《建立一元二次方程模型》教案01.docx
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《建立一元二次方程模型》教案01
《建立一元二次方程模型》教案
教学目标
1、使学生了解一元二次方程的意义
2、使学生认识一元二次方程的一般形式,并会熟练地把一元二次方程化成一般形式.
3、能够根据具体问题中的数量关系,列出方程。
教学重点
建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程的一般形式,能够根据具体问题的数量关系,列出方程。
教学难点
把实际问题转化为一元二次方程的模型;在一元二次方程化成一般形式后,如何确定一次项和常数项。
教学方法
自主探究法
教学内容及过程
备注
一、创设问题情景
问题1:
绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
分析:
我们已经知道可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程
x(x+10)=900
整理可得
x2+10x-900=0.
(1)
问题2:
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析:
设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程
5(1+x)2=7.2,
整理可得
5x2+10x-2.2=0.
(2)
二、探索方程特点
通过以上的分析和思考,问题1和问题2分别归纳为解方程
(1)和
(2),显然,这两个方程都不是一元一次方程,我们先来研究这两个方程与一元一次方程有什么异同点,以后再研究如何解决这类方程。
问题3:
以上两个方程与一元一次方程的区别在哪里?
问题4:
他们有什么共同点呢?
对于问题3和问题4,组织学生分组讨论,然后选代表发言,交流后达成共识。
三、归纳、探索
问题5:
你能类比一元一次方程给上面两个方程起个名称吗?
(一元二次方程)
问题6:
根据以上讨论的结果,你能给一元二次方程下个定义吗?
归纳为:
整式方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常写成如下一般形式:
ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
提问:
分别说出方程
(1)
(2)的二次项系数、一次项系数和常数项。
四、例题讲解:
例1 把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
例2下列方程,哪些是一元二次方程?
哪些是一元一次方程?
(1)2x+3=5x-2
(2)x2=25
(3)(x-1)(x-2)=x2+6 (4)(x+2)(3x-1)=(x-1)2
课堂练习:
P4练习1、2、3
五、课堂小结:
1、什么样的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式怎么表示?
3、一元二次方程二次项系数可以是任意实数吗?
4、如何确定一元二次方程一次项系数和常数项?
六、作业:
教材P4 T1(A组) 教材P5 T1(B组)
教学后记:
第 2 课时
课题
一元二次方程的解法
(1)
课型
新授课
教学目标
1、会用直接开平方法解形如(a≠0,ab≥0)的方程;
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换元方法。
教学重点
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程。
教学难点
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程。
教学方法
自主探究法
教学内容及过程
备注
一、创设问题情景
问:
怎样解方程x2=4的?
解:
1、直接开平方,得x=±2
所以原方程的解是x1=2,x2=-2
2、原方程可变形为
x2-4=0
方程左边分解因式,得
(x+2)(x-2)=0
所以x+2=0,x-2=0
原方程的解x1=2,x2=-2
二、例题讲解与练习巩固
1、例1解下列方程
(1)(x+1)2-4=0;
(2)12(2-x)2-9=0.
分析:
两个方程都可以转化为(a≠0,ab≥0)
的形式,从而用直接开平方法求解.
解:
(1)原方程可以变形为
(x+1)2=4,
直接开平方,得
x+1=±2.
所以原方程的解是 x1=1,x2=-3.
另解:
原方程可以变形为
________________________,
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1=________,x2=_________.
2、说明:
(1)这时,只要把看作一个整体,就可以转化为(≥0)型的方法去解决,这里体现了整体思想。
3、练习一解下列方程:
(1)(x+2)2-16=0;
(2)(x-1)2-18=0;
(3)(1-3x)2=1;(4)(2x+3)2-25=0.
三、讨论、探索:
解下列方程
(1)(x+2)2=3(x+2)
(2)2y(y-3)=9-3y
(3)(x-2)2-x+2=0 (4)(2x+1)2=(x-1)2
(5)。
练习:
教材P8练习题
四、本课小结:
1、对于形如(a≠0,a≥0)的方程,只要把看作一个整体,就可转化为(n≥0)的形式用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解。
五、作业:
教材P19 T1、2
教学后记:
第 3 课时
课题
一元二次方程的解法
(2)
课型
新授课
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”的化归的思想。
教学重点
掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点
用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学方法
自主探究法
教学内容及过程
备注
一、复习引入
1、提问:
(1)解一元二次方程的基本思路是什么?
(2)现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程:
9(1-3x)2=25
二、创设问题情景
1、说一说:
因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论:
因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想:
展示课本1.1节问题二中的方程0.01t2-2t=0,这个方程能用因式分解法解吗?
三、探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答课本1.1节问题二。
解得t1=0,t2=200
t1=0表明小明与小亮第一次相遇;t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
四、例题讲解
1、例1解下列方程
(1)5x2+15x=0;
(2)x2=4x.
2、让学生讨论教材P9“说一说”中的问题。
3、例2 解下列方程
(1)x(x-5)=3x;
(2)2x(5x-1)=3(5x-1).
