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最新届湖南省雅礼中学高考模拟三理科数学试题及答案优秀名师资料
2013届湖南省雅礼中学高考模拟(三)理科数学试题及答案
长沙市雅礼中学2013届高考模拟卷
(三)
数学(理科)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟,满分
150分。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2,i
1(在复平面内,复数对应的点位于1,i
()
A(第一象限B(第二象限
C(第三象限D(第四象限
2(如图,桌上放着一摞书和一只茶杯,下面的几幅图所观察的角度是俯视图的是()
ABCD
3(命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是
()
A若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
124(“m<1”是“函数f(x)=x-x+m存在零点”的4
()
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5(在直角梯形ABCD中,已知BC?
AD,AB?
AD,AB,4,BC,2,AD
?
?
4,若P为CD的中点,则PA?
PB的值为
()
A(,5B(,4C(4D(5
xa6(已知函数f(x),a,f(x),x,f(x),logx(其中a>0,且a?
123a
1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图像,正确的是()
222xyy27.设椭圆,1和双曲线x,1的公共焦点分别为F、F,P,,122m3
为这两条曲线的一个交点,则|PF|?
|PF|的值为12()
A(3B(23C(32D(26
|sin|x,,,,,(),8(方程有且仅有两个不同的实数解,则以下,,kk(0)x
有关两根关系的结论正确的是
()
sincos,,,,sincos,,,,,B(A(
cossin,,,,sinsin,,,,,C(D(
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分。
把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上。
(一)选做题:
本题共三道小题,考生任选两题作答,若全做按前两小题记分。
CD9((选修4—1:
几何证明选讲)如图,已知圆中两条弦与相AB交于点,是延长线上一点,:
:
=4:
2:
1且FEABAFFBBE
,若与圆相切,则CEDFCF,,22
线段的长为__________CE
xOy10((选修4—4:
坐标系与参数方程)在直角坐标系中,直线l
4,x,1,t,,,5的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极,3,y,,1,t,5,
π轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ,2cos(θ,),则4直线l被曲线C所截的弦长为._________.
xyz,,,23211((选修4—5:
不等式选讲)若实数、、满足,yxz
222则的最小值为._________.xyz,,
(二)必做题:
12(如图所示,程序运行后输出的结果是(
i=6,r=1,n=25
WHILEn>10
n=n-r
i=i+1
r=nmodi
WEND
PRINTn+i+r
END
ABC,,ABC6sin4sin3sinABC,,cosB,13(若?
的内角,满足,则
16,,则二项式14(设的展开式中的常数项等axdx,axsin(),0x
于.
{1,2,3,4,5}15在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起
,(,)ab点的向量,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向
t量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为,
t则
(1)=
2xt
(2)在区间[1,]和[2,4]分别各取一个数,记为m和n,则方程2m3
2y
,,1表示焦点在x轴上的椭圆的概率=2n
fx()[[]]xx[]x[1.5]16(定义函数,,其中表示不超过x的最大整数,如:
[0n)fx()[1.3],N,1,,,2(当x?
,(n?
)时,设函数的值域
a为A,记集合A中的元素个数为,则
(1);a,n3
a,90n
(2)式子的最小值为(n
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17((本小题满分12分)一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如
下表所示:
AAAAA学生12345
数学(x
8991939597
分)
物理(y
8789899293
分)
(1)请在直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程;
9042
(2)要从名数学成绩在分以上的同学中选人参加一项活动,
90XX以表示选中的同学的物理成绩高于分的人数,求随机变量的分布列及数学期望的值(E(X)
n
xynxy,,iii,1b,(用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)aybx,,n22xnx,,ii,1
y(物理成绩)
94,
9,290,,88,
89999x(数学成绩)O91357图4
18((本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,EABCD,BCEAB,
A2,,,平面,,(BCEDC,BCEABBCCECD,,,,223
(?
)求证:
平面平面;ADE,ABE
D(?
)求二面角的大小(AEBD,,
EB
C
n19((本小题满分12分)定义:
称为个正数ppp,,,,,n12nppp,,,,,,12n
1a的“均倒数”(若已知数列的前项的“均倒数”为(n,,n21n,
a(?
)求数列的通项公式;,,n
nd(?
