3.1.4工业机器人的运动学方程1.机器人运动学方程.ppt
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第3章工业机器人运动学和动力学3.1工业机器人的运动学工业机器人的运动学3.2工业机器人的动力学工业机器人的动力学3.3工业机器人的运动轨迹规则工业机器人的运动轨迹规则习题习题3.1工业机器人的运动学工业机器人的运动学3.1.1工业机器人位姿描述工业机器人位姿描述1.1.点的位置描述点的位置描述如图3.1所示,在直角坐标系A中,空间任一点P的位置可用(31)的位置矢量AP表示为zyxApppP(3.1)其中,px、py、pz是点P的三个位置坐标分量。
图3.1点的位置描述2.2.点的齐次坐标点的齐次坐标如用四个数组成的(41)列阵表示三维空间直角坐标系A中点P,则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标,如下:
1zyxpppP(3.2)齐次坐标并不是惟一的,当列阵的每一项分别乘以一个非零因子时,即cbapppzyx1P(3.3)其中:
a=px,b=py,c=pz。
该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述坐标轴方向的描述用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量,用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向,则有0100,0010,0001ZYX规定:
列阵abc0T中第四个元素为零,且a2+b2+c2=1,表示某轴(或某矢量)的方向;列阵abcT中第四个元素不为零,则表示空间某点的位置。
例如,在图3.2中,矢量v的方向用(41)列阵表示为0cbav其中:
a=cos,b=cos,c=cos。
矢量v所坐落的点为坐标原点,表示为1000o当=60,=60,=45时,矢量为0707.05.05.0v图3.2坐标轴方向的描述4.4.动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述。
该位姿矩阵为(44)的方阵。
如上述直角坐标系可描述为:
1000010000100001A(3.4)5.刚体位姿的描述刚体位姿的描述机器人的每一个连杆均可视为一个刚体,若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态,则这个刚体在空间上是惟一确定的,可用惟一一个位姿矩阵进行描述。
如图3.3所示,设OXYZ为与刚体Q固连的一个坐标系,称为动坐标系。
刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为1000zyxp图3.3刚体的位置和姿态描述令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位方向矢量,即0,0,0zyxzyxzyxaaaooonnnaon刚体的位姿表示为(44)矩阵:
1000000zaonyaonxaonxzzyyyxxxpaonT6.手部位姿的描述手部位姿的描述机器人手部的位姿如图3.4所示,可用固连于手部的坐标系B的位姿来表示。
坐标系B由原点位置和三个单位矢量惟一确定,即:
(1)原点:
取手部中心点为原点OB;
(2)接近矢量:
关节轴方向的单位矢量a;(3)姿态矢量:
手指连线方向的单位矢量o;(4)法向矢量:
n为法向单位矢量,同时垂直于a、o矢量,即n=oa。
手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系B原点的矢量pp。
手部的位姿可由(44)矩阵表示:
1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonpaonT(3.7)图3.4机器人手部的位置和姿态描述7.7.目标物位姿的描述目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示,如图3.5所示。
楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述,矩阵表达式为)64(104110411111220000001111Q(3.8)若让其绕Z轴旋转90,记为Rot(z,90);再绕Y轴旋转90,即Rot(y,90),然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4,0,0),则楔块成为(b)图位姿,其齐次矩阵表达式为)64(141414141111000011116644Q用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程,也便于矩阵的运算,所以应该熟练掌握。
图3.5目标物的位置和姿态描述3.1.2齐次变换及运算齐次变换及运算1.平移的齐次变换平移的齐次变换如图3.6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,y,z)平移至A(x,y,z),即zzzyyyxxx(3.10)或写成110001000100011zyxzyxzyx(3.11)图3.6点的平移变换记为:
a=Trans(x,y,z)a其中,Trans(x,y,z)称为平移算子,x、y、z分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。
即:
1000100010001),(Transzyxzyx(3.12)注:
算子左乘:
表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。
算子右乘:
表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换,如机器人手部的平移变换。
2.旋转的齐次变换旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示。
A(x,y,z)绕Z轴旋转角后至A(x,y,z),A与A之间的关系为zzyxyyxxcossinsincos(3.13)图3.7点的旋转变换推导如下:
因A点是绕Z轴旋转的,所以把A与A投影到XOY平面内,设OA=r,则有sincosryrx(3.14)同时有sincosryrx(3.15)其中,=+,即)sin()cos(ryrx(3.16)所以sincoscossinsinsincoscosrryrrx(3.17)所以sincossincosxyyyxx(3.18)由于Z坐标不变,因此有zzxyyyxxcossinsincos(3.19)写成矩阵形式为11000010000cossin00sincos1zyxzyx(3.20)记为:
