,bR,则
2
2ab、ab(a
b)2
注:
用均值不等式a
b
2
求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1.奇偶性
f(x)
偶函数
f(
x)
f(x)
f(x)
图象关于y轴对称
f(x)
奇函数
f(
x)
f(x)
f(x)
图象关于原点对称
注:
①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0
③“奇+奇=奇”(公共定义域内)
2.单调性
f(x)
增函数:
或
x1<x2x1>x2
f(x
f(x
1)<f(x2)
1)>f(x
2)
或f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
f(x)减函数:
?
注:
①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3.周期性
T是f(x)周期
f(xT)
f(x)恒成立(常数T
0)
4.二次函数
解析式:
f(x)=ax
2+bx+c,f(x)=a(x-h)
2+k
f(x)=a(x-x
)(x-x
)
1
2
对称轴:
x
b
顶点:
(
b
4ac
b2
)
2a
2a
4a
单调性:
a>0,(
b
]
递减,[
b
)递增
2a
2a
当x
b
4ac
b2
,f(x)
min
4a
2a
2
b=0
奇偶性:
f(x)=ax
+bx+c是偶函数
闭区间上最值:
配方法、图象法、讨论法
---
注意对称轴与区间的位置关系
注:
一次函数
f(x)=ax+b奇函数
b=0
四、基本初等函数
1(a0)an1
n
1.指数式a0
amman
an
2.对数式
loga
N
b
ab
N(a>0,a≠1)
loga
MN
loga
M
loga
N
logaM
logaM
logaN
N
logaMn
nlogaM
logmb
lgb
logab
lga
logma
logabloganbn
1
logba
注:
性质loga1
0
logaa1
alogaN
N
常用对数lgN
log10N,lg2
lg51
自然对数lnN
logeN,lne
1
3.指数与对数函数
y=ax与y=logax
定义域、值域、过定点、单调性?
注:
y=ax与y=logax图象关于y=x对称(互为反函数)
1
4.幂函数
yx2,yx3,yx2
yx1
yx在第一象限图象如下:
五、函数图像与方程
1.描点法
函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)
取
1
0
1
0
特殊点如零点、最值点等
2.图
象变换
平
移:
“左加右减,上正下
负”
y
f(x)
y
f(x
h)
伸缩:
y
f(x)
每一点的横坐标变为原
来的
倍
yf(1x)
对称:
“对称谁,谁不变,对称原点都要变”
y
f(x)
x轴
y
f(x)
y
f(x)
y轴
y
f(x)
y
f(x)
原点
y
f(
x)
注:
yf(x)
直线
x
a
y
f(2a
x)
翻折:
y
f(x)
y
|f(x)|保留x轴上方部分,
并将下方部分沿
x轴翻折到上方
y
y=f(x)
aobcxa
y
o
y=|f(x)|
bcx
yf(x)yf(|x|)保留y轴右边部分,
并将右边部分沿y轴翻折到左边
y
y
y=f(x)
aobcxao
3.零点定理
若f(a)f(b)0,则yf(x)在(a,b)内有零点
y=f(|x|)
bcx
(条件:
f(x)在[a,b]上图象连续不间断)
注:
①f(x)零点:
f(x)0的实根
②在[a,b]上连续的单调函数f(x),f(a)f(b)0
则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0?
六、三角函数
1.概念第二象限角(2k,2k)(kZ)
2
2.弧长
l
r
扇形面积S
1lr
2
3.定义
sin
y
x
y
cos
tan
r
r
x
其中P(x,y)是
终边上一点,POr
4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5.诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
如Sin
(2)sin,cos(/2)sin
6.特殊角的三角函数值
0
6
4
3
sin
0
1
2
3
2
2
2
cos
1
3
2
1
2
2
2
tg
0
3
1
3
3
7.基本公式
同角sin2
cos2
1
sin
tan
cos
3
22
101
010
/0/
和差sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
sin
sin
tan
tan
tan
1
tan
tan
倍角sin2
2sin
cos
cos2
2
2
2
11
2
2tan
cos
sin
2cos
2sin
tan2
2
1cos2
1tan
降幂cos2α=
sin
2α=
1
cos2
2
2
叠加sin
cos
2sin(
)
4
3sin
cos
2sin(
)
6
a)
asin
bcos
a2
b2sin(
)
(tan
b
8.三角函数的图象性质
y=sinxy=cosxy=tanx
图
象
单调性:
(,
)增
(0,)减
(,)增
22
22
sinx
cosx
tanx
值域
[-1,1]
[-1,1]
无
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
周期
2π
2π
π
对称轴
x
k
/2
x
k
无
中心
k
0
/2
k,0
k/2,0
注:
kZ
9.解三角形
基本关系:
sin(A+B)=sinC
cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
sinA
B
cosC
2
2
正弦定理:
a
=
b
c
sinA
=
sinC
sinB
a2RsinA
a:
b:
c
sinA:
sinB:
sinC
余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA(求边)
cosA=
b2
c2
a2
(求角)
2bc
面积公式:
S△=1absinC
2
注:
ABC
中,
?
ABsinAsinB
A+B+C=
a2>b2+c2?
