《第2章+一元二次方程》单元测试.docx
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《第2章+一元二次方程》单元测试
《第2章一元二次方程》2009年单元测试
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一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1、下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A、2x2=3(x﹣1)B、
﹣2=0
C、ax2+bx+c=0D、x2+2x=x3﹣5
2、已知x=3是关于x的方程
x2﹣2a+1=0的一个解,则2a的值是( )
A、11B、﹣6.5
C、13D、﹣13
3、关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根,则( )
A、k<0B、k>0
C、k≥0D、k≤0
4、已知x,y是实数,若xy=0,则下列说法正确的是( )
A、x一定是0B、y一定是0
C、x=0或y=0D、x=0且y=0
5、若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为( )
A、±
B、±1
C、±
D、±
6、若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是( )
A、1,0B、﹣1,0
C、1,﹣1D、无法确定
7、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为( )
A、
B、
C、
D、
8、使分式
的值等于零的x是( )
A、6B、﹣1或6
C、﹣1D、﹣6
9、(2002•金华)方程x(x+1)(x﹣2)=0的解是( )
A、﹣1,2B、1,﹣2
C、0,﹣1,2D、0,1,﹣2
10、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A、x(x+1)=1035B、x(x﹣1)=1035×2
C、x(x﹣1)=1035D、2x(x+1)=1035
二、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分)
11、把一元二次方程(x﹣3)2=4化为一般形式为:
_________ ,二次项为 _________ ,一次项系数为 _________ ,常数项为 _________ .
12、写出一个根为5,一个根为2的一元二次方程 _________ .
13、认真观察下列方程,指出使用何种方法解比较适当:
(1)4x2=5,应选用 _________ 法;
(2)2x2﹣3x﹣3=0,用选用 _________ 法.
14、方程x2﹣16=0的根是 _________ ;方程(x+1)(x﹣2)=0的根是 _________
15、已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1,则k= _________ ,另一根为 _________ .
16、x2+3x+ _________ =(x+ _________ )2.
17、(2001•吉林)方程(x﹣1)(x﹣2)=0的两根为x1,x2,且x1>x2,则x1﹣2x2的值等于 _________ .
18、直角三角形的两直角边是3:
4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是 _________ cm2.
19、若两数和为﹣7,积为12,则这两个数是 _________ 和 _________ .
20、一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时,水上游乐场的面积为20000m2?
列出方程 _________ ,能否求出x的值:
_________ (能或不能).
三、解答题(共5小题,满分0分)
21、解方程
(1)x2=49
(2)3x2﹣7x=0
(3)(2x﹣1)2=9(直接开平方法)
(4)x2+3x﹣4=0(用配方法)
(5)(x+4)2=5(x+4)(因式分解法)
(6)(x+1)2=4x.
22、阅读下面的例题:
(2007甘肃白银3市)阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法:
方法一:
教材中方法
方法二:
∵ax2+bx+c=0,
∴4a2x2+4abx+4ac=0,
配方可得:
∴(2ax+b)2=b2﹣4ac.
当b2﹣4ac≥0时,
2ax+b=±
,
∴2ax=﹣b±
.
当b2﹣4ac≥0时,∴x=
.
请回答下列问题:
(1)两种方法有什么异同?
你认为哪个方法好?
(2)说说你有什么感想?
23、(2006•中山)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
24、(2007•咸宁)某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游.下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话:
邻队:
组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少?
导游:
如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元.
邻队:
超过25人怎样优惠呢?
导游:
如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后,共支付给旅行社2700元.
请你根据上述信息,求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人?
25、(2007•眉山)黄金周长假推动了旅游经济的发展.下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图.
(1)根据图中提供的信息,请你写出两条结论;
(2)根据图中数据,求2002年至2004年的“十•一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率.(精确到0.1)
答案与评分标准
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1、下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A、2x2=3(x﹣1)B、
﹣2=0
C、ax2+bx+c=0D、x2+2x=x3﹣5
考点:
一元二次方程的定义。
分析:
本题根据一元二次方程的定义解答.
一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.
解答:
解:
A、方程符合一元二次方程的定义,故正确;
B、方程不是整式方程,是分式方程,故错误;
C、方程中二次项系数可能为0,若a=0,则不是一元二次方程,故错误;
D、未知数的最高次项是3,故错误.
故选:
A.
点评:
本题考查了一元二次方程的概念,解答时要先观察方程特点,再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断.
2、已知x=3是关于x的方程
x2﹣2a+1=0的一个解,则2a的值是( )
A、11B、﹣6.5
C、13D、﹣13
考点:
一元二次方程的解。
专题:
计算题。
分析:
一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将x=3代入原方程即可求得2a的值.
