第2讲全等三角形辅助线旋转与平移.docx
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第2讲全等三角形辅助线旋转与平移
三角形全等辅助线
————旋转与平移
共同的特点:
都有长度相等,且有一端点重合的线段
中点旋转:
A'
C
B
等腰直角三角形,等边三角形旋转
C
B
A
E
B
A
正方形旋转
F
D
C
F
E
D
C
B
A
【精选例题】
旋转中点类
【例1】以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆,
90BADCAE∠=∠=︒连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC∆为直角三角形时,AM与DE的位置关系是;线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰RtABD∆绕点A沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
【例2】(顺义区2009一模第25题)已知:
在RtABC∆中,ABBC=,在RtADE∆中,ADDE=,连
结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.
⑴若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BM、DM的关系并给予证明;
图1
A
B
C
D
E
M
⑵如果将图①中的ADE∆绕点A逆时针旋转小于45︒的角,如图②,那么⑴中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
图2
M
E
D
C
B
A
【例3】在四边形ABCD中,设M,N分别为CD,AB的中点,求证(1
2
MNADBC+≤
,当且仅当ADBC∥时等号成立.
NM
D
C
B
A
【例4】如图所示,在ABC∆的AB边上取两点E、F,使AEBF=,连接CE、CF,求证:
ACBC+>ECFC+.
C
B
AOEF
对角互补类
【例5】如图,90ABC∠=︒,BD为ABC∠的角平分线,将一三角板的直角顶点固定在点D,另外两
边分别交AB,BC于E,F两点,证明:
DEDF=
E
D
A
BC
【例6】如图,
120ABC∠=︒,BD为ABC∠的角平分线,60DEF∠=︒且角的两边分别交AB,BC于E,F两点,证明:
DEDF=
A
B
C
D
【例7】如图,在四边形ABCD中,90ADCABC∠=∠=︒,ADCD=,DPAB⊥于P,若四边形ABCD
的面积为18,求DP的长.
P
D
C
B
A
【例8】直角三角形ABC中9068AABBC∠=︒==,,;P为BC的中点,ABC∆绕着点P逆时针旋转
90︒到DEF∆,求重叠部分PQKR的面积.
【例9】已知,在四边形ABCD中,90ABCADC∠=∠=︒,对角线AC平分BAD∠,在DA的延
长线上任取一点E,连接EC,作1
2
ECFBCD∠=
∠,使CF与AB的延长线交于F,连结EF,请画出完整图形,探究:
线段BF、EF、ED之间具有怎样的数量关系,并说明理由
D
C
B
A
【例10】
(1)如图1,四边形ABCD中,ABCB=,60ABC∠=︒,120ADC∠=︒,请你猜想线段DA、
DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;
图1
D
B
A
(2)如图2,四边形ABCD中,ABBC=,60ABC∠=︒,若点P为四边形ABCD内一点,且120APD∠=︒,请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论.
P
图2
D
CB
A
平移
【例11】如图所示,在ABC∆中,90B∠=︒,M为AB上的一点,且AMBC=;N为BC上的一点,
且CNBM=.连接AN、CM交于点P,求证:
45APM∠=︒.
P
NMC
B
A
【例12】(07年北京中考如图,已知ABC∆
⑴请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外,连结AD、AE,写出使此图中只存..
在两对...
面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
C
BA
⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明ABACADAE+>+.
⑴
D
EC
BA
【例13】如图14-1,ABC△的边BC在直线l上,ACBC⊥,且ACBC=;EFP△的边FP也在
直线l上,边EF与边AC重合,且EFFP=.
(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将EFP△沿直线l向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将EFP△沿直线l向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
A(E)
BC(F)P
l
l
l
BF
C图14-1
图14-2
图14-3
平移加旋转
【例14】如图,已知E是正方形ABCD的边AB的中点,∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF
于F。
(1)DE与EF是什么关系?
(不用证明)
(2)若E为AB上的任意一点(点A、B除外),结论
(1)还成立吗?
