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概率统计第一章习题docx
第一章概率论的基本概念
基础训练I
一、选择题
1、以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销",则其对立事件元为:
()
A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;B)甲乙产品均畅销;
C)甲种产品滞销;D)甲产品滞销或乙种产品畅销。
2、设事件是两个概率不为零的互不相容事件,则下列结论正确的是()
A)瓦后互不相容;B)元与百相容;
C)P(AB)=P(A)P(B):
D)P(A—B)=P(A)。
3、对于任意事件A,B,有P(A_B)=()
A)P(A)-P(B):
B)P(A)-P(B)+P(AB);
C)P(A)-P(AB):
D)P(A)+P(B)-P(AB)„
4、已知5个人进行不放回抽签测试,袋中5道试题(3道易题,2道难题),问第
3个人抽中易题的概率是()
3323
A)-;B)一;C)一;D)—.
54410
5、设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,则下列结论正确的有()
A)相互独立;B)互不相容;
C)BnA;D)P(AuB)=P(A)+P(B)o
二、填空题
1、设A,B,C是随机事件,则事件“A、3都不发生,。
发生”表示为,
aA,B,C至少有两个发生”表示成o
2、设A、3互不相容,P(A)=0.4,P(AoB)=0.7,则P(B)=;
3、某市有50%住户订日报,有65%住户订晚报,有85%的住户至少订这两种
报纸中的一种,则同时订这两种的住户百分比是:
;
4、t^P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,贝,
A、B、。
三件事至少有一个发生的概率为;
5、若A、3互不相容,且P(A)>0,则P(3|A)=;若A、B相互独立,
且P(A)>0,则P(B|A)=
三、计算题
1、从一批产品中取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),以凡表示“第
i次取到的是合格品”,试用A,.表示(z=1,2,3)下列事件:
11一
2、设P(A)=j,P(B)=-o在下列三种情况下求P(BA)的值:
1)AB=(/):
2)AuB;3)P(AB)=:
3、假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求:
(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率;
(2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
4、有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击,命中率分别为0.2、0.3、0.5,
求:
1)至少有一门火炮命中目标的概率;2)恰有一门火炮命中目标的概率。
5、已知商场某产品由三个厂家提供,产品次品率分别为0.02、0.01,0.03,销售份额分别占0.15,0.80、0.05,现消费者因为产品问题提出索赔,但由于保存不善标志缺失,如果你是商场负责人,想将这笔索赔转嫁给厂家,如何分摊最合理?
基础训练II
一、选择题
1、事件A-B又可表示为()
A)A-BB)A-ABC)AcBD)A-AB
2、设P(AB)=0,则有()
A)A和B互不相容;B)A和3相互独立;
C)P(A)=0或P(B)=0;D)P(A-B)=P(A)O
3、设A和B互为对立事件,则下列不正确的结论为()
A)P(B|A)=0;B)A和3独立;
0P(AIB)=1;D)P(A+B)=L
4、某人射击时,中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的
概率为()
A)(3/4)3B)(3/4)2Xl/4C)(1/4)2X3/4D)(3/4)3
5、如果P(A)>0,P(B)>0,P(A|B)=P(A),则下列结论不正确的有()
A)P(BIA)=P(B);B)P(A|B)=P(A);
C)A,3相容;D)A,3互不相容。
二、填空题
1、设&表示第z•次命中目标(,=1,2,3),则AA2A3逆事件为:
;
2、设事件A,B互不相容,且P(A)=p,P(B)=g,则P(AB)=;
3、设A,3相互独立,P(A)=0.2、P(B)=0.4,则P(AuB)=;
4、设A,B为随机事件,P(A)=0.7,P(A—3)=0.3,则PQu百)=;
5、设P(A|B)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A)=0.7,则P(B)=。
三、计算题
1、设A,3为两个事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7,则
1)在什么条件下P(AB)取最大值,最大值是多少?
2)在什么条件下P(A_B)取最小值,最小值是多少?
2、已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|AU万)。
11
3、设A,B是两个事件,P(A)=P(B)=-,P(A|B)=-,求P(A|B)。
4、甲、乙、丙3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们需要工人看管的概率分别为0.1、0.2、0.15,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
5、玻璃杯成箱出售,每箱20只。
已知任取一箱,箱中0、1、2只残次品的概率
相应为0.8、0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。
试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率。
综合训练
一、填空题
1、设为任意两个事件,则下列关系式成立的是()
A)(AuB)-B=A;B)(AuB)-Bz)A;
C)(A-B)uB=A:
D)(AuB)-BcAo
2、对事件A,B,下列命题正确的是()
A)如果A,B互不相容,则印,百也互不相容;
B)如果相容,则印,否也相容;
C)如果互不相容,且P(A)〉0,P(B)〉0,则A,3相互独立;
D)如果相互独立,则元,百也相互独立.