解答:
解:
把x=3代入原方程得:
×9﹣2a+1=0,
∴2a=13;
故选C.
点评:
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
3、关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根,则( )
A、k<0B、k>0
C、k≥0D、k≤0
考点:
根的判别式。
分析:
由于方程有实数根,则其根的判别式△≥0,由此可以得到关于k的不等式,解不等式就可以求出k的取值范围.
解答:
解:
∵△=b2﹣4ac=0﹣4k≥0,
解上式得k≤0.
故选D.
点评:
当一元二次方程的判别式△≥0时,方程有实数根,建立关于k的不等式,求得k的取值范围.
4、已知x,y是实数,若xy=0,则下列说法正确的是( )
A、x一定是0B、y一定是0
C、x=0或y=0D、x=0且y=0
考点:
一元二次方程的解。
专题:
计算题。
分析:
如果两个因式的乘积等于零,那么其中至少有一个因式为零.
解答:
解:
根据零乘以任何数都得零,
可得:
若xy=0,
则x=0或y=0;
故本题选C.
点评:
在两个因式的乘积为零时,只要有一个为零即可.
5、若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为( )
A、±
B、±1
C、±
D、±
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
两个数互为倒数,即两数的积是1,据此即可得到一个关于x的方程,从而求解.
解答:
解:
根据2x+1与2x﹣1互为倒数,列方程得(2x+1)(2x﹣1)=1;
整理得4x2﹣1=1,
移项得4x2=2,
系数化为1得x2=
;
开方得x=±
.
故选C.
点评:
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);
a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.本题开方后要注意分母有理化.
6、若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是( )
A、1,0B、﹣1,0
C、1,﹣1D、无法确定
考点:
一元二次方程的解。
分析:
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解,代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.
解答:
解:
在这个式子中,如果把x=1代入方程,左边就变成a+b+c,又由已知a+b+c=0可知:
当x=1时,方程的左右两边相等,即方程必有一根是1,同理可以判断方程必有一根是﹣1.则方程的根是1,﹣1.
故选C.
点评:
本题就是考查了方程的解的定义,判断一个数是否是方程的解的方法,就是代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.
7、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为( )
A、
B、
C、
D、
考点:
解一元二次方程-配方法。
专题:
配方法。
分析:
此题考查了配方法解一元二次方程,要注意解题步骤,把左边配成完全平方式,右边化为常数.
解答:
解:
∵x2+px+q=0
∴x2+px=﹣q
∴x2+px+
=﹣q+
∴(x+
)2=
故选B.
点评:
配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数
8、使分式
的值等于零的x是( )
A、6B、﹣1或6
C、﹣1D、﹣6
考点:
解一元二次方程-因式分解法;分式的值为零的条件。
分析:
分式的值为0的条件是:
(1)分子=0;
(2)分母≠0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
解答:
解:
∵
=0
∴x2﹣5x﹣6=0
即(x﹣6)(x+1)=0
∴x=6或﹣1
又x+1≠0
∴x=6
故选A.
点评:
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解,该类型的题易忽略分母不为0这个条件.
9、(2002•金华)方程x(x+1)(x﹣2)=0的解是( )
A、﹣1,2B、1,﹣2
C、0,﹣1,2D、0,1,﹣2
考点:
解一元二次方程-因式分解法。
专题:
因式分解。
分析:
此题用因式分解法比较简单,易求解.
解答:
解:
依题意得:
x=0或x+1=0或x﹣2=0,
∴x1=0,x2=﹣1,x3=2;
故选C.
点评:
本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程常用的方法有:
直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,
要根据方程的特点灵活选用合适的方法,所以本题运用的是因式分解法.
10、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A、x(x+1)=1035B、x(x﹣1)=1035×2
C、x(x﹣1)=1035D、2x(x+1)=1035
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程。
专题:
其他问题。
分析:
如果全班有x名同学,那么每名同学要送出(x﹣1)张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是x(x﹣1)张,即可列出方程.
解答:
解:
∵全班有x名同学,
∴每名同学要送出(x﹣1)张;
又∵是互送照片,
∴总共送的张数应该是x(x﹣1)=1035.
故选C.
点评:
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用.计算全班共送多少张,首先确定一个人送出多少张是解题关键.
二、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分)
11、把一元二次方程(x﹣3)2=4化为一般形式为:
x2﹣6x+5=0 ,二次项为 x2 ,一次项系数为 ﹣6 ,常数项为 5 .
考点:
一元二次方程的一般形式。
分析:
一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
解答:
解:
把一元二次方程(x﹣3)2=4化为一般形式为:
x2﹣6x+5=0,二次项为x2,一次项系数为﹣6,常数项为5.
