高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积基丛点练理.docx
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高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积基丛点练理
2019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积基丛点练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的侧面积与表面积
3,6,10,11
空间几何体的体积
1,2,4,8,10,12,13,14
与球有关的面积、体积问题
5,9
折叠与展开问题
7
1.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( B )
(A)4(B)8(C)16(D)20
解析:
由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底面为一边长为6,高为2的三角形,三棱锥的高为4,所以体积为V=××6×2×4=8.故选B.
2.(xx黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( C )
(A)48(B)56(C)64(D)72
解析:
该组合体由两个棱柱组成,上面的棱柱体积为2×4×5=40,下面的棱柱体积为4×6×1=24,
故组合体的体积为64.
故选C.
3.(xx高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( A )
(A)2π(B)π(C)2(D)1
解析:
所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S=2π×1×1=2π,故选A.
4.(xx青岛模拟)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( D )
(A)2(B)(C)(D)3
解析:
依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且其底面积为×2×(1+2)=3,高为x,
所以其体积V=×3x=3,所以x=3.
5.(xx高考陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( D )
(A)(B)4π(C)2π(D)
解析:
因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,
所以V球=×13=.故选D.
6.(xx江西九江模拟)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为( A )
(A)6+4+2
(B)8+4
(C)6+6
(D)6+2+4
解析:
直观图是四棱锥PABCD,如图所示,
S△PAB=S△PAD=S△PDC=×2×2=2,
S△PBC=×2×2×sin60°=2,
S四边形ABCD=2×2=4,
故此棱锥的表面积为6+4+2.
7.有一根长为3πcm,底面直径为2cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.
解析:
把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3πcm,AB=4πcm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π(cm),
故铁丝的最短长度为5πcm.
答案:
5π
8.(xx高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积为 m3.
解析:
由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=πm3.
答案:
π
9.(xx云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为 .
解析:
设等边三角形的边长为2a,
则V圆锥=·πa2·a=πa3;
又R2=a2+(a-R)2,
所以R=a,
故V球=·(a)3=a3,
则其体积比为.
答案:
10.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m):
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解:
(1)直观图如图所示.
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,
AA1=BE=1,
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
所以BB1=,
所以几何体的表面积
S=S正方形ABCD++2++
=1+2×1+2××(1+2)×1+1×+1
=(7+)(m2).
所以几何体的体积V=×1×2×1=(m3),
所以该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(xx高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )
(A)3π(B)4π(C)2π+4(D)3π+4
解析:
由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,
故其表面积S=2××π×12+π×1×2+2×2=3π+4.
故选D.
12.(xx云南师范大学附属中学高三适应性月考)已知三棱锥OABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上,O是球心,∠AOB=120°,当△AOC与△BOC的面积之和最大时,三棱锥OABC的体积为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:
设球O的半径为R,
因为S△AOC+S△BOC=R2(sin∠AOC+sin∠BOC),
所以当∠AOC=∠BOC=90°时,
S△AOC+S△BOC取得最大值,此时OA⊥OC,
OB⊥OC,OB∩OA=O,
所以OC⊥平面AOB,
所以==OC·OA·OBsin∠AOB=R3sin∠AOB=,故选B.
13.(xx河北质量监测)多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为 cm3.
解析:
由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,
在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰三角形,
设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD⊥平面ABC,
且AD=4,
所以三棱锥DABC的体积
V=S△ABC·AD=××4×4×4=.
答案:
14.(xx杭州模拟)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.
解:
如图所示,在三棱台ABCA′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,
D,D′分别是BC,B′C′的中点,
则DD′是等腰梯形BCC′B′的高,
又A′B′=20cm,AB=30cm,
所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.
S上+S下=×(202+302)=325(cm2).
由S侧=S上+S下,
得75DD′=325,
所以DD′=cm,
又因为O′D′=×20=(cm),
OD=×30=5(cm),
所以棱台的高h=O′O=
=
=4(cm),
由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
V=(S上+S下+)
=×(325+×20×30)
=1900(cm3).
