高考数学理真题分类汇编专题 导数 含考点详细解析.docx
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高考数学理真题分类汇编专题导数含考点详细解析
高考数学(理)真题分类汇编:
专题03导数含考点详细解析
20XX年高考数学(理)真题分类汇编:
专题三导数含考点详细解析
1.【2015高考福建,理10】若定义在R上的函数fx满足f01,其导函数fx满足fxk1,则下列结论中一定错误的是()
A.f11B.fkk1k1111C.D.ffk1k1k1k1kk1
【答案】C
【解析】由已知条件,构造函数g(x)f(x)kx,则g(x)f(x)k0,故函数g(x)''
在R上单调递增,且111k0,故g()g(0),所以f()1,k1k1k1k111,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数)k1k1
1h(x)f(x)x,则h'(x)f'(x)10,所以函数h(x)在R上单调递增,且0,所k
11111以h()h(0),即f()1,f()1,选项A,B无法判断,故选C.kkkkkf(
【考点定位】函数与导数.
【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题.
2.【2015高考陕西,理12】对二次函数f(x)axbxc(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()
A.1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线yf(x)上
【答案】A
【解析】若选项A错误时,选项B、C、D正确,fx2axb,因为1是fx的极值点,2
2ab0b2af10,即,解得:
,因为点2,8在3是fx的极值,所以abc3c3af13
曲线yfx上,所以4a2bc8,即4a22aa38,解得:
a5,所以b10,c8,所以fx5x210x8,因为
f1511018230,所以1不是fx的零点,所以选项A错误,2
选项B、C、D正确,故选A.
【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值.
【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”,否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合情推理.
3.【2015高考新课标2,理12】设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f
(1)0,
当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()''
A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,)
C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,)
【答案】
A
【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质.
【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若
遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题.
4.【2015高考新课标1,理12】设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的x
整数x0,使得f(x0)
(A)[-0,则a的取值范围是()333333,1)(B)[-,)(C)[,)(D)[,1)2e2e42e42e
【答案】D
【解析】设g(x)=e(2x1),yaxa,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线x
11所以当x时,当x时,g(x)<0,g(x)yaxa的下方.因为g(x)ex(2x1),22
1>0,所以当x时,[g(x)]max=-2e2,当x0时,g(0)=-1,g
(1)3e0,直线21
1(1,0)斜率且a,故ag(0)1,且g
(1)3eaa,解得yaxa恒过3≤a2e
<1,故选
D.
【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路1:
参变分离,转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函数),则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值);思路2:
数形结合,利用导数先研究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解;思路3:
分类讨论,本题用的就是思路2.
5.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:
y
1,因101022216,设抛物线的方程为x22py(p0)2
2525222为该抛物线过点5,2,所以2p25,解得p,所以x2y,即yx,所4225原始的最大流量是
以当前最大流量是
22232xdx2xx5257555
522403,故255325575753
原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2,所以答案应填:
1.2.40
3
【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即由直线xa,xb,y0和曲线yfx所围成的曲边梯形的面积是fxdx.b
a
26.【2015高考天津,理11】曲线yx与直线yx所围成的封闭图形的面积
为.
【答案】16
【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
2【2015高考湖南,理11】0(x1)dx.
【答案】0.
【解析】试题分析:
12(x1)dx(xx)2
00.022
【考点定位】定积分的计算.
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解能力,属于容易题,定积分的计算通常有两类基本方法:
一是利用牛顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义求解.
7.【2015高考新课标2,理21】(本题满分12分)
设函数f(x)emxx2mx.
(Ⅰ)证明:
f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增;
(Ⅱ)若对于任意x1,x2[1,1],都有f(x1)f(x2)e1,求m的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)[1,1].
【解析】(Ⅰ)f(x)m(e'mx1)2x.
'若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,
f'(x)0.
若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,'
f'(x)0.