解:
(1)原方程可化为x(x-5)-3x=0
把方程左边因式分解,得x(x-5-3)=0
∴x=0或x-5-3=0
即x1=0 x2=8
(2)原方程可化为2x(5x-1)-3(5x-1)=0
把方程左边因式分解,得(5x-1)(2x-3)=0
∴5x-1=0或2x-3=0
即x1=1/5 x2=3/2
五、应用新知
练习:
P10
六、小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
先把一个一元二次方程变形,使它有一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,然后使每一个一次因式等于0,分别解这两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时,千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式,否则可能丢失方程的一个根。
七、思考与拓展
用因式分解法解一元二次方程。
议一议:
对于含括号的一元二次方程,应如何变形,再用因式分解法解。
(1)2(3x-2)=(2-3x)(x+1)
(2)(x-1)(x+3)=12
八、作业:
教材P19 T2
教学后记:
第 4 课时
课题
一元二次方程的解法(3)
课型
新授课
教学目标
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.
2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。
3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能。
教学重点
使学生掌握配方法,解一元二次方程。
教学难点
把一元二次方程转化为
教学方法
合作探究法
教学内容及过程
备注
一、复习提问
解下列方程,并说明解法的依据:
(1)
(2)(3)
通过复习提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型:
根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果b<0,方程就没有实数解。
如(x-1)2=-2
请说出完全平方公式。
(x+a)2=x2+2ax+a2
(x-a)2=x2-2ax+a2
二、引入新课
我们知道,形如的方程,可变形为,再根据平方根的意义,用直接开平方法求解.那么,我们能否将形如的一类方程,化为上述形式求解呢?
这正是我们这节课要解决的问题.
三、探索:
1、例1、解下列方程:
+2x=5;
(2)-4x+3=0.
思 考:
能否经过适当变形,将它们转化为( )2=a的形式,应用直接开方法求解?
解:
略
三、归 纳
上面,我们把方程-4x+3=0变形为(x-2)2=1,它的左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后,左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢?
四、试一试:
对下列各式进行配方:
教材P12 练习T1
通过练习,使学生认识到;配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例2、用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;
(2)x2+3x+1=0.
2、练习:
①.填空:
(1)x2+6x+( )=( )2;
(2)x2-8x+( )=(x- )2
(3)x2+x+()=(x+)2;
②用配方法解方程:
(1)x2+8x-2=0
(2)x2-5x-6=0.
(3)x2+7=-6x
六、本课小结:
让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤:
把常数项移到方程右边,在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;
如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。
七、布置作业:
教材P12 T2
教学后记:
第 5课时
课题
一元二次方程的解法(4)
课型
新授课
教学目标
1、掌握用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程.
2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。
3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能。
教学重点
使学生掌握配方法,解一元二次方程。
教学难点
把一元二次方程转化为
教学方法
合作探究法
教学内容及过程
备注
一、复习提问
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
2、解下列方程x2+x-1=0
讲解教材P13做一做,让学生去思考、去做。
二、引入新课
探究:
如何解一元二次方程2x2-4x-6=0
观察:
这个方程的二次项系数不是1,配方比较麻烦,如何求解?
解:
方程两边同除以2得x2-2x-3=0
移项得x2-2x=3
方程左边配方得x2-2x+12=3+12
即(x-1)2=4
x-1=2 x-1=-2
解得x1=3 x2=-1
三、例题讲解
用配方法解下列方程:
4x2-12x-1=0;
请你和同学讨论一下:
如何应用配方法?
先由学生讨论探索,再教师板书讲解。
解:
(1)将方程两边同时除以4,得x2-3x-=0
移项,得x2-3x=
配方,得x2-3x+()2=+()2 即(x—)2=
直接开平方,得x—=± 所以x=±
所以x1=,x2=
练习:
P15
通过练习,使学生认识到;配方前将一元二次方程中的二次项系数化为1;配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
四、试一试
用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q≥0).
先由学生讨论探索,教师再板书讲解。
解:
移项,得x2+px=-q,
配方,得x2+2·x·+()2=()2-q,
即(x+)2=.
因为p2-4q≥0时,直接开平方,得
x+=±. 所以x=-±,
即x=.
思考:
这里为什么要规定p2-4q≥0?
五、本课小结:
让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤:
1、把常数项移到方程右边,用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1;2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;
如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。
六、布置作业:
P19 T3
教学后记:
第 6课时
课题
一元二次方程的解法(5)
课型
新授课
教学目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义观点。
教学重点
对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学难点
掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程。
教学方法
合作探究法
教学内容及过程
备注
一、复习旧知,提出问题
1、用配方法解下列方程:
(1)
(2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?
二、探索求根公式
问题1:
能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢?
教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:
因为,方程两边都除以,得
移项,得
配方,得
即
问题2:
当,且时,大于等于零吗?
让学生思考、分析,发表意见,得出结论:
当时,因为,所以,从而。
问题3:
在研究问题1和问题2中,你能得出什么结论?
让学生讨论、交流,从中得出结论,当时,一般形式的一元二次方程的根为,即。
由以上研究的结果,得到了一元二次方程的求根公式:
()
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数、、的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
思考:
当<0时,方程有实数根吗?
三、例题讲解
例1、解下列方程:
1、;2、;
3、;4、
教学要点:
(1)对于方程
(2)和(4),首先要把方程化为一般形式;
(2)强调确定、、值时,不要把它们的符号弄错;
(3)先计算的值,再代入公式。
例2、(补充)解方程
解:
这里,,,
因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。
让学生反思以上解题过程,归纳得出:
当时,方程有两个不相等的实数根;
当时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程没有实数根。
四、课堂练习
P19练习。
五、小结:
根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?
通常你是如何选择的?
和同学交流一下。
六、作业:
P19 T4。
教学后记:
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