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大一高数期末试题
篇一:
大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)?
cosx(x?
sinx),则在x?
0处有(
).
(A)f?
(0)?
2(B)f?
(0)?
1(C)f?
(0)?
0(D)f(x)不可导.
1?
2.设?
(x)?
x
1?
x,?
(x)?
3?
3x,则当x?
1时( )
.
(A)?
(x)与?
(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)?
(x)与?
(x)
是等价无穷小;
(C)?
(x)是比?
(x)高阶的无穷小;(D)?
(x)是比?
(x)高阶的无穷小.
x
3.若
F(x)?
?
0
(2t?
x)f(t)dt
,其中f(x)在区间上(?
1,1)二阶可导且
f?
(x)?
0,则().
(A)函数F(x)必在x?
0处取得极大值;(B)函数F(x)必在x?
0处取得极小值;
(C)函数F(x)在x?
0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y?
F(x)的拐点;(D)函数F(x)在x?
0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y?
F(x)的拐点。
4.
设f(x)是连续函数,且f(x)?
x?
2?
1
f(t)dt,则f(x)?
(
x2x2
(A)2(B)2?
2
(C)x?
1(D)x?
2.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)2
5.limsinx
x?
0
(1?
3x)
?
.
6.已知
cosx
x
是f(x)的一个原函数,则?
f(x)?
cosx
x
dx?
?
?
7.
nlim
?
?
n
(cos2
?
n
?
cos2
2n?
?
?
cos2n?
1n?
)?
.
12
?
x2arcsinx?
1
8.-
1
1?
x
2
dx?
2
.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9.设函数y?
y(x)由方程
ex?
y
?
sin(xy)?
1确定,求y?
(x)以及y?
(0).1?
x7
求10.?
x(1?
x7
)dx.
设f(x)?
?
?
?
x
?
xe, x?
0
求111.?
?
2x?
x2
,0?
x?
1?
?
3f(x)dx.
)
1
012.设函数f(x)连续,,且x?
0
g?
(x)并讨论g?
(x)在x?
0处的连续性.
g(x)?
?
f(xt)dt
lim
f(x)
?
Ax,A为常数.求
1
y
(1)?
?
?
xy?
2y?
xlnx9的解.13.求微分方程满足
四、解答题(本大题10分)
14.已知上半平面内一曲线y?
y(x)(x?
0),过点(0,1),且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?
x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)
15.过坐标原点作曲线y?
lnx的切线,该切线与曲线y?
lnx及x轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A;
(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16.设函数f(x)在?
0,1?
上连续且单调递减,证明对任意的q?
[0,1],
q
1
?
f(x)dx?
q?
f(x)dx
.
?
?
17.设函数f(x)在?
0,?
?
上连续,且0
x
?
f(x)dx?
0
,0
?
f(x)cosxdx?
0
.
证明:
在?
0,?
?
内至少存在两个不同的点?
1,?
2,使f(?
1)?
f(?
2)?
0.(提
F(x)?
示:
设
?
f(x)dx
)
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
?
?
1cosx2
()?
c
e635..6.2x.7.2.8..
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:
方程两边求导
x?
y
?
?
)coxys(xy)(y?
)e(1?
y?
?
ex?
y?
ycos(xy)
y?
(x)?
?
x?
y
e?
xcos(xy)
x?
0,y?
0,y?
(0)?
?
1
7
7x6dx?
du10.解:
u?
x
1(1?
u)112
原式?
?
?
?
(?
)du
7u(1?
u)7uu?
11
?
(ln|u|?
2ln|u?
1|)?
c712
?
ln|x7|?
ln|1?
x7|?
C7711.解:
?
1
?
30
f(x)dx?
?
xedx?
?
?
3?
x
?
x
?
?
xd(?
e)?
?
?
3
0?
3
0?
2
?
x?
x2?
?
(令x?
1?
sin?
)?
?
xe?
e?
?
?
?
?
cos?
d?
4
12.解:
由f(0)?
0,知g(0)?
0。
x
1
xt?
u
?
?
?
2e3?
1
g(x)?
?
f(xt)dt?
x
?
f(u)du
x
(x?
0)
g?
(x)?
xf(x)?
?
f(u)du
x
x0
2
(x?
0)
g?
(0)?
lim
x?
0
?
f(u)du
x2
?
lim
x?
0x
f(x)A
?
2x2
?
A?
AA
?
22,g?
(x)在x?
0处连续。
limg?
(x)?
lim
x?
0
x?
0
xf(x)?
?
f(u)du
x
02
dy2
?
y?
lnxdxx13.解:
y?
e?
?
?
xdx
2
(?
e
?
xdx
2
lnxdx?
C)
11
xlnx?
x?
Cx?
2
93
111
y
(1)?
?
C,?
0y?
xlnx?
x
399,
四、解答题(本大题10分)14.解:
由已知且
,
将此方程关于x求导得y?
?
?
2y?
y?
2
特征方程:
r?
r?
2?
0
y?
?
2?
ydx?
y
x
解出特征根:
r1?
?
1,r2?
2.
其通解为
y?
C1e?
x?
C2e2x
代入初始条件y(0)?
y?