所以,f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m,f(x)在[1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x0处取得最小值.所以对于任意x1,x2[1,1],f(x1)f(x2)e1的充要条件是:
mf
(1)f(0)e1,eme1,t即①,设函数g(t)ete1,则mf
(1)f(0)e1,eme1,
g'(t)et1.当t0时,g'(t)0;当t0时,g'(t)0.故g(t)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增.又g
(1)0,g
(1)e2e0,故当t[1,1]时,g(t)0.当1
即①式成立.当m1时,由g(t)的单调性,m[1,1]时,g(m)0,g(m)0,g(m)0,
即emme1;当m1时,g(m)0,即emme1.综上,m的取值范围是
[1,1].
【考点定位】导数的综合应用.
【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数f(x)m(e'mx根据m的范围讨论导函数在(,0)和1)2x,
(Ⅱ)f(x1)f(x2)e1恒成立,等价于f(x1)f(x2)maxe1.由(0,)的符号即可;x1,x2是两个独立的变量,故可求研究f(x)的值域,由(Ⅰ)可得最小值为f(0)1,最大值可
能是f
(1)或f
(1),故只需f
(1)f(0)e1,,从而得关于m的不等式,因不易解出,f
(1)f(0)e1,
故利用导数研究其单调性和符号,从而得解.
8.【2015高考江苏,19】(本小题满分16分)
已知函数f(x)xaxb(a,bR).32
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若bca(实数c是a与无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(,3)(1,)(,),求c的值.
【答案】
(1)当a0时,fx在,上单调递增;
当a0时,fx在,3232
2a2a0,,上单调递增,在,0上单调递减;33
2a2a,上单调递增,在0,上单调递减.33当a0时,fx在,0,
(2)c
1.
当a0时,x,02a2a,时,fx0,x0,时,fx0,33
2a2a,上单调递增,在0,上单调递减.33
2a43ab,则函数fx327所以函数fx在,0,
(2)由
(1)知,函数fx的两个极值为f0b,f
有三个
a02a43bab0零点等价于f0f,从而或43327ab027
a043.0ba27
又bca,所以当a0时,
设ga434aac0或当a0时,a3ac0.272743aac,因为函数fx有三个零点时,a的取值范围恰好是27
3333,31,,,3ga0上,且在1,,,则在上2222
ga0均恒成立,
从而g3c10,且g
323c10,因此c1.22此时,fxxax1ax1xa1x1a,
因函数有三个零点,则xa1x1a0有两个异于1的不等实根,2
所以a141aa2a30,且1a11a0,222
33a,3解得1,,.22
综上c1.
【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点
【名师点晴】求函数的单调区间的步骤:
①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
已知函数的零点个数问题处理方法为:
利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像,数形结合求解.
已知不等式解集求参数方法:
利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.
9.【2015高考福建,理20】已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k?
R),
(Ⅰ)证明:
当x>0时,f(x) (Ⅱ)证明: 当k<1时,存在x0>0,使得对任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x); (Ⅲ)确定k的所以可能取值,使得存在t>0,对任意的xÎ(0,t),恒有|f(x)-g(x)| 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)k=1. 【解析】解法一: (1)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x? (0,? ),则有F¢(x)=1x-1=-1+x1+x 当x? (0,? ),F¢(x)<0,所以F(x)在(0,+? )上单调递减; 故当x>0时,F(x) (2)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,x? (0,? ),则有G¢(x)=1-kx+(1-k)-k=1+x1+x当k£0G¢(x)>0,所以G(x)在[0,+? )上单调递增,G(x)>G(0)= (3)当k>1时,由 (1)知,对于"x违(0,+故g(x)>f(x),),g(x)>x>f(x), |f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x), 令M(x)=kx-ln(1+x)-x2,x违[0,+),则有 21-2x+(k-2)x+k-1M¢(x)=k--2x=,1+x1+x 故 当xÎ(0时,M¢(x)>0,M(x )在 [0上单调递增,故M(x)>M(0)=0,即|f(x)-g(x)|>x2,所以满足题意的t不存在. 当k<1时,由 (2)知存在x0>0,使得对任意的任意的xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x).