)设,试求数列的前项和(da,,2Tn,,nnnn
20.(本小题满分13分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作MA)的变化情况来决定买入或卖出股票。
股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的MA均线
近期走得很有特点:
如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系,xoy则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近拟地用解析式yaxb,,,,,sin()(0),,,,来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好
lx:
34,关于直线对称,老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F。
A(0,22),现在老张决定取点点B(12,19),点D(44,16)
ab,,,,,来确定解析式中的常数,并且已经求得,.,72
ab,,,(I)请你帮老张算出,
(II)老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股,到
见顶处F点的价格全部卖出,求出DEF段的解析式,并计
算不计其它费用,这次操作他能赚多少元,
22xyC,,,,1(0)ab21((本小题满分13分)已知椭圆的方程为,点22ab
AB、A分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点为FF、12
OBABB圆心,为半径作圆;以点为圆心,为半径作圆;若直线AF1
153ABlyx:
,被圆和圆截得的弦长之比为;63
C
(1)求椭圆的离心率;
a,7
(2)己知,问是否存在点P,使得过P点有无数条直线被圆A和
3圆B截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的P点坐标;若不存4
在,请说明理由(
aa,R22.(本小题满分13分)已知,函数,fxx()ln1,,,x
xgxxex()ln1,,,(其中为自然对数的底数)(e,,
fx()0,e
(1)求函数在区间上的最小值;,,
ygx,()xe,0,
(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与yxx,,,00
轴垂直?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由(x0
长沙市雅礼中学2013届高考模拟卷(三)
数学(理科)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟,满分
150分。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2,i
1(在复平面内,复数对应的点位于1,i
A(第一象限B(第二象限
C(第三象限D(第四象限【参考答案】D
2(如图,桌上放着一摞书和一只茶杯,下面的几幅图所观察的角度是俯视图的是()
ABCD【参考答案】B;
3(命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是A若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D若f(-x)不是奇函数,则f(x)
不是奇函数
【参考答案】B;
12m存在零点”的()4(“m<1”是“函数f(x)=x-x+4
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A
5(在直角梯形ABCD中,已知BC?
AD,AB?
AD,AB,4,BC,2,AD
?
?
4,若P为CD的中点,则PA?
PB的值为
A(,5B(,4
C(4D(5【参考答案】D
xa6(已知函数f(x),a,f(x),x,f(x),logx(其中a>0,且a?
123a1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图像,正确的是()
【参考答案】B
222xyy27.设椭圆,1和双曲线x,1的公共焦点分别为F、F,P,,122m3
为这两条曲线的一个交点,则|PF|?
|PF|的值为12
A(3B(23
C(32D(26【参考答案】A
|sin|x,,,,,(),8(方程有且仅有两个不同的实数解,则以下,,kk(0)x
有关两根关系的结论正确的是
sincos,,,,sincos,,,,,A(B(
cossin,,,,sinsin,,,,,C(D(【解析】:
依题意可知x,0(x不能等于0),令y=|sinx|,y=kx,12然后分别做出两个函数的图象(
因为原方程有且只有两个解,所以y与y仅有两个交点,而且第二21
个交点是y和y相切的点,12
即点(θ,|sinθ|)为切点,因为(-sinθ)′=-cosθ,所以切线的斜率k=-cosθ(而且点(φ,sinφ)在切线y=kx=-cosθx上(2
于是将点(φ,sinφ)代入切线方程y=xcosθ可得:
sinφ=-φcos2
θ(
【参考答案】B;
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分。
把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上。
(一)选做题:
本题共三道小题,考生任选两题作答,若全做按前两小题记分。
CD9((选修4—1:
几何证明选讲)如图,已知圆中两条弦与相AB
交于点,是延长线上一点,:
:
=4:
2:
1且FEABAFFBBE
,若与圆相切,则CEDFCF,,22
线段的长为__________7CE
xOy10((选修4—4:
坐标系与参数方程)在直角坐标系中,直线l
4,x,1,t,,,5的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极,3,y,,1,t,5,
π轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ,2cos(θ,),则4
7
直线l被曲线C所截的弦长为._________.5
xyz,,,23211((选修4—5:
不等式选讲)若实数、、满足,yxz
2
222则的最小值为._________.xyz,,7
(二)必做题:
12(如图所示,程序运行后输出的结果是(
i=6,r=1,n=25
WHILEn>10
n=n-r
i=i+1
r=nmodi
WEND
PRINTn+i+r
END
【参考答案】28
ABC,,ABC6sin4sin3sinABC,,cosB,13(若?
的内角,满足,则
11【参考答案】16
1614(设的展开式中的常数项等,,则二项式axdx,axsin(),0x
于.
【参考答案】-160
{1,2,3,4,5}15在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起
,(,)ab点的向量,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向
t,则量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为
t
(1)=
2xt
(2)在区间[1,]和[2,4]分别各取一个数,记为m和n,则方程2m3
2y
,,1表示焦点在x轴上的椭圆的概率=2n
(2,1)(4,1),,(,)ab(2,3)(2,5)解析:
?
