圆 精炼卷含答案.docx
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圆精炼卷含答案
2018年九年级数学中考专题--圆精炼卷
如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD的延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线.
(2)若CD=2
,OP=1,求线段BF的长.
如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F,连接AF,使∠ABC=2∠CAF.
(1)求证:
AF是⊙O的切线;
(2)若AC=4,CE:
EB=1:
3,求CE的长.
如图,▱ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE,AC,AE.
(1)求证:
△AED≌△DCA.
(2)若DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积.
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)求证:
PD2=PB·PA;
(3)若PD=4,tan∠CDB=0.5,求直径AB的长.
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于F,且CE=CF.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AB=6,BD=3,求AE和BC的长.
如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE.已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π.
(1)求证:
DE∥BC;
(2)若AF=CE,求线段BC的长度.
如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,边BC是⊙O的切线,切点为D,AB经过圆心O并与圆相交于点E,连接AD.
⑴求证:
AD平分∠BAC;
⑵若AC=8,tan∠DAC=0.75,求⊙O的半径.
如图,已知AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:
BD是⊙O的切线;
(2)求证:
CE2=EH·EA;
(3)若⊙O的半径为5,sinA=
求BH的长.
如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:
直线CD是⊙O的切线.
如图,AC是⊙O的直径,BF是⊙O的弦,BF⊥AC于点H,在BF上截取KB=AB,AK的延长线交⊙O于点E,过点E作PD∥AB,PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)若AK=
,tan∠BAH=
,求⊙O半径的长.
如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)求证:
2BC=AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC边上一点,且DA=DC,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,连接DE.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若sinC=0.8,AC=12,求⊙O的直径.
如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.
(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;
(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,
(1)的结论是否还成立?
请说明理由;
(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
参考答案
1.
(1)证明:
∵∠AFB=∠ABC,∠ABC=∠ADC,∴∠AFB=∠ADC,
∴CD∥BF,∴∠AFD=∠ABF,
∵CD⊥AB,∴AB⊥BF,∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:
连接OD,∵CD⊥AB,∴PD=
CD=
,
∵OP=1,∴OD=2,∵∠PAD=∠BAF,∠APO=∠ABF,∴△APD∽△ABF,
∴
=
,∴
=
,∴BF=
.
2.
(1)证明:
连接BD,如图1所示:
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°,∵BA=BC,∴BD平分∠ABC,即∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠CAF,∴∠ABD=∠CAF,
∵∠ABD+∠CAB=90°,∴∠CAF+∠CAB=90°,即BA⊥FA,∴AF是⊙O的切线;
(2)解:
连接AE,如图2所示:
∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°,即△AEB为直角三角形,
∵CE:
EB=1:
3,设CE长为x,则EB长为3x,BC长为4x.则AB长为4x,
在Rt△AEB中由勾股定理可得AE=
,在Rt△AEC中,AC=4,AE=
,CE=x,
由勾股定理得:
,解得:
,∵x>0∴
,即CE长为
.
3.
(1)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB;在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,∠ABE=∠ADC,
∴DC=AE,∠DAE=∠AEB=∠ADC;
在△ADE与△DAC中,DC=AE,∠DAE=∠ADC,AD=DA,∴△AED≌△DCA.
(2)∵DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,AE是☉A的半径,
∴∠AED=90°,∠ADE=∠EDC,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC=∠CDE,∴CD=CE.
由
(1)中结论,可知∠AED=∠DCA=90°,DC=AE=CE,[∴∠ACE=∠EAC.
∵∠CAE+∠BAE=90°,∠ACE+∠ABE=90°,∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE=AB,
∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=60°.∴阴影部分的面积为:
=
π.
4.解:
(1)证明:
连接OD,OC.∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥PC,∴∠OCP=90°.
∵直径AB⊥CD,∴O,P是CD垂直平分线上的点,∴OD=OC,PD=PC.
又∵OP=OP,∴△ODP≌△OCP,∴∠ODP=∠OCP=90°.
又∵OD是⊙O的半径,∴PD是⊙O的切线.
(2)证明:
∵∠ODP=90°,∴∠PDB+∠ODB=90°.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠PDB=∠ADO=∠A.
又∵∠DPB=∠APD,∴△DPB∽△APD,∴PD∶PA=PB∶PD,∴PD2=PB·PA.
(3)∵∠A+∠ABD=90°=∠CDB+∠ABD,∴∠A=∠CDB.
又∵tan∠CDB=0.5,∴tanA=0.5,∴AD=2BD.
∵△DPB∽△APD,∴PD∶PA=PB∶PD=BD∶DA=1:
2.
又∵PD=4,∴PA=8,PB=2,∴AB=6.
5.证明:
(1)连接OC;
∵AE⊥CD,CF⊥AB,又CE=CF,∴∠1=∠2.
∵OA=OC,∴∠2=∠3,∠1=∠3.∴OC∥AE.∴OC⊥CD.∴DE是⊙O的切线.
(2)∵AB=6,∴OB=OC=0.5AB=3.在Rt△OCD中,OD=OB+BD=6,OC=3,
∴∠D=30°,∠COD=60°.
在Rt△ADE中,AD=AB+BD=9,∴AE=0.5AD=4.5.
在△OBC中,∵∠COD=60°,OB=OC,∴BC=OB=3.