∠A>
2
七、数列
1、等差数列
定义:
an1and
通项:
ana1(n1)d
求和:
Sn
n(a1
an)
1
1)d
2
na1
n(n
2
ac
中项:
b
(a,b,c成等差)
2
性质:
若m
npq,则am
an
apaq
2、等比数列
an1
q(q
0)
定义:
an
通项:
an
a1qn1
na1(q
1)
求和:
Sn
a1(1
qn)
1)
1
(q
q
中项:
b2
ac(a,b,c成等比)
性质:
若m
npq
则aman
apaq
3、数列通项与前n项和的关系
an
s1
a1(n
1)
sn
sn1(n
2)
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法
八、平面向量
1.向量加减
三角形法则,平行四边形法则
AB
BC
AC首尾相接,OB
OC=CB共始点
中点公式:
AB
AC
2AD
D是BC中点
2.向量数量积
a
a
b
cos
y1y2
b=
=x1x2
注:
①a,b夹角:
00≤θ≤1800
②a,b同向:
ab
a
b
3.基本定理a1e12e2(e1,e2不共线--基底)
平行:
a//b
a
b
x1y2
x2y1(b
0)
垂直:
a
b
a
b
0
x1x2
y1y20
模:
a=
x2
y2
2
(ab)2
ab
夹角:
cos
ab
|a||b|
注:
①0∥a
②a
b
c
abc(结合律)不成立
③ab
ac
b
c
(消去律)不成立
九、复数与推理证明
1.复数概念
复数:
z
a
bi(a,b
R),实部a、虚部b
分类:
实数(b0),虚数(b0),复数集C
注:
z是纯虚数
a
0,b0
相等:
实、虚部分别相等
共轭:
z
a
bi
模:
z
a2
b2
zz
2
z
复平面:
复数z对应的点(a,b)
2.复数运算
加减:
(a+bi)±(c+di)=?
乘法:
(a+bi)(c+di)=?
除法:
a
bi
=(a
bi)(c
di)==,
c
di
(c
di)(c
di)
乘方:
i2
1,in
i4kr
ir
3.合情推理
类比:
特殊推出特殊
归纳:
特殊推出一般
演绎:
一般导出特殊(大前题→小前题→结论)
4.直接与间接证明
综合法:
由因导果
比较法:
作差—变形—判断—结论
反证法:
反设—推理—矛盾—结论
分析法:
执果索因
分析法书写格式:
要证A为真,只要证B为真,即证,,,
这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真
注:
常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程
5.数学归纳法:
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(kN*,k1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由
(1)
(2)知这命题对所有正整数n都成立
注:
用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角
范围0,
斜率k
y2
y1
tan
x1
x2
注:
直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角
倾斜角为90时,斜率不存在
2、直线方程
点斜式y
y0
k(x
x0),斜截式ykx
b
两点式y
y1
x
x1,
截距式x
y
1
y2
y1
x2
x1
a
b
一般式Ax
By
C
0
注意适用范围:
①不含直线xx0
②不含垂直x轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系(注意条件)
平行
k1
k2且b1
b2
垂直
k1k2
1
垂直A1A2B1B20
4、距离公式
两点间距离:
|AB|=(x1x2)2(y1y2)2
点到直线距离:
dAx0By0C
A2B2
5、圆标准方程:
(xa)2
(y
b)2
r2
圆心(a,b),半径r
圆一般方程:
x2
y2
Dx
Ey
F
0(条件是?
)
圆心
D,
E
半径r
D2
E2
4F
2
2
2
6、直线与圆位置关系
位置关系
相切
相交
相离
几何特征
r
dr
dr
d
代数特征
△0
△0
△0
注:
点与圆位置关系(x0
a)2
(y0
b)2
r2
点Px0,y0
在圆外
7、直线截圆所得弦长
AB
2
r2
d2
十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆:
|PF
1
|+|PF
|=2a(2a>|F
F|)
2
1
2
双曲线:
|PF1|-|PF
2|=±2a(0<2a<|F1F2|)
抛物线:
与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质(如焦点在
x轴)
椭圆x2
y2
1(a>b>0)
a2
b2
双曲线x2
y2
1
(a>0,b>0)
a2
b2
中心原点
对称轴?
焦点F1(c,0)
、F2(-c,0)
顶点:
椭圆(±a,0),(0,
±b),双曲线(±a,0)
范围:
椭圆-axa,-byb
双曲线|x|
a,y
R
焦距:
椭圆
2c(c=
a2
b2
)
双曲线
2c(c=
a2
b2
)
2a、2b:
椭圆长轴、短轴长,
双曲线实轴、虚轴长
离心率:
e=c/a椭圆0
注:
双曲线x
2
y2
1渐近线y
bx
a
2
b2
a
方程mx2ny2
方程mx2ny2
抛物线y2=2px(p>0)顶点(原点)开口(向右)
1表示椭圆m0,n0.mn
1表示双曲线mn0
对称轴(x轴)
范围x0离心率e=1
焦点F(p,0)
准线x
p
2
2
十二、矩阵、行列式、算法初步
十、算法初步
一.程序框图
程序框名称功能
起止框起始和结束
输入和输出的信息
输入、输出框
赋值、计算
处理框
判断某一条件是否成立
判断框
循环框重复操作以及运算
二.基本算法语句及格式
1输入语句:
INPUT“提示内容”;变量
2输出语句:
PRINT“提示内容”;表达式
3赋值语句:
变量=表达式
4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句
IF条件THENIF条件THEN
语句1语句
ELSE
ENDIF
语句
2
ENDIF
5循环语句
当型循环语句
WHILE条件
DO
直到型循环语句
循环体
循环体
WEND
LOOPUNTIL
条件
当型“先判断后循环”
直到型“先循环后判断”
三.算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法:
到达余数为0
更相减损术:
到达减数和差相等
2、多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+⋯.+a1x+a0的求值
秦九韶算法:
v1=anx+an-
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