中考数学复习隐形圆问题大全后有专题练习无答案.docx
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中考数学复习隐形圆问题大全后有专题练习无答案
2019中考数学复习隐形圆问题大全
一定点+定长
1.依据:
到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用:
(1)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,求BD的长。
简析:
因AB=AC=AD=2,知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上,由AB∥CD得DE=BC=1,易求BD=
。
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是 .
简析:
E为定点,EB′为定长,B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆,作穿心线DE得最小值为
。
(3)ΔABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为 .
简析:
先确定A、B点的位置,因AC=2,所以C点在以A为圆心,2为半径的圆上;因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1:
√2缩小而得,所以把圆A旋转45度再1:
缩小即得O点路径。
如下图,转化为求定点A到定圆F的最长路径,即AF+FO=3
。
二定线+定角
1.依据:
与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,定角为圆周角的弧。
2.应用:
(1)矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是CD上的动点,当∠APB=90°时求DP的长.
简析:
AB为定线,∠APB为定角(90°),P点路径为以AB为弦(直径)的弧,如下图,易得DP为2或8。
(2)如图,∠XOY=45°,等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,AB=2,那么OC的最大值为 .
简析:
AB为定线,∠XOY为定角,O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧,如下图,转化为求定点C到定圆M的最长路径,即CM+MO=
+1+
。
(3)已知A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时,则点C的坐标为_____.
简析:
作ΔABC的处接圆M,当∠ACB最大时,圆心角∠AMB最大,当圆M半径最小时∠AMB最大,即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
如下图,易得C点坐标为(0,2
)或(0,-2
)。
(4)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0,2),交轴于点A、B,(A点在点左侧),顶点为D.
①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;
②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;
③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
简析③:
定线BC对定角∠BPC=∠BAC,则P点在以BC为弦的双弧上(关于BC对称),如下图所示。
三三点定圆
1.依据:
不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.应用:
ΔABC中,∠A=45°,AD⊥BC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。
简析:
作ΔABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12。
四四点共圆
1.依据:
对角互补的四边形四个顶点共圆(或一边所对两个角相等)。
2.应用:
如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
简析:
因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°,知D、F、C、E、P共圆,如下图,由∠1=∠2、∠4=∠5,易得ΔAPD∼ΔDCF,CF:
AP=CD:
AD,得CF=1.5。
五旋转生圆
1.如图,圆O的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以为AB边作正方形ABCD(点D、P在直线两侧),若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____。
简析:
CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定,一是最远点距离为PC,二是最近点距离为P到直线CD的垂线段,从而确定两个圆,CD即为两圆之间的圆环,如下图。
2.如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=5cm,AC=2cm,将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置,则线段AB扫过区域的面积为_____。
简析:
扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。
六动圆综合
1.动圆+定弦:
依据直径是圆中最长的弦,知此弦为直径时,圆最小。
如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为 .
简析:
图中显然O、E、F、B共圆,圆是动的,但弦BO=5,当BO为直径时最小,所以EF最小为5.
2.动圆+定线:
相切时为临界值。
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B、C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是 。
简析:
因DA=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与BC相切时,半径DE最小。
E向B点移动半径增大直至D到B处(不含B点),得2≤AD<3。
3.动弦+定角:
圆中动弦所对的角一定,则当圆的直径最小时此弦长最小。
已知:
△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,D、E分别为AB、AC边上的一个动点,过D分别作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,过E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,连FG、HI,
求证:
FG与HI的最小值相等。
简析:
可以看HI何时最小,因B、H、E、I共圆,且弦HI所对圆周角一定,所以当此圆直径最小时弦HI最小,即当BE最小时,此时BE⊥AC,解△OHI可得HI的最小长度。
同样可求FG的最小长度。
此题可归纳一般结论:
当∠ABC=α,∠ACB=β,BC=m时,FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。
达标测试:
1.BC=AC=6,∠BCA=90°,∠BDC=45°,AD=2,求BD.
2.如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD,连接CD,BD,则∠BDC的度数为 .
3.如图,在边长为2√3的等边△ABC中,动点D、E分别在BC、AC边上,且保持AE=CD,连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为____.
4.如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证:
FE=DE.
5.当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何观赏最理想吗?
如图,设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米,最低点Q距地面2米,观察者的眼睛E距地面1.6米,当视角∠PEQ最大时,站在此处观赏最理想,则此时E到墙壁的距离为 米.
6.如图直线y=x+2分别与x轴,y轴交于点M、N,边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点,直线AN与MC交于点P,若正方形OABC绕点O旋转一周,则点P到点(0,1)长度的最小值是____.
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