以原点为起点的向量有、、、、
2(4,3)(4,5)、共6个,可作平行四边形的个数个,tnC,,156
t区间[1,]为[1,5],322xy
又?
方程,,1表示焦点在x轴上的椭圆,?
m>n.22mn
由题意知,在矩形ABCD内任取一点P(m,n),求P点落在阴影部分
1
的概率,易知直线m,n恰好将矩形平分,?
p,.2
fx()[[]]xx[]x[1.5]16(定义函数,,其中表示不超过x的最大整数,如:
[0n)fx()[1.3],N,1,,,2(当x?
,(n?
)时,设函数的值域
a为A,记集合A中的元素个数为,则
(1);
(2)a,n3
a,90n式子的最小值为(n
[01)fx()[[]]xx[0]x,解:
当x?
,时,,,,0;
[12)fx()[1]x,[[]]xx[]x当x?
,时,,,,,1;
5[23)[23)[2fx()[[]]xx当x?
,时,再将,等分成两段,x?
,时,,)2
[2]x[2]x,,,
5[3)fx()[2]x[[]]xx[2]x,,4;?
,时,,,,,5(所以(xa,432
[34)[34)类似地,当x?
,时,还要将,等分成三段,又得3个函
[45)[0数值;将,等分成四段,得4个函数值,如此下去(当x?
,
an)fx()N(n?
)时,函数的值域中的元素个数为,1,1,2,3,4n
nn
(1),1182a,90n911n()n,,„,(n,1),1,,于是,,,,,22nn22n
a,901n,所以当n,13或n,14时,的最小值为13(2n
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证
明过程或演算步骤。
17((本小题满分12分)一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如
下表所示:
AAAAA学生12345
数学(x
8991939597
分)
物理(y
8789899293
分)
(1)请在直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的
回归方程;
9042
(2)要从名数学成绩在分以上的同学中选人参加一项活动,
90XX以表示选中的同学的物理成绩高于分的人数,求随机变量的
分布列及数学期望的值(E(X)
n
xynxy,,iii,1b,(用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)aybx,,n22xnx,,ii,1
y(物理成绩)【答案】
(1)散点图如右图所示(
989,91,93,95,974,93==,x9,5287,89,89,92,93990y==,0,,5858,2222(,),(,4),(,2),0xx,i89999x(数学成绩)1i,O9135722图4,2,4,40,
5
(x,x)(y,y),(,4),(,3),(,2),(,1),0,(,1),2,2,4,3,30,,iii,1
30,,b,,0.75bx,69.75aybx,,,20.2540
ˆ故这些数据的回归方程是:
yx,,0.7520.25
0X12
(2)随机变量的可能取值为,,
2112C1CC2C12222;;PX(0)=,,PX
(2)=,,PX
(1)=,,222C6C6C3444
X故的分布列为:
0X12
121p636
1121=++=0,2,1,?
EX()636
18((本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,EABCD,BCEAB,
A2,,,平面,,BCE(DC,BCEABBCCECD,,,,223
(?
)求证:
平面平面;ADE,ABE
D(?
)求二面角的大小(AEBD,,
EB
C
【答案】(?
)证明:
取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF,
A则2OFBA//
?
AB?
平面BCE,CD?
平面BCE,?
2CDBA,//
F?
OFCD,?
OC?
FD//
?
BC=CE,?
OC?
BE,又AB?
平面BCE.
DE?
OC?
平面ABE.?
FD?
平面ABE.B
O从而平面ADE?
平面ABE.
C(?
)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等,由(?
)知二面角F—EB—D的平面角为?
FOD。
03BC=CE=2,?
BCE=120,OC?
BE得BO=OE=,OC=1,?
OFDC为正方形,?
?
FOD=,45:
?
二面角A—EB—D的大小为(45:
解法2:
取BE的中点O,连OC.?
BC=CE,?
OC?
BE,又AB?
平面BCE.
以O为原点建立如图空间直角坐标系O,xyz,
A0,3,2B0,3,0E0,3,0,,则由已知条件有:
,,C1,0,0,D1,0,1,,,,,,,,,,,
设平面ADE的法向量为,nxyz,,,,,z111,,,,,An,xyz,,0,23,2,则由?
EA,,,2320.yz,,,,11111
,,,,nxyz,,1,3,1,,及?
DA,,,,,xyz30.,,,,111111F,n,0,1,3,可取,,
又AB?
平面BCE,?
AB?
OC,OC?
平面ABE,DE,,Bm?