点评:
去括号的过程中要注意符号的变化,以及注意不能漏乘,移项时要注意变号.注意在说明二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号.
12、写出一个根为5,一个根为2的一元二次方程 x2﹣7x+10=0 .
考点:
一元二次方程的解。
专题:
开放型。
分析:
由题意可知:
知道两根分别为2和5,则根据因式分解法可以确定一元二次方程,当然本题的答案不唯一.
解答:
解:
∵两根分别为2和5,
∴根据因式分解法可以确定一元二次方程为(x﹣2)(x﹣5)=0,
即x2﹣7x+10=0.
点评:
已知方程的两根,写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型.
13、认真观察下列方程,指出使用何种方法解比较适当:
(1)4x2=5,应选用 直接开平方 法;
(2)2x2﹣3x﹣3=0,用选用 公式 法.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-公式法。
专题:
计算题。
分析:
观察题目的形式,选择合适的解法.
(1)中,方程可化为x2=a,所以用直接开平方法;
(2)中,是一个一元二次方程,系数不特殊,所以用公式法.
解答:
解:
(1)方程4x2=5左边是完全平方的形式,故适宜用直接开平方法来解;
(2)方程2x2﹣3x﹣3=0是一元二次方程的一般形式,故适宜用公式法来解.
点评:
对一元二次方程的解答,应根据不同形式的方程,适当采取直接开平方法,公式法来解答,同学们在学习中应不断积累,达到灵活运用.
14、方程x2﹣16=0的根是 x1=﹣4,x2=4 ;方程(x+1)(x﹣2)=0的根是 x1=2,x2=﹣1.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-因式分解法。
专题:
计算题。
分析:
本题可以运用因式分解法解方程.因式分解法解一元二次方程时,应使方程的左边为两个一次因式相乘,右边为0,再分别使各一次因式等于0即可求解.
解答:
解:
(1)原方程变形得(x﹣4)(x+4)=0,∴x1=﹣4,x2=4;
(2)∵(x+1)(x﹣2)=0,∴x1=2,x2=﹣1.
点评:
根据方程的特点,灵活选择解方程的方法,一般能用因式分解法的要用因式分解法,难以用因式分解法的再用公式法.
15、已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1,则k= 4 ,另一根为 ﹣3 .
考点:
根与系数的关系;一元二次方程的解。
分析:
可设出方程的另一个根,根据一元二次方程根与系数的关系,可得两根之积是3,两根之和是﹣k,即可列出方程组,解方程组即可求出k值和方程的另一根.
解答:
解:
设方程的另一根为x1,
又∵x2=﹣1
∴
解得x1=﹣3,k=4.
故本题答案为k=4,另一根为﹣3.
点评:
此题也可先将x=﹣1代入方程x2+kx+3=0中求出k的值,再利用根与系数的关系求方程的另一根.
16、x2+3x+
=(x+
)2.
考点:
配方法的应用。
专题:
配方法。
分析:
此题考查了配方法,若二次项系数为1,则常数项是一次项系数一半的平方.
解答:
解:
x2+3x+
=(x+
)2.
点评:
解此题的关键是找到常数项,常数项是一次项系数一半的平方.
17、(2001•吉林)方程(x﹣1)(x﹣2)=0的两根为x1,x2,且x1>x2,则x1﹣2x2的值等于 0 .
考点:
解一元二次方程-因式分解法。
分析:
用因式分解法求得两根后,根据x1>x2,求得x1﹣2x2的值.
解答:
解:
∵(x﹣1)(x﹣2)=0,
∴x﹣1=0或者x﹣2=0,
解得:
x1=2,x2=1,
∴x1﹣2x2=0.
故本题答案为:
0.
点评:
注意两数的积为0,那么这两个数至少有一个数为0.
18、直角三角形的两直角边是3:
4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是 96 cm2.
考点:
一元二次方程的应用;勾股定理的应用。
专题:
几何图形问题。
分析:
根据直角三角形的两直角边是3:
4,设出两直角边的长分别是3x、4x,再根据勾股定理列方程求解即可.
解答:
解:
设两直角边分别是3x、4x,
根据勾股定理得:
(3x)2+(4x)2=400,
解得:
x=4,(负值舍去)
则:
3x=12cm,4x=16cm.
故这个三角形的面积是
×12×16=96cm2.
点评:
此题主要根据勾股定理来确定等量关系,也考查了三角形的面积公式.
19、若两数和为﹣7,积为12,则这两个数是 ﹣3 和 ﹣4 .
考点:
一元二次方程的应用。
专题:
数字问题。
分析:
设其中的一个数为x,则另一个是﹣7﹣x,根据“积为12”可得x(﹣7﹣x)=12,解方程即可求解.