3、每次试验的成功率为p(0
r(l () A)C0(l-p)i;B)C2p「(l-p)i; Op'(l_p)E;D)C;"(l_p)E. 4、设事件A,B同时发生时,事件C必发生,则正确的结论是() A)P(C) P(A)+P(B)-1; C)P(C)=P(AB);D)P(C)=P(AuB). 5、设A,B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的有() A)P(B|A)>0: B)P(A|B)=P(A); C)P(A|B)=0;D)P(AB)=P(A)P(B). 二、填空题 1、从1、2、3、4、5五个数码中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这三位数是偶数的概率为; 2、设P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则F(B)=; 3、若K~U(1,6),则方程x2+Kx+1=0有实根的概率是; 4、设事件A,B,P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(B\A)=0.4,则P(AuB)=; 5、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随机取出一种,结 果不是三等品,则取到的是一等品的概率为o 三、计算题 1、矩形a<2,-1 -的概率。 4 2、某地区一工商银行的贷款范围内,有甲乙两家同类企业,设一年内甲申请贷款的概率为0.25,乙申请贷款的概率为0.2,当甲未申请贷款时,乙向银行申请贷款的概率为0.1,求在乙未申请贷款时,甲向银行申请贷款的概率。 3、(敏感问题调查)在调查家庭暴力(或吸毒、婚外恋等敏感问题)所占家庭的比例p时,被调查者往往不愿回答真相,这使得调查数据失真,为得到实际的p同时又不侵犯个人隐私,调查人员将袋中放入比例是pQ的红球和比例是0o=l-Po的白球,被调查者在袋中任取一球窥视后放回,并承诺取得红球就讲真话,取得白球就讲假话,被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力)或“否”,然后将表放入投票箱,没人能知道被调查者是否讲真话和回答的是什么,如果调查表上声称有家庭暴力的家庭比例是,求实际比例p? 4、设某型号高射炮,每门炮每发射一发炮弹击中敌机的概率为0.6。 现若干门炮 同时各发射一发,问欲以99%把握击中敌机,至少需要配置几门高射炮? 5、辨析题: 判断下列命题是否为真,若不为真,请举一反例: 1)若P(A)=0,则A为不可能事件; 2)若P(A)=1,则A为必然事件; 3)若若8互不相容,则P(A)=1-P(B)o 第二章随机变量及其分布 基础训练I 一、选择题 1、下列表中()可以作为离散型随机变量的分布律。 ■-101- B) 012 1/41/21/4 -1/43/41/2 _012_ D) _121_ 1/52/53/5 1/41/41/2 2、常数b=()时,pk=(1=1,2,…)为离散型随机变量的概率分布。 k(k+1) A)2B)1C)1/2D)3 0,x<0 3、设F(x)= 1,x>1 A)是随机变量的密度函数B)不是随机变量的分布函数 C)是离散型随机变量的分布函数D)是连续型随机变量的分布函数 4、设q(x)和分别为随机变量X,,X2的分布函数,为使ag—bFQ)是 某一随机变量&勺分布函数,在下列给定的总组数值中应取() A)a=3/5,b=-2/5B)a=2/3,b=2/3 C)a=-l/2,b=3/2D)a=l/2,b=—3/2 5、设随机变量X-2V(//,ct2),5.P{X A)0B)"C)-//D)<7 二、填空题 1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 『012、 2、设离散型随机变量X分布律为 (0.20.30.5) [0, 则P(XW1.5)= x<0 3、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=必2,0<》<1,则人=,x落在 1,X>1 (一1,1/2)内的概率为o 4、设K在(0,5)上服从均匀分布,则方程4/+4Kr+K+2=0有实根的概率 为。 5、随机变量X的分布函数F(x)是事件的概率。 三、判断题 1、随机变量的分布函数是不减函数。 () 2、随机变量仅包括离散型随机变量和连续型随机变量两类。 () 3、概率为零的事件必为不可能事件。 () 四、解答题 1、设离散型随机变量X的分布律为 X —11 2 P 0.20.5 0.3 求: 1)X的分布函数;2)P{X>l/2}; 3)P{-1 4)Y =2X+1的分布律。 