专题06不等式-直击2020新高考数学多选题.doc
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专题六不等式
一、知识梳理
1.“三个二次”之间的关系
所谓三个二次,指的是①二次函数图象及与x轴的交点,②相应的一元二次方程的实根;③一元二次不等式的解集端点,解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化.
2.规划问题
(一)简述规划问题的求解步骤.
(1)把问题要求转化为约束条件;
(2)根据约束条件作出可行域;
(3)对目标函数变形并解释其几何意义;
(4)移动目标函数寻找最优解;
(5)解相关方程组求出最优解.
(二)关注非线性:
(1)可类比线性约束条件,以曲线定界,以特殊点定域.
(2)的几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率,的几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)的距离等.
3.基本不等式
利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:
一正;二定;三相等.
一.跟踪训练
1.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
A.若ab>0,bc-ad>0,则->0;
B.若ab>0,->0,则bc-ad>0;
C.若bc-ad>0,->0,则ab>0.
D.如果a>b>0,c>d>0,则bc>bd.
【答案】A,B,C,D
【解析】对于A,∵ab>0,bc-ad>0,-=>0,∴A正确;对于B,∵ab>0,又->0,即>0,∴B正确;对于C,∵bc-ad>0,又->0,即>0,∴ab>0,∴C正确;对于D,⇒ac>bd.,D正确,故选A,B,C,D
2.若0<a<b<1,则下列选项正确的是( )
A.a3<b2B.2a<3b C.log2a>log3bD.loga2<logb3
【答案】A,B
【解析】对于A:
a3<a2<b2,正确;
对于B:
2a<3a<3b,正确;
对于C:
log2a<log3b,错误;
对于D:
不妨令a=,b=,则loga2﹣logb3=2﹣3=﹣=>0,
故loga2>logb3,错误.故选A,B.
3.若a<b<0,则下列结论中不恒成立的是( )
A.|a|>|b|B.>C.a2+b2>2abD.()2>
【答案】D
【解析】a<b<0时,|a|>|b|,A正确;
ab>0,∴>0,∴<,即<,∴>,B正确;
a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2>0,∴a2+b2>2ab,C正确;
﹣=﹣==﹣<0,
∴<,D错误.故选D.
4.若实数x,y,满足2y=x+z(x≠y≠z),下列四个不等式正确的有()
A.|y﹣x+|≥2B.x3y+y3z+xz3≤x4+y4+z4C.y2>xzD.xy+yx+xz≥x2+y2+z2
【答案】A,B,C.
【解析】因为2y=x=z,
所以设y﹣x=z﹣y=k,
则z﹣x=2k,对于Ay﹣x+=||≥2,所以A成立;
对于B:
x3y+y3z+xz3﹣x4﹣y4﹣z4=x3(y﹣x)+y3(z﹣y)+z3(x﹣z)
=k(x3+y3﹣2z3)=k[(x3﹣z3)+(y3﹣z3)]
=k[(x﹣z)(x2+xz+z2)+(y﹣z)(y2+yz+z2)]
=﹣k2[2≤0,所以B成立;
对于C:
=>0,所以C成立.
对于D:
取x=1,y=2,z=3,xy+yz+xz=11,x2+y2+z2=14,
所以D不成立,故选A,B,C.
5.若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是( )
A.ab有最大值B.+有最小值 C.+有最小值4D.a2+b2有最小值
【答案】A,C
【解析】∵a>0,b>0,且a+b=1;∴;∴;
∴ab有最大值,∴选项A正确;
,,∴的最小值不是,∴B错误;
,∴有最小值4,∴C正确;
a2+b2≥2ab,,∴a2+b2的最小值不是,∴D错误.故选A,C.
6.下列四个解不等式,正确的有()
A.不等式2x2-x-1>0的解集是(-∞,1)∪(2,+∞)
B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是
C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7 D.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为-1 【答案】B,C,D 【解析】对于A: ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),∴由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0, 解得x>1或x<-,∴不等式的解集为∪(1,+∞).故A错误; 对于B,∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0, ∴(2x-1)(3x+2)≥0,∴x≥或x≤-.故B正确; 对于C: 由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根. ∴-7×(-1)=,故a=3.正确 对于D: 依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1,正确. 7.设正实数a,b满足a+b=1,则( ) A.有最小值4B.有最大值 C.有最大值D.a2+b2有最小值 【答案】A,B,C,D 【解析】正实数a,b满足a+b=1,即有a+b≥2,可得0<ab≤, 即有+=≥4,即有a=b时,+取得最小值4,无最大值; 由0<≤,可得有最大值; 由+==≤=, 可得a=b时,+取得最大值; 由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1, 则a2+b2≥,当a=b=时,a2+b2取得最小值. 综上可得A,B,C,D均正确. 8.设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) A.a+b+B. C.D.(a+b)()≥4 【答案】A,C,D 【解析】∵a>0,b>0, ∴,当且仅当a=b且2=即a=b=时取等号;故A成立 ∵>0,∴当且仅当a=b时取等号, ∴不一定成立,故B不成立, ∵=,当且仅当a=b时取等号, ==a+b﹣,当且仅当a=b时取等号, ∴,∴,故C一定成立, ∵(a+b)()=2+≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立,故选A,C,D. 9.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0). A.若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},则k=-的值; B.若不等式的解集为{x|x∈R,x≠},则k= ; C.若不等式的解集为R,则k<-.; D.若不等式的解集为∅,则k≥. 【答案】A,C,D 【解析】对于A: 因为不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},所以k<0,且-3与-2是方程kx2-2x+6k=0的两根, 所以(-3)+(-2)=,解得k=-.故A正确;对于B: 因为不等式的解集为{x|x∈R,x≠}, 所以解得k=-.故B错误; 对于C: 由题意,得解得k<-.故C正确; 对于D: 由题意,得解得k≥.故D正确. 10.下列不等式证明过程正确的是( ) A.若a,b∈R,则 B.若x>1,y>1,则 C.若x<0,则 D.若x<0,则 【答案】B,D 【解析】A不正确,因为a、b不满足同号,故不能用基本不等式. B正确,因为lgx和lgy一定是正实数,故可用基本不等式. C不正确,因为x和不是正实数,故不能直接利用基本不等式. D正确,因为2x和2﹣x都是正实数,故成立,当且仅当2x=2﹣x相等时(即x=0时),等号 成立.故选B,D. 5 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
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