第11讲 转化破解空间中的线面关系.docx
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第11讲转化破解空间中的线面关系
第11讲 转化——破解“空间中的线面关系”
空间平行与垂直关系的证明与探索是历年高考的重点与热点,也是难点,它多与空间角的求解综合在一起来考查空间想象能力.破解平行、垂直关系的方法是转化,抓住平行关系、垂直关系各自的内在联系,通过转化完成平行与垂直关系的证明与探索.
1.梳理知识网络,基础知识了然于胸.
2.理清“平行”的联系,转化平行关系.
如图,理清平行关系的内在联系,使线线平行、线面平行、面面平行融为一个有机的整体,是转化平行关系的关键.直线与直线平行是平行关系的一个起点,要利用公理4、初中平面几何知识来判定两直线的平行,要梳理平面几何中与直线平行的相关知识.在直观图中,直线平行是直观的,因为直观图属于平行投影,在平行投影下,两平行直线的投影往往也是平行的.
3.理清“垂直”的联系,转化垂直关系.
如图,理清垂直关系的内在联系,使线线垂直、线面垂直、面面垂直融为一个有机的整体,是转化垂直关系的关键.两直线垂直是转化垂直关系的一个起点,依据初中平面几何知识判定两相交直线的垂直,要梳理平面几何中与直线垂直的相关知识.空间直线的垂直主要利用直线与平面垂直转化出来.
4.把握空间几何体中的平行、垂直关系.
不仅把握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的几何体的结构特征,总结这些空间几何体的性质,还要理清其中的平行、垂直关系.如直棱柱,侧棱平行,侧面是矩形,侧棱与底面垂直,侧面与底面垂直等.
例1 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1的中点.证明:
BC1∥平面AB1D1.
解后反思
证明线面平行,既可以联想线面平行的判定定理,转化为证明线线平行;也可以联想面面平行的性质,转化为证明面面平行.利用判定定理证明线面平行时,往往要找一个过该直线的平面,证明该直线与交线平行.利用面面平行的性质定理证明线面平行时,往往要找一个过该直线的平面,证明该平面与已知平面平行.
例2 把一副三角板如图拼接,设BC=6,∠A=90°,AB=AC,∠BCD=90°,∠D=60°,使两块三角板所在的平面互相垂直.求证:
平面ABD⊥平面ACD.
解后反思
1.证明面面垂直,联想判定定理,转化为证明线面垂直.而证明线面垂直,还需转化为线线垂直.
2.在哪一个平面内取哪条直线,证明它垂直于另一个平面,是证明面面垂直的难点.在充分把握已知条件的基础上,直觉与推理相结合,运用反证法的思想,是选准直线的好方法.比如,如果在平面ACD内取一直线证明它垂直平面ABD,肯定不选CD,因为如果CD⊥平面ABD,则CD⊥BD,事实上CD与BD不可能垂直,排除CD;若选AD,则AD⊥平面ABC,则平面ABD⊥平面ABC.又平面BCD⊥平面ABC,故平面BCD与平面ABD的交线BD也垂直于BC,又CD⊥BC,故BD⊥BC不可能,这样排除了AD.
3.证明线、面位置关系想判定定理(证明线面平行也可以联想面面平行性质,证明线面垂直也可以联想面面垂直性质),已知线、面位置关系想性质.
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.
(1)求证:
DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?
若存在,说明G点的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
解后反思
G点的寻找过程就是垂直关系不断转化的过程,蕴含了分析法的思想.假设在线段AD上存在点G,使GF⊥平面PBC,则GF⊥BC,由OF⊥BC,可知BC⊥平面GOF,于是BC⊥GO.由BC∥AD,得GO⊥AD,由AB⊥AD,得GO∥AB,则GO是三角形ABD的中位线,故G点是AD的中点.
总结感悟
1.证明、探索空间中线、面的平行(垂直)关系,就是利用平行(垂直)的内在联系,不断转化平行(垂直)关系的过程.
2.利用判定定理证明线面平行时,往往要找一个过该直线的平面,证明该直线与交线平行.利用面面平行的性质定理证明线面平行时,往往要找一个过该直线的平面,证明该平面与已知平面平行.
3.利用反证法、分析法的思想是探索垂直关系的绝好方法.
A级
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是________.
①AB∥CD;②AD∥CB;
③AB与CD相交;④A,B,C,D四点共面.
2.关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β,下列命题正确的是________.(填序号)
①m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n;
③m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n.
3.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是__________________.
5.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有________对.
6.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于_____________________________________________.
B级
7.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,
则下列结论正确的是________.
①PB⊥AD;
②平面PAB⊥平面PBC;
③直线BC∥平面PAE;
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
8.(2016·全国Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
(3)如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
9.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为________.