解答:
解:
设其中的一个数为x,则另一个是﹣7﹣x,
根据题意得x(﹣7﹣x)=12,
解得x=﹣3或x=﹣4,
那么这两个数就应该是﹣3和﹣4.
点评:
可根据题意列出方程,判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
20、一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时,水上游乐场的面积为20000m2?
列出方程 (x+100)(200﹣x)=20000 ,能否求出x的值:
能 (能或不能).
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程。
专题:
几何图形问题。
分析:
如果把游泳池的长增加xm,那么游乐场的长和宽分别为(100+x)和(300﹣100﹣x),然后矩形根据面积公式可列出方程.
解答:
解:
由于游泳池的长增加xm,
那么游乐场的长和宽分别为(100+x)和(300﹣100﹣x),
即(x+100)(200﹣x)=20000,
解得x=100.
故填空答案:
(x+100)(200﹣x)=20000,能.
点评:
要会用x分别表示扩建前后长、宽和面积的变化.
三、解答题(共5小题,满分0分)
21、解方程
(1)x2=49
(2)3x2﹣7x=0
(3)(2x﹣1)2=9(直接开平方法)
(4)x2+3x﹣4=0(用配方法)
(5)(x+4)2=5(x+4)(因式分解法)
(6)(x+1)2=4x.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-因式分解法。
专题:
计算题。
分析:
要灵活运用解方程的方法.
(1)(3)(6)可用直接开平方法;
(2)(5)运用因式分解法;
(4)配方法.
解答:
解:
(1)x2=49,解得x=±7.
(2)3x2﹣7x=0,提取公因式x(3x﹣7)=0,解得x1=0,x2=
.
(3)(2x﹣1)2=9,2x﹣1=±3,则x=2或,﹣1.
(4)x2+3x﹣4=0利用配方法得x2+3x+
=4+
,(x+
)2=
,x+
=±
,解得x=﹣4或1.
(5)方程(x+4)2=5(x+4)提取公因式得(x+4)(x+4﹣5)=0,解得x=﹣4或1.
(6)方程(x+1)2=4x可转化为x2+2x+1﹣4x=0,即(x﹣1)2=0,解得x=1.
点评:
(1)用直接开平方求解时,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;
(2)用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键,“二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提;
(3)将多项式分解成两个因式的积,每个因式分别等于零,将方程降为两个一元一次方程为求解.
22、阅读下面的例题:
(2007甘肃白银3市)阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法:
方法一:
教材中方法
方法二:
∵ax2+bx+c=0,
∴4a2x2+4abx+4ac=0,
配方可得:
∴(2ax+b)2=b2﹣4ac.
当b2﹣4ac≥0时,
2ax+b=±
,
∴2ax=﹣b±
.
当b2﹣4ac≥0时,∴x=
.
请回答下列问题:
(1)两种方法有什么异同?
你认为哪个方法好?
(2)说说你有什么感想?
考点:
解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-配方法。
专题:
阅读型。
分析:
本题主要给出解一元二次方程的公式法的推导过程.两种方法的本质是相同的,都运用了配方法.但不同的是第二种方法,运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新!
所以第二种方法好.
解答:
解:
(1)两种方法的本质是相同的,都运用了配方法.
不同的是:
第一种方法配方出现分式比较繁;两边开方时分子、分母都出现“±”,相除后为何只有分子上有“±”,不好理解;更重要地是易误认为
=2a.
第二种方法,运用等式性质后,配方无上述问题,是对教材方法的再创新,所以第二种方法好.
(2)学习要勤于思考,敢于向传统挑战和创新.
虽然教材是我们的学习之本,但不是圣经,不能照本宣科.
说明:
其它感想,只要合理,参考本标准给分.
点评:
本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程.
23、(2006•中山)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
考点:
一元二次方程的应用。
专题:
几何图形问题。
分析:
(1)这段铁丝被分成两段后,围成正方形.其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为
=(5﹣x),根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程,解方程即可求解;
(2)设两个正方形的面积和为y,可得二次函数y=x2+(5﹣x)2=2(x﹣
)2+
,利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5,所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.
解答:
解:
(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(5﹣x)cm,
依题意列方程得x2+(5﹣x)2=17,
整理得:
x2﹣5x+4=0,
(x﹣4)(x﹣1)=0,
解方程得x1=1,x2=4,
1×4=4cm,20﹣4=16cm;
或4×4=16cm,20﹣16=4cm.
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm;
(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.
理由:
设两个正方形的面积和为y,则
y=x2+(5﹣x)2=2(x﹣
)2+
,
∵y=12>0,
∴当x=
时,y的最小值=12.5>12,
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2;
(另解:
由
(1)可知x2
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- 第2章+一元二次方程 一元 二次方程 单元测试