a=Rot(z,)a其中,绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系,即1000010000cossin00sincos),(Rotz(3.21)同理,10000cossin00sincos00001),(Rotx(3.22)10000cos0sin00100sin0cos),(Roty(3.23)图3.8所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的情况。
kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。
可以证明,其旋转齐次变换矩阵为10000cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(),(Rotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(3.24)注:
该式为一般旋转齐次变换通式,概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。
反之,当给出某个旋转齐次变换矩阵,则可求得k及转角。
变换算子公式不仅适用于点的旋转,也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。
左乘是相对固定坐标系的变换;右乘是相对动坐标系的变换。
图3.8点的一般旋转变换3.1.3工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵1.连杆参数及连杆坐标系的建立连杆参数及连杆坐标系的建立以机器人手臂的某一连杆为例。
如图3.9所示,连杆n两端有关节n和n+1。
描述该连杆可以通过两个几何参数:
连杆长度和扭角。
由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线,通常情况下这两条轴线是空间异面直线,那么这两条异面直线的公垂线段的长an即为连杆长度,这两条异面直线间的夹角n即为连杆扭角。
图3.9连杆的几何参数如图3.10所示,相邻杆件n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。
沿关节n轴线两个公垂线间的距离dn即为连杆距离;垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角n即为连杆转角。
图3.10连杆的关系参数这样,每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆尺寸,两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。
当连杆n旋转时,n随之改变,为关节变量,其它3个参数不变;当连杆进行平移运动时,dn随之改变,为关节变量,其它3个参数不变。
确定连杆的运动类型,同时根据关节变量即可设计关节运动副,从而进行整个机器人的结构设计。
已知各个关节变量的值,便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递,推导出手部坐标系的位姿形态。
建立连杆坐标系的规则如下:
连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上,是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点。
Z轴与n+1关节轴线重合。
X轴与公垂线重合;从n指向n+1关节。
Y轴按右手螺旋法则确定。
连杆参数与坐标系的建立如表3.1所示。
表表3.1连杆参数及坐标系连杆参数及坐标系2.连杆坐标系之间的变换矩阵连杆坐标系之间的变换矩阵各连杆坐标系建立后,n1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转来实现。
从n1到n系的变换步骤如下:
(1)令n1系绕Zn-1轴旋转n角,使Xn1与Xn平行,算子为Rot(z,n)。
(2)沿Zn1轴平移dn,使Xn1与Xn重合,算子为Trans(0,0,dn)。
(3)沿Xn轴平移an,使两个坐标系原点重合,算子为Trans(an,0,0)。
(4)绕Xn轴旋转an角,使得n1系与n系重合,算子为Rot(x,n)。
该变换过程用一个总的变换矩阵An来表示连杆n的齐次变换矩阵为:
1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos10000cossin00sincos000011000010000100011000100001000011000010000cossin00sincos)4()3()2()1(),0,0)Rot(rans(),0,0(Trans),(RotnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnndadaxaTdzA实际中,多数机器人连杆参数取特殊值,如an=0或dn=0,可以使计算简单且控制方便。
3.1.4工业机器人的运动学方程工业机器人的运动学方程1.机器人运动学方程机器人运动学方程通常把描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵叫Ai变换矩阵,简称Ai矩阵。
如A1矩阵表示第一个连杆坐标系相对固定坐标系的位姿;A2矩阵表示第二个连杆坐标系相对第一个连杆坐标系的位姿;Ai表示第i个连杆相对于第i-1个连杆的位姿变换矩阵。
那么,第二个连杆坐标系在固定坐标系中的位姿可用A1和A2的乘积来表示,即:
T2=A1A2(3.26)依此类推,对于六连杆机器人,有下列矩阵:
T6=A1A2A3A4A5A6(3.27)该等式称为机器人运动学方程。
方程右边为从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间变换矩阵的连乘;方程左边T6表示这些矩阵的乘积,即机器人手部坐标系相对于固定参考系的位姿。
分析该矩阵:
前三列表示手部的姿态;第四列表示手部中心点的位置。
可写成如下形式:
100010006zzzzyyyyxxxxnnpaonpaonpaonpRT(3.28)2.2.正向运动学及实例正向运动学及实例如图3.11所示,SCARA装配机器人的3个关节轴线是相互平行的,0、1、2、3分别表示固定坐标系、连杆1的动坐标系、连杆2的动坐标系、连杆3的动坐标系,分别坐落在关节1、关节2、关节3和手部中心。
坐标系3即为手部坐标系。
连杆运动为旋转运动,连杆参数n为变量,其余参数均为常量。
该机器人的参数如表3.2所示。
图3.11SCARA装配机器人的坐标系表表3.2SCARA装配机器人连杆参数装配机器人连杆参数该平面关节型机器人的运动学
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- 3.1 工业 机器人 运动学 方程