ydjr0 2、设随机变量X的概率密度为fx(x)=<°'其它一,求 1)系数A;2)X落在(0,1/2)内的概率;3)X的分布函数; 4)P=3X+2的概率密度。 基础训练II 一、选择题 1、下面函数中()可以作为离散型随机变量的分布律。 -1-1 A)P{Xl=k}=—(k=O,l,Z---)B)P{Xl=k}=-(k=l,2,--) C)P{X3=幻=j(S0,l,2,...)D)0乂4=幻=土侬=—1,—2,—3,・") 2、已知P(X=k)=c-1^/kl,(k=1,2,--•),其中人>0,贝北=() 1、设随机变量X的分布律为P(x=k)=。 一(上二0,1,2,・・・),人>0为常数,则常数k\ ci—O 2、已知随机变量X的分布函数的是F(x)-A+Barctanx,则A=; B=;P{|X|<1}=o 3、设X~N(100,cr2),且P(X>110)=0.16,则cr=。 4、设随机变量K在(1,6)上服从均匀分布,则方程尸+心+1=0有实根的概 率是。 [(x+3)2 5、设随机变量X的概率密度为了(x)=—e4,(一8<尤<8),则 Y=〜N(O,1)o 三、判断题 1、连续型随机变量的概率密度一定是连续函数。 () 2、g(X)和"(X)的分布函数相同,则一定有g(X)=/? (X)。 () 四、解答题 1、设随机变量X的分布函数为 XV—1 —1<尤v22 求1)X的分布律;2)P(X>3};3)P=3X—1的分布律。 2、设连续型随机变量X的分布函数为: 0x<0 F(x)= 1x>l 求: 1)系数A;2);概率密度伊(x);3)P{0.3 综合训练 一、选择题 1、设随机变量X的概率密度为仞⑴,且(p(x)=(p(-x),F(x)是x的分布函数, 1rci F(-q)———J(p(^x)dx F(-a)=2F(a)-l 则() B)伊(x)=(P(—Q,xe(-oo,+oo) D)F(x)=1-F(-x),xe(-oo,+oo) 则对任意实数。 ,有() A)F(-o)=1-f(p(x)dxB)JO C)F(-tz)=F(a)D) 2、设X~N(l,l),概率密度为 A)P(X<0)=P(X>0)=0.5 C)P(X<1)=P(X>1)=0.5 3设随机变量X服从指数分布,则对随机变量K=min{X,2}的分布函数,下列那一个结论正确() A)是连续函数B)至少有两个间断点 C)是阶梯函数D)恰好有一个间断点 4、设随机变量X服从正态分布则随(T的增大,概率P{\X-jU\ A)单调增大B)单调减少C)保持不变D)增减不定 5、设X服从二项分布,其分布律为P[X=k]=Ctpk(1—p)i,(k=0,1,...... 若("+1)P不是整数,则Z: 取何值时P{X=k}最大? () A)k=(〃+l)pB)k={n+V)p-iC)k=npD)k=[(n+1)/? ] 二、填空题 1、设某批电子元件的正品率为4/5,次品率为1/5,现对这批元件进行测试,只要 测得一个正品就停止测试工作,则测试次数的分布律为。 2、设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(呻2),若#=160,且 P(120 3、设随机变量X只取正整数值N,且P{X=N}与成反比,则x的分布律为 4、设随机变量X的分布函数为F(x),则随机变量Y=2X+1的分布函数 为o 5、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布则随机变量y=X2在(0,4)内的概 率密度为o 三、判断题 1、分布函数之和仍为分布函数。 () 2、概率分布就是分布函数。 () 3、连续型随机变量的函数一定是连续性随机变量。 () 4、随机变量与随机函数是两个不同的概念。 () 四、解答题 1、设随机变量X的概率密度为 以P表示对X的三次独立重复观察中事件{X<1/2}出现的次数,求 (1){XV1/2}至少出现一次的概率; (2){XV1/2}恰好出现两次的概率。 2、设随机变量X的概率密度为 Acosx,x<— 六'(x)=2 0,其它 求: (1)常数A; (2)X的分布函数; VJT (3)P(|sinx| 3、设随机变量X服从泊松分布,且P{X=1]=P{X=2],求P{X=4]及P{X>1}。 4、设随机变量X的分布律为 3 17F X12 P1/21/2, JT 求y=sin(-X)的分布律。 则A=,P(X<2,y<1}=。 2、若(X,K)~Ng,外,b;,b;,P),则X与K相互独立的充要条件为p= 3、设(X,K)的分布律为 0 1 0 0.1 b 1 a 0.4 己知P{X=1 2 V=1}=孑,贝! Ja=,b=_ 4、设随机变量X与P相互独立,且均服从区间[0,3〕上的均匀分布,则 P{max(X,y)<1}=o 5、设随机变量X与K相互独立,下表列出了二维随机变量(X,K)的分布律及关于 X与关于K的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处。 