完整word版高中数学函数求参数范围高三专题复习函数专题docx.docx
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高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习
2018年高三专题复习-函数专题(4)
一、变换“主元”思想,适用于一次函数型
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思
考,往往会使问题降次、简化。
例1.对于满足0p4的一切实数p,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,求x的取值范围.
分析:
习惯上把x当作自变量,记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p0,4时
y>0恒成立,求x的范围.若把x与p两个量互换一下角色,即p视为变量,x为常量,则
上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解:
设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,当x=1显然不满足题意.由题设知当0p4时f(p)>0恒成立,
∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0,解得x>3或x<-1.∴x的取值范围为x>3或
x<-1.
例2.对任意
a[
1,1]
,不等式
x
2
(
a
4)
x
4
2
0恒成立,求
x
的取值范围。
a
答案:
(
1)
(3,
)。
例3.若不等式2x
1
m(x2
1),对满足2
m
2所有的x都成立,求x的取值范围。
1
7
1
3
2
,
2
答案:
注:
一般地,一次函数
f(x)
kx
b(k
0)在[
f(
)
0
]上恒有f(x)0的充要条件为
)
。
f(
0
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题,如果能够将不等式进行同解变形,将不等式中的变量
和参数进行分离,即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边,然后通过求函数的值域
的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
1
例1.若对于任意角
总有sin2
2m
cos
4m
1
0成立,求m的范围.(注意分式求最值
得方法)
分析与解:
此式是可分离变量型,由原不等式得
m(2cos
4)
cos2
,
又cos
2
0,则原不等式等价变形为
2m
cos2
恒成立.即2m必须小于
cos2
的最小
cos
2
cos
2
值,问题化归为求
cos2
的最小值.因为
cos2
(cos
2)2
4(cos
2)4
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
4
44
4
0
即cos
0时,有最小值为
0,故m
0.
2
cos
例2.已知函数f(x)
ax
4x
x2,x
(0,4]时f(x)
0恒成立,求实数a的取值范围。
解:
将问题转化为a
4x
x2
对x
(0,4]恒成立。
x
令g(x)
4x
x2
,则a
g(x)min
x
由g(x)
4x
x2
4
1
可知g(x)在(0,4]上为减函数,故g(x)min
g(4)
0
x
x
∴a0即a的取值范围为(
0)。
例3.已知二次函数f(x)ax2
x,如果x∈[0,1]时|f(x)|
1,求实数a的取值范围。
解:
x∈[0,1]时,|f(x)|
1
1
f(x)
1,即1
ax2
x
1
①当x=0时,a∈R
ax2
x
1
a
1
1
1
1
②当x∈(0,1]时,问题转化为
ax
2
x
x2
x恒成立,即求
x2
x的
1恒成,由
u(x)
1
1
1
1
2
1
1
x
2
x
x
2
x(0,1],[1,),u(x)
最大值。
设
4。
因
x
为减函数,所以当x=1
时,u(x)max
2,可得a
2。
1
1
1
1
1
1
1
2
1
由a
v(x)
1
x2
x恒成立,即求x2
x的最小值。
设
x2
x
x
2
4。
因
2
1
x(0,1],[1,),v(x)
时,v(x)min
0,可得a≤0。
x
为增函数,所以当x=1
由①②知
2a0。
评析:
一般地,分离变量后有下列几种情形:
①f(x)≥g(k)[f(x)]min≥g(k)②f(x)>g(k)g(k)<[f(x)]min
③f(x)≤g(k)[f(x)]max≤g(k)④f(x) 三、数形结合 1)f(x) g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方; 2)f(x) g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。 例1.设x [ 4,0],若不等式 x x ) 4x1 a 恒成立,求 a 的取值范围. (4 3 分析与解: 若设函数y1 x(4 x),则 y (x 2)2 y12 4(y1 0),其图象为上半圆.设函数 y2 y2 4x 1 a,其图象为直线.在同一坐标系内作出函数图 y1 3 4 O x 象如图, 依题意要使半圆恒在直线下方,只有圆心(2,0) 到直线 4x 3y 3 3a | 83 3a| 2且1 a 0时成立,即a的取值范围为a 5. 0的距离d 5 例2.当x(1,2)时,不等式(x-1)2 分析: 若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可以 采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a的取值范 围。 