10.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为________.
11.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是________.
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
12.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面AC所成的角为θ,则θ=________.
13.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,
AC=BC=
AA1,D是棱AA1的中点.
(1)证明:
平面BDC⊥平面BDC1;
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
第11讲 转化——破解“空间
中的线面关系”
题型分析
例1 证明 方法一 如图所示,
连结A1B交AB1于O,连结OD1.
由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,
A1C1的中点,∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1,
BC1⊄平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
方法二 如图所示,
连结C1D,BD,D1D.
点D,D1分别为AC,A1C1的中点,
四边形ADC1D1为平行四边形,
∴AD1∥DC1.
又∵AD1⊂平面AB1D1,DC1⊄平面AB1D1,
∴DC1∥平面AB1D1.
由D,D1分别为AC,A1C1的中点,
易知D1D∥AA1,且D1D=AA1,
由B1B∥AA1,且B1B=AA1,
B1B∥D1D且B1B=D1D,
所以B1D1∥BD,
又∵B1D1⊂平面AB1D1,
BD⊄平面AB1D1,
∴BD∥平面AB1D1.
又DC1∥平面AB1D1.
BD∩DC1=D,BD,DC1⊂平面BC1D,
∴平面AB1D1∥平面BC1D,
∴BC1⊂平面BC1D,
∴BC1∥平面AB1D1.
例2 证明 因为平面ABC⊥平面BCD,
平面ABC∩平面BCD=BC,
DC⊥BC,DC⊂平面BCD,
所以DC⊥AB.
又AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD.
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABD,
故平面ABD⊥平面ACD.
例3
(1)证明 取AB的中点E,连结EF,则PA∥EF.设PD=DC=a,易求得DE=
a,FE=
PA=
a,
DF=
PB=
a.
∵DE2=EF2+DF2,∴DF⊥EF,
又EF∥PA,∴DF⊥PA.
(2)解 在线段AD上存在点G,使GF⊥平面PBC,且G点是AD的中点.
取AD的中点G,连结PG、BG,
则PG=BG.
又F为PB的中点,故PB⊥GF.
连结AC、BD,其交点为O,连结OF,GO.
∵OF是三角形PBD的中位线,
∴OF∥PD,∴OF⊥BC,
∵GO为三角形ABD的中位线,
∴GO∥AB,由AB⊥BC,得GO⊥BC,
∵GO、OF是平面GOF内的两条相交直线,∴BC⊥平面GOF,
∴BC⊥GF,∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线,∴GF⊥平面PBC.
线下作业
1.④
解析 充分性:
A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
2.③
3.6
解析 各中点连线如图,只有面EFGH与面ABB1A1平行,在四边形EFGH中有6条符合题意.
4.去掉两点的一个圆
解析 ∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.
∴∠ACB=90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
5.3
解析 ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC,
∵PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,
∴平面PAB⊥平面PBC,
平面PAC⊥平面PBC.
同理可证:
平面PAB⊥平面PAC.
6.60°
解析 如图,可补成一个正方体,
∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形,
∴∠A1BD1=60°.
即BA1与AC1成60°的角.
7.④
解析 设AB长为1,由PA=2AB得PA=2,又ABCDEF是正六边形,
所以AD长也为2,
又PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,
所以△PAD为直角三角形.
因为PA=AD,所以∠PDA=45°,
所以PD与平面ABC所成的角为45°.
8.②③④
解析 当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
9.
解析 如图所示:
SABC=
×
×
×sin
=
.
∴VABC-A1B1C1=SABC×OP
=
×OP=
,
∴OP=
.
又OA=
×
×
=1,
∴tan∠OAP=
=
,
又0<∠OAP<
,∴∠OAP=
.
10.平行
解析 取PD的中点F,连结EF,AF,在△PCD中,EF綊
CD.
又∵AB∥CD且CD=2AB,
∴EF綊AB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.
又∵EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
11.④
解析 由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,
则BD∥平面CB1D1,所以①正确;
由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.
所以②正确;
可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥D1C,
所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;
由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.
12.45°
解析 如图所示,取AD的中点G,连结PG,BG,BD.
∵△PAD是等边三角形,
∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG⊂平面PAD,
∴PG⊥平面AC,∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.
在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,
∴∠PBG=45°,即θ=45°.
13.
(1)证明 由题设知BC⊥CC1,
BC⊥AC,CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1,
又∵DC1⊂面ACC1A1,
∴DC1⊥BC,
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,
又∵DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC,
∵DC1⊂平面BDC1,
∴平面BDC⊥平面BDC1;
(2)解 设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得,
V1=
×
×1×1=
,
∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,
∴(V-V1)/V1=1∶1,
∴平面BDC1分此棱柱的两部分体积之比为1∶1.
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