山东潍坊市届高三数学下学期一模试题理科附答案.docx
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山东潍坊市届高三数学下学期一模试题理科附答案
山东潍坊市2018届高三数学下学期一模试题(理科附答案)
山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足,则()
A.B.C.D.
2.已知集合,则()
A.B.
C.D.
3.若函数(且)在上为减函数,则函数的图象可以是()
A.B.C.D.
4.已知满足约束条件,则函数的最小值为()
A.B.C.1D.
5.的内角的对边分別为,已知,则的面积是()
A.B.C.1D.
6.对于实数,定义一种新运算“”:
,其运算原理如程序框图所示,则()
A.26B.32C.40D.46
7.若函数为奇函数,则()
A.B.C.D.0
8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
9.已知函数的最小正周期为,其图象关于直线对称.给出下面四个结论:
①函数在区间上先增后减;②将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称;③点是函数图象的一个对称中心;④函数在上的最大值为1.其中正确的是()
A.①②B.③④C.①③D.②④
10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:
“我不是第一名”;乙说:
“丁是第一名”;丙说:
“乙是第一名”;丁说:
“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为()
A.甲B.乙C.丙D.丁
11.双曲线的左右焦点分别为,过的直线交曲线左支于两点,是以为直角顶点的直角三角形,且.若该双曲线的离心率为,则()
A.B.C.D.
12.函数的图象关于直线对称,且在上单调递减.若时,不等式恒成立,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.实数满足,则的最大值为.
14.展开式中的系数为.(用数字填写答案)
15.已知抛物线的准线为,若与圆相交所得弦长为,则.
16.正四棱柱中,底面边长为2,侧棱,为上底面上的动点,给出下列四个结论:
①若,则满足条件的点有且只有一个;
②若,则点的轨迹是一段圆弧;
③若平面,则与平面所成角的正切的最大值为;
④若平面,则平面截正四棱柱的外接球所得图形面积最大值为.
其中所有正确结论的序号为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.公差不为0的等差数列的前项和为,已知,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.如图,直三棱柱中,,点是棱上不同于的动点.
(1)证明:
;
(2)若平面把此棱拄分成体积相等的两部分,求此时二面角的余弦值.
19.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数,标准差,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为,依据以下不等式评判(表示对应事件的概率):
①
②
③
评判规则为:
若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;
(2)将数据不在内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为,求的分布列与数学期望.
20.如图,椭圆的左右焦点分别为,左右顶点分别为为椭圆上任一点(不与重合).已知的内切圆半径的最大值为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点且垂直于轴,延长交于点,以为直径的圆交于点,求证:
三点共线.
21.函数.
(1)求的单调区间;
(2)对,使成立,求实数的取值范围;
(3)设在上有唯一零点,求正实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为)(为参数,),在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的坐标为,直线与曲线相交于两点,求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)已知,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CCDBB6-10:
CBCCA11、12:
DB
二、填空题
13.14.12015.16.①②③
三、解答题
17.
(1)设的公差为,由题设可得,
,
∴,
解得.
∴.
(2)令,
则
,①
,②
①-②得:
,
∴.
18.
(1)解:
在中,由余弦定理得,,
∴,
则有,
∴,∴,
又∵,
∴平面,
又平面,
∴.
(2)解:
由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等
的几何体为四棱锥和四棱锥.
由
(1)知四棱的高为,
∵,
∴,
又,
∴,∴.
此时为中点,
以点为坐标原点,的方向为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∴.
∴,
设是平面的一个法向量,
∴,即,令,可得,
设是平面的一个法向量,
∴,即,令,可得,
∴。
所以二面角的余弦值等于.
19.解:
(1)由题意知,,由频率分布直方图得
,
,,
∵不满足至少两个不等式成立,∴该生产线需检修.
(2)由
(1)知,
所以任取—件是次品的概率为,
所以任取两件产品得到的次品数可能值为0,1,2,
则;
;
;
∴的分布列为
∴.
20.解:
(1)由题意知:
,∴,又,∴,
设的内切圆半径为,
则,
,
故当面积最大时,最大,
即点位于椭圆短轴顶点时,,
∴,
把代入,解得,
∴椭圆方程为.
(2)由题意知,直线的斜率存在,设为,
则所在直线方程为,
联立,消去,得,
则有,
∴,,
得,
又,
∴,
则,
∴
而在以为直径的圆上,
∴,
∴三点共线.
21.解:
(1),
当,即时,单调递增;
当,即时,单调递减;
综上,的单调递增区间为,
的单调递减区间为.
(2),即,
设,
则原问题等价于,
一方面由
(1)可知,当时,,
故在单调递增,
∴
另—方面:
,
,
由于,
∴,
又,
当,,在为增函数,
,
所以,.
(3),
.
①若,则单调递增,无零点,
②若时,设,
则,
故单调递增,∵,
所以存在,使,
因此当时,,即单调递减;
当时,即单调递增.
故当时,无零点,
当时,,存在唯一零点,
综上,时,有唯一零点.
22.解:
(I)曲线,即,
∵,
∴曲线的直角坐标方程为即.
(2)将代入并整理得,
∴,
∴,
∵,
∴.
23.解:
(1)当时,不等式即,
当时,,∴或,
∴此时,,
当时,,∴或,
∴此时,,
当时,,∴或
此时,,
∴不等式的解集为或.
(2)
若则,∴,
解得:
或,∴,
若则,∴,
综上所述,.
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