平面ABE的法向量可取为,.1,0,0,,yO,,,,,,nmnm,0,1,3,?
?
?
=0,?
?
,?
平面ADE?
平面ABE.„„61,0,0C,,,,
x分,,(?
)设平面BDE的法向量为,pxyz,,,,,222,,,,,,,xyz,,1,3,1,ED则由?
,,,xyz30.p,,,,222222
,,,,,,,,xyz,,0,23,0,,EB及?
可取1,0,1,,,230.ypp,,,,,,2222
,m?
平面ABE的法向量可取为,1,0,0,,,,,,||mp,2,,,,?
锐二面角A—EB—D的余弦值为=,2||||mp,
45?
二面角A—EB—D的大小为(
n19((本小题满分12分)定义:
称为个正数ppp,,,,,n12nppp,,,,,,12n
1a的“均倒数”(若已知数列的前项的“均倒数”为(n,,n21n,
a(?
)求数列的通项公式;,,n
nd(?
)设,试求数列的前项和(da,,2Tn,,nnnn
n1,解:
(?
)由已知得aaan,,,,,,,2112n
?
,,,,,,,,,aaannS21,,12nn
n,2n,1当时,当时也成立,aSSn,,,,41nnn,1
?
,an41n
23nT,,,,,,,,,,,,,32721124n12(?
)
(1),,n
2341n,232721124n12T,,,,,,,,,,,,,
(2),,n
231nn,,,,,,,,,,,,,,Tn64(222)412由
(1)-
(2)得,,n
n,1Tn,,,,45210,,n
20.(本小题满分13分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作MA)的变化情况来决定买入或卖出股票。
股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的MA均线
,近期走得很有特点:
如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近拟地用解析式yaxb,,,,,sin()(0),,,,来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好
lx:
34,关于直线对称,老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F。
A(0,22),现在老张决定取点点B(12,19),点D(44,16)
ab,,,,,来确定解析式中的常数,并且已经求得,.,72
ab,,,(I)请你帮老张算出,
(II)老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股,到
DEF见顶处F点的价格全部卖出,求出段的解析式,并计
算不计其它费用,这次操作他能赚多少元,
?
CD,(23444,16),,?
C(24,16)l(?
)关于直线对称点坐标为即,解:
22sin,,ab,?
,,CAB把、、的坐标代入解析式,得19sin(),,,ab?
,6,
,16sin(),,,ab?
,3,
,?
?
,得,a[sin()sin]3,,,,,,6
,?
?
,得,a[sin()sin]6,,,,,,3
,,?
,,,,,2sin()2sinsin()sin,,,,63
33?
,,,,,,,cos3incossins,22
333?
,,,,,,,
(1)cos(3)sin3
(1)sin,222
3,,5tan?
,,?
0,,,,b,19,,代入?
,得,?
,,,,366
5,?
,ab6,19a,6再由?
,得,,.,,6
,5ABC
(2)由
(1),段的解析式为,,,,yx6sin()19726
,5DEF由对称性得,段的解析式为,,,,,yx6sin[(68)]19726
,,5x,92x,92解得,当时,股价见顶?
,,x(68),?
FF7262
5000(2516)45000,,,y,,,61925,,故这次操作老张能赚元.F
22xyC,,,,1(0)ab21((本小题满分13分)已知椭圆的方程为,点22ab
AB、分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点A为FF、12
OB圆心,为半径作圆A;以点B为圆心,为半径作圆B;若直线AF1
153ABlyx:
,被圆和圆截得的弦长之比为;63
C
(1)求椭圆的离心率;
a,7
(2)己知,问是否存在点P,使得过P点有无数条直线被圆A和
3BP圆截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的点坐标;若不存4
在,请说明理由(
y
?
?
OFBxAF21
3l150:
k,,解:
(1)由,得直线的倾斜角为,l3
alA则点到直线的距离,da,:
:
sin(180150)12
a2222Lacdac,,,,,,2()2()()lA故直线被圆截得的弦长为,112
lLaa,:
:
2cos(180150)3B直线被圆截得的弦长为,2
a222()()ac,,15L1521据题意有:
,即,,,6L63a2
2化简得:
,(5分)163270ee,,,
71解得:
或,又椭圆的离心率;e,e,e,(0,1)44
1C故椭圆的离心率为(e,4
L
(2)假设存在,设P点坐标为,过P点的直线为;(,)mn
LL当直线的斜率不存在时,直线不能被两圆同时所截;
L故可设直线的方程为,ynkxm,,,()
7k,km,nD,L则点到直线的距离,A(,7,0)
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