此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, 令 'N(x)=ln(1+x)-kx-x2,x违[0,+),则有1-2x2-(k+2)x-k+1N(x)=-k-2x,1+x1+x 故 当xÎ(0时,N¢(x)>0,M(x )在 [0上单调递增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,记x 0x1,则当x? (0,x1)时,恒有|f(x) 当k=1,由 (1)知,当x违(0,+ 2g(x)|>x2,故满足题意的t不存在.),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),21-2x-x(x)=1--2x=,),则有H¢1+x1+x令H(x)=x-ln(1+x)-x,x违[0,+当x>0时,H¢上单调递减,故H(x) 故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)| 综上,k=1. 解法二: (1) (2)同解法一. (3)当k>1时,由 (1)知,对于"x违(0,+,),g(x)>x>f(x), 故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k-1)x, 令(k-1)x>x,解得0 从而得到当k>1时,对于x? (0,k1)恒有|f(x)-g(x)|>x,所以满足题意的t不存在.22 当k<1时,取k1=k+1,从而k 由 (2)知存在x0>0,使得任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>k1x>kx=g(x).此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k1-k)x= 令1-kx,21-k1-k2,此时f(x)-g(x)>x,x>x2,解得0 1-k记x0与中较小的为x1,则当x? (0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2, 2 【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化,探究这类问题的根本,从本质入手,进而求解,利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式,注意f(x)g(x)与f(x)ming(x)max不等价,f(x)ming(x)max只是f(x)g(x)的特例,但是也可以利用它来证明,在20XX年全国Ⅰ卷理科高考21题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大 功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等函数方法所不具备的,而是其延续. 10.【2015江苏高考,17】(本小题满分14分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y(其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式ft ②当t为何值时,公路l的长度最短? 求出最短长度. 【答案】 (1)a1000,b0; (2)①f(t)定义域为[5,20],②ax2b2 tf(t)min千米 【解析】 (1)由题意知,点,的坐标分别为5,40,20,2.5. a40a25b将其分别代入y2,得,axb2.5400b a1000解得.b0 (2)①由 (1)知,y10001000(),则点的坐标为5x20t,2,2xt 2000 3,x设在点处的切线l交x,y轴分别于,点,y 则l的方程为y100020003t3000,0xt,由此得,0,2.2tt2t3 t5,20.故f t,410616106②设gtt,则gt2t.令gt 0,解得t 45tt2 当t当t时,gt0,gt是减函数; 20时,gt0,gt是增函数. 从而,当tgt有极小值,也是最小值,所以gtmin300, 此时f tmin 答: 当tl 的长度最短,最短长度为千米. 【考点定位】利用导数求函数最值,导数几何意义 【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下,本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率,然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015高考山东,理21】设函数fxlnx1ax2x,其中aR. (Ⅰ)讨论函数fx极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若x0,fx0成立,求a的取值范围. 【答案】(I): 当a0时,函数fx在1,上有唯一极值点; 当0a 当a8时,函数fx在1,上无极值点;98时,函数fx在1,上有两个极值点;9 (II)a的取值范围是0,1 . (2)当a0时,a8a1aa9a82 ①当0a8时,0,gx09 所以,fx0,函数fx在1,上单调递增无极值;②当a8时,09 设方程2ax2ax1a0的两根为x1,x2(x1x2),因为x1x2 所以,x11211,x244 1,4由g110可得: 1x1 所以,当x1,x1时,gx0,fx0,函数fx单调递增;当xx1,x2时,gx0,fx0,函数fx单调递减;当xx2,时,gx0,fx0,函数fx单调递增;因此函数fx有两个极值点. (3)当a0时,0 由g110可得: x11, 当x1,x2时,gx0,fx0,函数fx单调递增;当xx2,时,gx0,fx0,函数fx单调递减;因此函数fx有一个极值点. 综上: 当a0时,函数fx在1,上有唯一极值点;当0a 当a8时,函数fx在1,上无极值点;98时,函数fx在1,上有两个极值点;9 (II)由(I)知, (1)当0a 因为f00 所以,x0,时,fx0,符合题意; (2)当8时,函数fx在0,上单调递增,98a1时,由g00,得x209 所以,函数fx在0,上单调递增, 又f00,所以,x0,时,fx0,符合题意; (3)当a1时,由g00,可得x20 所以x0,x2时,函数fx单调递减; 又f00 所以,当x0,x2时,fx0不符合题意; (4)当a0时,设hxxlnx1 因为x0,时,hx1
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