y=(x-1) 2 1 y 解: 设T1: f(x)=(x1)2,T2: g(x) logax,则T1的图象为 y2=logax 右图所示的抛物线,要使对一切x (1,2), 1 f(x) 立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方,显然a>1,并且o 2 x 3 必须也只需g (2) f (2) 故loga2>1,a>1, 1 四、分类讨论 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类 讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件。 例1.当x[2,8] 时,不等式log 2a2 1x 1恒成立,求a的取值范围. 解: (1)当 2a2 1 1时,由题设知 1 1 x恒成立,即 1 xmin,而x [2,8] ∴ 1 2a2 2a2 1 2 解得a ( 1) (1, ) 2a2 1 (2)当0 2a2 1 1时,由题设知 1 1 x恒成立,即 1 xmax,而x [2,8] ∴ 2a2 2a 2 1 1 8 解得a ( 3 2 ( 2 3 的取值范围是 2a2 ) ).∴a 1 4 2 2 4 a( 1) (3, 2) (2,3) (1, ). 4 2 2 4 五、二次函数类型 ㈠R上恒成立问题 设f(x) ax2 bxc(a 0), (1)f(x) 0在x R上恒成立 a 0且 0; (2)f(x) 0在x R上恒成立 a 0且 0。 例1.对于x∈R,不等式x2 2x 3 m0恒成立,求实数m的取值范围。 解: 不妨设f(x) x2 2x3 m,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使f(x)0(x R), 只需 0,即 (2)2 4(3m) 0 ,解得m 2 m (,2]。 变形: 若对于x∈R,不等式mx2 2mx 3 0恒成立,求实数m的取值范围。 此题需要对m的取值进行讨论,设f(x) mx2 2mx3。 ①当m=0时,3>0,显然成立。 ②当m>0时,则△<0 0m 3。 ③当m<0 时,显然不等式不恒成立。 由①②③知m [0,3)。 4 例2.不等式2x2 2mx m 1,对一切x恒成立,求实数m的取值范围. 4x2 6x 3 解: ∵ 4x2 6x 3 (2x 3 )2 3 0 在R上恒成立, 2 4 ∴2x2 2mx m 1 2 x 2 2 mx m 4 x 2 6 x 3 2x 2 (6 2m)x 3 m 0 , x R 4x2 6x 3 ∴ (6 2m)2 8(3 m)0,解得1 m 3故实数m的取值范围是1 m 3. 例3.已知函数y lg[x2 (a 1) x a2]的定义域为R,求实数a的取值范围。 解: 由题设可将问题转化为不等式 x2 (a 1)x a2 0 对x R恒成立, 即有 ( a 1)2 4 2 0 解得a 1或a 1 。 a 3 1, 所以实数a的取值范围为( 1) ( )。 3 ㈡二次函数在闭区间上恒成立问题 设f(x) ax2 bx c(a 0) (1)当a b b b 0时,f(x) 0在x [ ]上恒成立 2a 或 2a 或 2a , f( ) 0 0 f() 0 f(x) 0在x [ ]上恒成立 f( ) 0 f( ) 0 (2)当a 0时,f(x) 0在x [ ]上恒成立 f( ) 0 f( ) 0 b b b f(x) 0在x [ ]上恒成立 2a 或 2a 或 2a f( ) 0 0 f() 0 例1.设f(x) x2 2 mx 2,当x [1, )时,f(x) m恒成立,求实数m的取值范围。 解: 设F(x) x2 2mx 2 m,则当x [ 1, )时,F(x) 0恒成立 y 当 4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1时,F(x) 0显然成立; x 当 0时,如图,F(x) 0 恒成立的充要条件为: -1 O x 5 0 F (1)0解得3m2。 综上可得实数m的取值范围为[3,1)。 2m 2 1 六、构造函数(有时需要移项和分离) 1)f(x)a恒成立 a f(x)min 2)f(x) a恒成立 a f(x)max 例1.已知f(x) 7x2 28x a,g(x) 2x3 4x2 40x,当x [ 3,3]时,f(x) g(x)恒成立, 求实数a的取值范围。 解: 设F(x)f(x) g(x)2x3 3x2 12x c, 则由题可知F(x) 0 对任意x [ 3,3]恒成立 令F'(x) 6x2 6x 120,得x 1或x2 而F (1) 7a,F (2) 20a,F( 3) 45 a,F(3) 9 a, ∴F(x)max 45 a 0 ∴a45即实数a的取值范围为[45, )。 例2.函数f(x) x2 2xa,x [1, ),若对任意x [1, ),f(x) 0恒成立,求实数a的 x 取值范围。 解: 若对任意x [1, ),f(x) 0恒成立, 即对x[1, ),f(x) x2 2x a 0 恒成立, x 考虑到不等式的分母x [1, ),只需x2 2x a 0在x [1, )时恒成立而得 而抛物线g(x)x2 2x a在x [1, )的最小值gmin(x) g (1) 3a 0得a 3 注: 本题还可将f(x)变形为f(x) x a 2 ,讨论其单调性从而求出 f(x)最小值。 x 1 1 1 1 1 2对于一切大于 例3.已知不等式 2 3 loga(a 1) 1的自然数n都 n 1 n n 2n 12 3
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