6.
(1)证明:
连接OD、OE,
∵AD是⊙O的切线,∴OD⊥AB,∴∠ODA=90°,
又∵弧DE的长度为4π,∴4π=
,∴n=60,
∴△ODE是等边三角形,∴∠ODE=60°,∴∠EDA=30°,∴∠B=∠EDA,∴DE∥BC.
(2)解:
连接FD,∵DE∥BC,∴∠DEF=∠C=90°,∴FD是⊙0的直径,
由
(1)得:
∠EFD=
∠EOD=30°,FD=24,∴EF=12
,
又∵∠EDA=30°,DE=12,∴AE=4
,
又∵AF=CE,∴AE=CF,∴CA=AE+EF+CF=20
,
又∵tan∠ABC=tan30°=
,∴BC=60.
7.解:
(1)连接OD,∵BC是⊙O的切线,∴OD⊥BC∴∠ODB=90°
又∵∠C=90°∴AC∥OD∴∠CAD=∠ADO
又∵OA=OD∴∠OAD=∠ADO∴∠CAD=∠OADAD平分∠BAC
(2)在Rt△ACD中AD=10连接DE,∵AE为⊙O的直径∴∠ADE=90°∴∠ADE=∠C
∵∠CAD=∠OAD∴△ACD∽△ADE∴AE=12.5.∴⊙O的半径是6.25.
8.
(1)证明:
∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,∴∠ODB=∠ABC,
∵OF⊥BC,∴∠BFD=90°,∴∠ODB+∠DBF=90°,
∴∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,∴BD⊥OB,∴BD是⊙O的切线;
(2)证明:
连接AC,如图1所示:
∵OF⊥BC,∴
,∴∠CAE=∠ECB,
∵∠CEA=∠HEC,∴△CEH∽△AEC,∴
,∴CE2=EHEA;
(3)解:
连接BE,如图2所示:
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,
∵⊙O的半径为5,sin∠BAE=
,∴AB=10,BE=ABsin∠BAE=10×
=6,
∴EA=
=
=8,∵
,∴BE=CE=6,∵CE2=EHEA,∴EH=
=
,
在Rt△BEH中,BH=
=
=
.
9.
(1)解:
∵AB是⊙O直径,C在⊙O上,∴∠ACB=90°,
又∵BC=3,AB=5,∴由勾股定理得AC=4;
(2)证明:
∵AC是∠DAB的角平分线,∴∠DAC=∠BAC,
又∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴∠DCA=∠CBA,
又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠OAC+∠OBC=90°,∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切线.
10.解:
(1)连接OE,∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE,∵PD∥AB,∴∠PEA=∠BAE,
∵KB=AB,∴∠AKB=∠BAE,∴∠PEA=∠AKB,
∵BF⊥AC,H为垂足,∴∠OAE+∠AKB=90°∴∠OEA+∠PEA=90°,
即OE⊥PD,∴PD是⊙O的切线;
(2)解:
∵tan∠BAH=
,BF⊥AC,H为垂足,且KB=AB,
在Rt△ABH和Rt△AKH中,设AH=3n,则BH=4n,AB=5n,KH=n,
∴由AH2+KH2=AK2,即(3n)2+n2=(
)2,解得n=1,∴AH=3,BH=4,
设⊙O半径为R,则在Rt△OBH中,OH=R﹣3,
由OH2+BH2=OB2,即(R﹣3)2+42=R2,解得:
R=
,∴⊙O半径的长为
.
11.
12.解:
(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线
(2)∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB
∴BC=OC∴2BC=AB
(3)连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM∴∠
BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB
∴BM:
MC=MN:
BM∴BM2=MC·MN
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4∴BM=
∴MC·MN=BM2=8
13.
(1)证明:
∵AB=AC,AD=DC,∴∠C=∠B,∠1=∠C,∴∠1=∠B,
又∵∠E=∠B,∴∠1=∠E,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,
∴∠E+∠EAD=90°,∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°,∴AE⊥AC,∴AC是⊙O的切线;
(2)解:
过点D作DF⊥AC于点F,如图,
∵DA=DC,∴CF=
AC=3,在Rt△CDF中,∵sinC=
=
,
设DF=4x,DC=5x,∴CF=
=3x,∴3x=3,解得x=1,∴DC=5,∴AD=5,
∵∠ADE=∠DFC=90°,∠E=∠C,∴△ADE∽△DFC,
∴
=
,即
=
,解得AE=
,即⊙O的直径为
.
14.
(1)PN与⊙O相切.证明:
连接ON,则∠ONA=∠OAN,
∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°.即PN与⊙O相切.
(2)成立.证明:
连接ON,则∠ONA=∠OAN,
∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.在Rt△AOM中,
∵∠OMA+∠OAM=90°,∴∠PNM+∠ONA=90°.∴∠PNO=180°﹣90°=90°.即PN与⊙O相切.
(3)解:
连接ON,由
(2)可知∠ONP=90°.
∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,∠OPN=30°,∴∠PON=60°,∠AON=30°.
作NE⊥OD,垂足为点E,则NE=ON•sin60°=1×
=
.
S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=
OC•OA+
CO•NE
=
×1×1+
π﹣
×1×
=
+
π﹣
.
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