若成立,给出证明,若不成立,请说明理由。
【例15】(2004年全国初中数学联赛如图,梯形ABCD中,ADBC∥,以两腰AB,CD为一边分别
向两边作正方形ABGE和DCHF,连接AD的垂直平分线l交线段EF于点M.求证:
点M为EF的中点.
M
l
H
F
D
E
B
A
旋转不变性
08年北京中考真题1.中点倍长
08年宣武二模
25.已知正方形ABCD和等腰RtBEF∆,BE=EF,∠BEF=90︒,按图1放置,使点F在BC上,取DF的中点G,联结EG、CG.
(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明;
(2)将图1中△BEF绕B点顺时针旋转45︒,再联结DF,取DF中点G(如图2),问
(1)中的结论是否仍然成立?
证明你的结论;
(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0︒到90︒之间),再联结DF,取DF的中点G(如图3),问
(1)中的结论是否仍然成立?
证明你的结论.
图1图图3
DAGFECBGF
ECBADDGF
ECBA
2.旋转拼凑09崇文一模
08朝阳一模
探究操作题
(江苏盐城)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置
关系为,数量关系为.②当点D在线段BC
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF
相交于点P,求线段CP长的最大值.
ABCEF第28题图图甲图乙FEAECB图丙
08年门头沟二模
25.如图,把一副三角板如图1放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15
得到△D/CE/如图2.这时AB与CD/相交于点O,D/E/与AB相交于点F.
(1)求∠OFE/的度数;
(2)求线段AD/的长.(3)若把三角形D/CE/绕着点C顺时针再旋转30
得△D//CE//,这时点B在△D//CE//的内部、外部、还是边上?
证明你的判断.
ACE图
1
图1
08东城一模
25.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=900,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.
(1)如图1,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果);
(2)如图2,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若2BDCD=,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E,设CF=(1xx>,两块三角板重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系,并写出自变量x
的取值范围.
08年石景山二模
25.我们做如下的规定:
如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变,则把这样的三角形称为三角形板.
把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起,使三角形板DEF的顶点D与三角形板
ABC的AC边中点O重合,把三角形板ABC固定不动,让三角形板DEF绕点O旋转,设射线DE与
射线AB相交于点M,射线DF与线段BC相交于点N.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△ADM∽△CND.此时,AM·CN=.
(2)将三角形板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为
α.其中090α<<,问AM·CN的值是否改变?
说明你的理由.
(3)在
(2)的条件下,设AM=x,两块三角形板重叠面积为y,求y与x的函数
关系式.(图2,图3供解题用)
图2
图3
图1
A
BC
M
N
D(O
A
M
N
E
F
E
A
线段和差问题08海淀一模
25.已知:
如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q.
(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个);
(2)当满足什么条件时,有AQ+BC=CQ,请证明你的结论;
(3)当点Q在AD的什么位置时,可证得PC=3PQ,并写出解答过程.
等分面积题
08石景山一模
25.阅读下面问题的解决过程:
问题解决:
如图③,已知四边形ABCD,过点B作一直线(不必写作法),使其等分四边形ABCD的面积,并证明.
ABC
D
P
新定义型
(07北京中考真题)我们知道:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形
.
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图,在ABC∆中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于O,若60A∠=︒,
12DCBEBCA∠=∠=
∠,请你写出图中一个与A∠相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边
形;
(3)在ABC∆中,如果A∠是不等于60º的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且
12DCBEBCA∠=∠=
∠,探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
08年房山二模七、解答题(本题满分7分)23.四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图l,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则点P为四边形ABCD的准等距点.(1如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.(2如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法.(3如图4,在四边形ABCD中,P是AC上的点,PA≠PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求证:
点P是四边形ABCD的准等距点.21
延伸类题目25.如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上,ÐFMH=120,MH与六边形ÐABC外角的平分线BQ交于H点.
(1)当点M不与点A、B重合时,求证:
∠AFM=∠BMH;
(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.FCQHAMBN°ED22
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- 全等 三角形 辅助线 旋转 平移
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