故棱台的体积为1900cm3.
精彩5分钟
1.(xx山西质量监测)某多面体的三视图如图所示,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( A )
(A)2(B)2(C)2(D)
解题关键:
由三视图还原几何体后把几何体补形为长方体后求解.
解析:
由三视图知,该几何体是棱长为2的正方体截去两个角后得到的,几何体的直视图是多面体PABCDEF,如图所示.易知其最长棱为正方体的一条面对角线,其长为2.故选A.
2.(xx山西质量监测)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7π,则三棱柱ABCA1B1C1的体积为 .
解题关键:
确定出球心的位置在上、下底面中心的连线线段的中点.
解析:
如图,设球的半径为R,棱柱棱长为a,N,M分别是上、下底面的中心,
由题意知,外接球球心O为MN的中点,
则OA=R.
由4πR2=7π,
得OA=R=.
易得AM=a,OM=a,
在Rt△OAM中,
由勾股定理,解得a=,
所以该三棱柱的体积为×()2×=.
答案:
2019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积课时训练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的侧面积与表面积
3,6,10,11
空间几何体的体积
1,2,4,8,10,12,13,14
与球有关的面积、体积问题
5,9
折叠与展开问题
7
基础对点练(时间:
30分钟)
1.如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( C )
(A)18(B)12(C)9(D)6
解析:
该几何体为一个斜棱柱(可看作平行六面体),其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边长为3的正方形,高为,故V=3×3×=9.故选C.
2.(xx黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( C )
(A)48(B)56(C)64(D)72
解析:
该组合体由两个棱柱组成,上面的棱柱体积为2×4×5=40,下面的棱柱体积为4×6×1=24,
故组合体的体积为64.故选C.
3.(xx高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( A )
(A)2π(B)π(C)2(D)1
解析:
所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S=2π×1×1=2π,故选A.
4.(xx青岛质检)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( D )
(A)2(B)(C)(D)3
解析:
依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且其底面积为×2×(1+2)=3,高为x,
所以其体积V=×3x=3,所以x=3.
5.(xx高考陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( D )
(A)(B)4π(C)2π(D)
解析:
因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,
所以V球=×13=.故选D.
6.(xx江西九江质检)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为( A )
(A)6+4+2
(B)8+4
(C)6+6
(D)6+2+4
解析:
直观图是四棱锥PABCD,如图所示,
S△PAB=S△PAD=S△PDC=×2×2=2,
S△PBC=×2×2×sin60°=2,
S四边形ABCD=2×2=4,
故此棱锥的表面积为6+4+2.
7.有一根长为3πcm,底面直径为2cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕
2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为
cm.
解析:
把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),
由题意知BC=3πcm,AB=4πcm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π(cm),
故铁丝的最短长度为5πcm.
答案:
5π
8.(xx高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积
为 m3.
解析:
由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=πm3.
答案:
π
9.(xx云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为 .
解析:
设等边三角形的边长为2a,
则V圆锥=·πa2·a=πa3;
又R2=a2+(a-R)2,
所以R=a,
故V球=·(a)3=a3,
则其体积比为.
答案:
10.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m):
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解:
(1)直观图如图所示.
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,
AA1=BE=1,
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
所以BB1=,
所以几何体的表面积
S=S正方形ABCD++2++
=1+2×1+2××(1+2)×1+1×+1
=(7+)(m2).
所以几何体的体积V=×1×2×1=(m3),
所以该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(xx高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )
(A)3π(B)4π(C)2π+4(D)3π+4
解析:
由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,
故其表面积S=2××π×12+π×1×2+2×2=3π+4.
故选D.
12.(xx高考湖南卷)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( A )
(A)(B)
(C)(D)
解析:
原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,
且落在圆锥底面上的面是正方形,
设正方形的边长为a,长方体的高为h,
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- 数学 一轮 复习 第八 立体几何 空间 向量 几何体 表面积 体积 基丛点练理