陕西省宝鸡市金台区学年高三教学质量检测数学理试题解析版.docx
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陕西省宝鸡市金台区学年高三教学质量检测数学理试题解析版
金台区2020届高三教学质量检测题
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生将答题卡有关项目填写清楚.
2.全部答案在答题卡上作答,答在本试题上无效.
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别解出集合,再求交集即可得出答案.
【详解】集合.
集合.
所以
故选:
B.
【点睛】本题考查集合的交集,属于基础题.正确解出集合是解本题的关键.
2.设,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
由,知道,即可根据复平面定义选出答案.
【详解】因为.
所以,在复平面内对应点.在第一象限.
故选:
A.
【点睛】本题考查共轭复数与复平面的定义,属于基础题.熟练掌握其定义是解本题的关键.
3.已知,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据与解出,得到,即可计算出的值.
【详解】因为.
所以,,即,
所以.
故选:
D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算、模长、数量积,属于基础题.求出是解本题的关键.
4.十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
基本事件总数,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率.
【详解】解:
现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,
甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,
基本事件总数,
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,
这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是.
故选.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个),以下结论错误的是( )
A.回答该问卷的总人数不可能是100个
B.回答该问卷的受访者中,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C.回答该问卷的受访者中,选择“学校团委会宣传”的人数最少
D.回答该问卷的受访者中,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
【答案】D
【解析】
分析】
先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.
【详解】对于选项A,若回答该问卷的总人数不可能是100个,则选择③④⑤的同学人数不为整数,故A正确,
对于选项B,由统计图可知,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多,故B正确,
对于选项C,由统计图可知,选择“学校团委会宣传”的人数最少,故C正确,
对于选项D,由统计图可知,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%,故D错误,
故选D.
【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理,属中档题.
6.若,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式基本性质和函数的单调性即可判断出答案.
【详解】A.当时,错误.
B.因为且单调递增,所以,错误.
C.当时,,错误.
D.因为,所以,即,正确.
故选:
D.
【点睛】本题考查不等式的基本性质,函数的单调性,属于基础题.
7.已知平面,,,下列结论中正确的是()
A.“内有两条相交直线与平行”是“”的充分不必要条件;
B.“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件;
C.“,”是“”的充要条件;
D.“”是“,平行于同一直线”的充要条件.
【答案】B
【解析】
【分析】
由面面平行的判定定理与性质定理即可判断出答案.
【详解】A.“内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件,错误.
B.“内有无数条直线与平行”不能推出“”;“”可以推出“内有无数条直线与平行”;所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.正确.
C.“,”是“”的必要不充分条件;错误.
D.“”是“,平行于同一直线”的充分不必要条件.错误.
故选:
B.
【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理与充分必要条件的判定.属于基础题.
8.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则()
A.2B.3C.4D.8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求抛物线焦点,再根据双曲线焦点列方程,解得结果.
【详解】因为的焦点是,双曲线的焦点是
所以
故选:
C
【点睛】本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点,考查基本分析求解能力,属基础题.
9.已知则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.
【详解】
故选:
A
【点睛】本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系,考查基本分析求解能力,属基础题.
10.已知函数的图像过两点在内有且只有两个极值点,则()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将两点代入函数,即可求出、,再由在内有且只有两个极值点,可得到,即可得出答案.
【详解】因为函数的图像过两点
所以
又在内有且只有两个极值点,即
所以,即.
故选:
C.
【点睛】本题考查正弦型函数解析式,属于中档题.正确利用在内有且只有两个极值点判断出是解本题的关键.
11.已知、是双曲线的焦点,是双曲线M的一条渐近线,离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,则()
A.8B.6C.10D.12
【答案】D
【解析】
【分析】
利用、是双曲线的焦点,是双曲线的一条渐近线,离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同,求出椭圆的长轴长,再利用椭圆、双曲线的定义,即可得出结论.
【详解】解:
由题意,∴双曲线∴(0,−3),(0,3),
∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同,∴,
∵是椭圆与双曲线的一个公共点,,
故选D.
【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义,考查学生的计算能力,确定椭圆的长轴长是关键.
12.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对勾函数求得在的最小值,再得图象向右移动个单位,其函数值扩大倍,从而求解.
【详解】当时,的最小值是
由知
当时,的最小值是
当时,的最小值是
要使,则,
解得:
或
故选D.
【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系,属于难度题.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.8,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.8×p=0.6,由此解得p的值.
【详解】解:
设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.8×p=0.6,
解得p=,
故选.
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题.
14.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据定义在上的奇函数:
,解出,由知道函数关于对称,结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.
【详解】因为为定义在上的奇函数.
所以,即,
又,即函数关于对称,又关于原点对称,
所以函数为以为周期的周期函数.
所以
故答案为:
.
【点睛】本题考查函数的周期性,属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.
15.的内角的对边分别为,若的面积为,,,则_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
由正弦定理与可解出,即可得到,结合的面积为与,则可解出,代入角的余弦公式,即可解出答案.
【详解】因为.
由正弦定理有:
.
又因为,即.
所以.
所以.
又因为,.
解得:
又
所以
故答案为:
6.
【点睛】本题考查解三角形,熟练运用正余弦定理与三角形的面积公式是解本题的关键.
16.如下图所示,用一个边长为的正方形硬纸板,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离,再加上此平面到底面距离即可.
【详解】由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形,对角线长为1,
因为表面积为的球半径为1,所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为
又小三角形直角顶点到底面距离为,所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为
故答案为:
【点睛】本题考查球表面积以及球截面,考查基本分析求解能力,属基础题.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:
底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】
(1)详见解析
(2)
【解析】
试题分析:
(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.
(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角,过作的垂线交于点,连接.利用
(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.
(1)证明:
四棱柱的所有棱长都相等
四边形和四边形均为菱形
分别为中点
四边形和四边形为矩形
且
又且底面
底面.
(2)法1:
:
过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.
底面且底面面
面
又面
四边形为菱形
又且,面
面
又面
又且,面
面
为二面角的平面角,则
且四边形为菱形
,
则
再由的勾股定理可得,
则,所以二面角的余弦值为.
法2:
因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:
已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,
所以,,故二面角的余弦值为.
考点:
线面垂直二面角勾股定
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