(0)?
1,得
21y?
e?
x?
e2x
33故所求曲线方程为:
五、解答题(本大题10分)
C1?
21,C2?
33
1
y?
lnx0?
(x?
x0)
x0
15.解:
(1)根据题意,先设切点为(x0,lnx0),切线方程:
1y?
xx?
e0e由于切线过原点,解出,从而切线方程为:
1
则平面图形面积
A?
?
(ey?
ey)dy?
1
e?
12
(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1,则
曲线y?
lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1
V1?
1?
e23
V2?
?
?
(e?
ey)2dy
6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
q
1
q
q
V?
V1?
V2?
?
(5e2?
12e?
3)
1
16.证明:
0
q
?
f(x)dx?
q?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
q(?
f(x)dx?
?
f(x)dx)
q
1q
?
(1?
q)?
f(x)dx?
q?
f(x)dx
f(?
1)?
f(?
2)
?
1?
[0,q]?
2?
[q,1]
?
q(1?
q)f(?
1)?
q(1?
q)f(?
2)
1
?
故有:
q
?
f(x)dx?
q?
f(x)dx
证毕。
x
17.
F(x)?
?
f(t)dt,0?
x?
?
0证:
构造辅助函数:
。
其满足在[0,?
]上连续,在(0,?
)
上可导。
F?
(x)?
f(x),且F(0)?
F(?
)?
0
0?
由题设,有
?
f(x)cosxdx?
?
cosxdF(x)?
F(x)cosx|?
?
sinx?
F(x)dx
?
?
?
?
,
?
有0,由积分中值定理,存在?
?
(0,?
),使F(?
)sin?
?
0即F(?
)?
0
综上可知F(0)?
F(?
)?
F(?
)?
0,?
?
(0,?
).在区间[0,?
],[?
?
]上分别应用罗尔定理,知存在
?
1?
(0,?
)和?
2?
(?
?
),使F?
(?
1)?
0及F?
(?
2)?
0,即f(?
1)?
f(?
2)?
0.
?
F(x)sinxdx?
0
高等数学I解答
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)
(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
?
x,?
x1.当x?
x0时,?
?
?
?
都是无穷小,则当x?
x0时(D)不一定是
无穷小.(A)(C)
?
x?
?
?
?
x?
ln?
1?
?
(x)?
?
(x)?
1x?
a
22
(B)?
?
x?
?
?
?
x?
?
2(x)
(D)?
(x)
?
sinx?
lim?
?
x?
asina?
?
2.极限(A)1
的值是(C).(B)e
(C)e
cota
(D)e
tana
?
sinx?
e2ax?
1
x?
0?
f(x)?
?
x
?
ax?
0在x?
0处连续,则a=(D).?
3.
(C)e(D)?
1
f(a?
h)?
f(a?
2h)lim?
f(x)h?
0h4.设在点x?
a处可导,那么(A).(A)3f?
(a)(B)2f?
(a)
1
f?
(a)
?
f(a)(C)(D)3(A)1
(B)0
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)ln(x?
a)?
lna1lim(a?
0)
x5.极限x?
0的值是a.
篇二:
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷
一、选择题(共12分)
?
2ex,x?
0,1.(3分)若f(x)?
?
为连续函数,则a的值为().
?
a?
x,x?
0
(A)1(B)2(C)3(D)-1
2.(3分)已知f?
(3)?
2,则limh?
0f(3?
h)?
f(3)的值为().2h
(A)1(B)3(C)-1(D)
?
12
3.(3
分)定积分?
2?
的值为().?
2
(A)0(B)-2(C)1(D)2
4.(3分)若f(x)在x?
x0处不连续,则f(x)在该点处().
(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限
二、填空题(共12分)
1.(3分)平面上过点(0,1),且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为.
2.(3分)?
(x2?
x4sinx)dx?
.?
11
3.(3分)limx2sinx?
01=.x
4.(3分)y?
2x3?
3x2的极大值为
三、计算题(共42分)
1.(6分)求limx?
0xln(1?
5x).sin3x2
2.(6
分)设y?
求y?
.3.(6分)求不定积分?
xln(1?
x2)dx.
4.(6分)求?
3
0?
x,x?
1,?
f(x?
1)dx,其中f(x)?
?
1?
cosx?
ex?
1,x?
1.?
5.(6分)设函数y?
f(x)由方程?
edt?
?
costdt?
0所确定,求dy.00ytx
6.(6分)设?
f(x)dx?
sinx2?
C,求?
f(2x?
3)dx.
3?
?
7.(6分)求极限lim?
1?
?
.n?
?
?
2n?
四、解答题(共28分)
1.(7分)设f?
(lnx)?
1?
x,且f(0)?
1,求f(x).n
?
?
?
?
2.(7分)求由曲线y?
cosx?
?
?
x?
?
与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2?
?
2
所得旋转体的体积.
3.(7分)求曲线y?
x3?
3x2?
24x?
19在拐点处的切线方程.
4.(7
分)求函数y?
x[?
5,1]上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设f?
?
(x)在区间[a,b]上连续,证明
?
b
af(x)dx?
b?
a1b[f(a)?
f(b)]?
?
(x
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