1 2 3 P{X=i) 1 1/8 2 1/8 P{Y=j} 1/6 1 二、选择题 1、设二维随机变量(X,P)的分布律为 — -1 0 1 2 1/4 1/12 1/3 3 1/24 a 2a 则a=() 2、设随机变量X与P相互独立,分别服从参数为3与参数为2的泊松分布,则 p(x+y=0}=() A)e"5B)/C)e-2D)e-1 3、设(X,Y)为二维随机变量,且X与K相互独立,有3)、人(y)分别表示X与 随机变量(X,K)可取值(一1,0),(0,1),(一1,2),(0,2),(0,0),取这些 值的概率分别为1/3,1/10,1/5,3/10,l/15o求: (1)(X,K)的分布律; (2)(x,y)关于: r的边缘分布律。 2、如果(X,P)的分布律为 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 当a和b取何值时,X与Y相互独立? 3、设X]与X? 的联合分布律为 0 1 0 1-e1 0 1 e~{-e~2 e~2 求在X]=x(x=O,l)的条件下X? 的条件分布律。 4、设二维随机变量(X,P)的概率密度为 基础训练II 一、填空 1、从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为则 P{Y=2}=„ 2、设二维随机变量(X,P)的概率密度为 6x0 /(^v)=n甘鼻,则p{x+r 0具匕 3、已知随机变量X与K相互独立,且X~N(—3,1),Y~N(2,4),设Z=X+Y, 则Z〜o 4、已知X服从[0,1]上的均匀分布,Y~N(O,1),且X与P相互独立,贝ij(x,y) 的概率密度为o 34 5、设x与p为两个随机变量,p(x>o,y>o}=-,P(x>o)=P(y>o}=-, 77 则P(max(X,y)>0}=o 二、选择题 1、设二维随机变量(X,P)服从G上的均匀分布,G是由曲线v=x和: y=x所围 成,则(X,P)的概率密度函数为() C)联合分布函数为F(x,y)=(l-e-3r)(1-广、') D)(X,Y)关于X的边缘概率密度为h(x)=3e—“ 3、设二维随机变量(X],X2)和(K,匕)的联合概率密度分别为fjx,y)和 f2(x,y),令f(x,y)=(tfl(x,y)+bf2(x,y),要使f(x,y)是某个二维随机变量的概率密度,则。 、力应满足条件() A)a+b=lB)a>0S.b>0 C)00且〜NO,a+b=l 4、设随机变量X与Y相互独立,X〜N(0,l),Y〜N(l,l),则下列结论正确的是() A)P{X+y<0}=|B)P{X+Y<1}=^ op{x-y 5、设随机变量X与: r相互独立,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(y),则 Z=max{X,Y]的分布函数Fz(z)等于() A)Fx(x)Fy(j)B)Fx(z)Fy(z) 0|[Fx(z)+Fy(z)]D)Fx(z)+Fy(z)-Fx(z)Fy⑵ 三、计算题 1、袋中有2个白球和3个黑球,现从中依次摸出2球,设 °[1,第一次摸出白球、,fl,第二次摸出白球 0,第一次摸出黑球[o,第二次摸出黑球 试采用无放回摸球和有放回摸球两种方式,求(X,K)的分布律。 /、/\[8xy0 2、二维随机变量(X,K)的概率密度为/'(x,y)=-廿鼻-,判断X与 0其匕 Y的相互独立性。 3、设随机变量X的概率密度为 、f4xe"2Ax>0 fx(X)=1„甘仙’ [0其他 而随机变量P在区间(0,X)上服从均匀分布,试求: ⑴X和K的联合概率密度/(x,y); (2)7的概率密度。 4、设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 fl,0 其它.,5=[。 ,其它. 求随机变量Z=X+Y的概率密度。 综合训练 一、填空 1、在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于1/2”的概率为o 3 2、设(X,K)~N(0,0;b2,b2,/j),且P{X<2,Y<2}=—, 16 则P[X>-2,y>-2}=o 19 3、设平面区域D由直线v=一及直线v=0,x=l,x=e2所围城,二维随机变 x 量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为。 4、随机变量X与P相互独立且具有相同的分布,P[X=0}=P{Y=0}=^, 2 P(X=l}=P(y=l}=_,则p{X=Y}=o 5、设随机变
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