完整word版新人教版七年级下册数学平方根教案docx.docx
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如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
课题6.1平方根(第1课时)
【教学目标】1.通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念;
2.会求非负数的算术平方根并会用符号表示.
【教学重点】算术平方根的概念和求法
【教学难点】算术平方根的求法
集体智慧【活动方案】个性调整
情境引入:
问题:
学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想
2
裁出一块面积为25dm的正方形画布,画上自己得
意的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多
活动一认识算术平方根
1.探索:
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式:
边
长的平方等于面积,求出正方形画布的边长为5dm。
接下来教师可以再深入地引导此问题:
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、4,
25
那么正方形的边长分别是多少呢?
学生会求出边长分别是1、3、4、6、2,接下
5
来教师可以引导性地提问:
上面的问题它们有共同点
吗?
它们的本质是什么呢?
这个问题学生可能总结
不出来,教师需加以引导。
上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求
这个正数的问题。
2.归纳:
⑴算术平方根的概念:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a
那么这个正数x叫做a的算术平方根。
21
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
⑵算术平方根的表示方法:
a的算术平方根记为a,读作“根号a”或“二
次很号a”,a叫做被开方数。
活动二求非负数的算术平方根
例1、求下列各数的算术平方根:
⑴100
⑵49
⑶1
7
⑷0.0001
⑸0
64
9
解:
⑴因为
102
100,所以
100
的算术平方根是10,
即100
10
;
⑵因为(7)2
49
,所以
49的算术平方根是
7,
8
64
64
8
即
49
7
64
;
8
⑶因为17
16,(4)2
16
,所以17
的算术平方根
9
9
3
9
9
是4,即
17
16
4
;
3
9
9
3
⑷因为0.0120.0001,所以0.0001的算术平方根
是0.01,即0.00010.01;
⑸因为020,所以0的算术平方根是0,
即00。
注:
①根据算术平方根的定义解题,明确平方与开平
方互为逆运算;
②求带分数的算术平方根,需要先把带分数化成
假分数,然后根据定义去求解;
③0的算术平方根是0.
由此例题教师可以引导学生思考如下问题:
你能求出-1,-36,-100的算术平方根吗?
任
意一个负数有算术平方根吗?
22
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
归纳:
一个正数的算术平方根有1个;
0的算术平方根是0;
负数没有算术平方根.
即:
只有非负数有算术平方根,如果xa有意义,
那么a0,x0.
注:
a0且a0这一点对于初学者不太容易理
解,教师不要强求,可以在以后的教学中慢慢渗透。
例2、求下列各式的值:
(1)4
(2)49(3)(11)2(4)62
81
分析:
此题本质还是求几个非负数的算术平方根。
解:
(1)42
(2)
49
7
81
9
(3)
(11)2
112
11
(4)626
例3、求下列各数的算术平方根:
⑴32
⑵43
⑶(
10)2
⑷
1
106
解:
(1)因为32
9,所以
32
9
3;
⑵因为43
64
82,所以
43
648;
⑶因为(10)2100102,
所以(10)2
100
10;
1
1
1
1
⑷因为
3
106
,所以
106
10
3。
10
23
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结:
1、由
32
3,
62
6,可得
a2
a(a0)
2、由(
11)2
11,
(10)2
10
,可得
a2
a(a
0)
教师需强调
a0
时对两种情况都成立.
课堂小结:
1、这节课学习了什么呢?
2、算术平方根的具体意义是怎么样的?
3、怎样求一个正数的算术平方根?
【课堂检测】
1.算术平方根等于本身的数有_____.
2.求下列各式的值.
1,
9,
52
,
(
7)2
25
3.求下列各数的算术平方根.
0.0025,121,
42,
(
1)2,19
2
16
4.已知a1b10,求a2b的值.
24
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
课题6.1平方根(第2课时)
【教学目标】1.了解无限不循环小数的特点;会用算术平方根的知识解决实际问题;
2.通过探究2的大小,培养学生的估算意识,了解两个方向无限逼近的数
学思想.
【教学重点】认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。
【教学难点】认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。
集体智慧【活动方案】个性调整
活动一讨论2的大小
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为
2的大正方形?
如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的
4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为
2的大
正方形。
你知道这个大正方形的边长是多少吗?
设大正方形的边长为x,则x2
2,由算术平方根的
意义可知x
2,
所以大正方形的边长为
2。
由上面的实验我们认识了
2,它的大小是多少
呢?
它所表示的数有什么特征呢?
下面我们讨论
2
的大小。
因为12
1,22
4,12<2<22,所以1<
2<2.
因为1.42
1.96,1.52
2.25,所以1.4<
2<
1.5。
因为1.412
1.9881,1.422
2.0164,所以1.41<
2<1.42
25
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
因1.41421.999396,1.41522.002225,所
以1.414<2<1.415
⋯⋯
如此行下去,我它的小数位数无限,且
小数部分不循,像的数我成无限不循小
数。
2=1.41421356⋯⋯
注:
种估算体了两个方向向中无限逼近的
数学思想,学生第一次接触,不好理解,教在解
速度要放慢,可能需要两遍。
2=1.41421356⋯⋯,是个无限不循小数,但是很抽象,没有法全部表示出来它的大小,似
的数有很多,比如3,5,7等,周率π也是一
个无限不循小数。
活二探索律
大多数算器都有“”,用它可以求出一
个有理数的算平方根或近似。
例1、用算器求下列各式的:
(1)3136;
(2)2(精确到0.001)
解:
(1)依次按3136,示:
56.所以
313656
(2)依次按
2=,示:
1.414213562
,是
一个近似。
所以21.414.
注:
不同品牌的算器,按的序可能有所不同。
例2
用算器算
3,
0.03,300
,
30000的近似.写出你的律
.你能利
用的律写出
30的?
学生通算器可求出
(1)的答案,依次是:
0.25,0.791,2.5,7.91,25,79.1,250。
从运算果可以
,被开方数大或小100倍,它的算平方
26
3:
2,不知道能否裁出来,
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
根就扩大或缩小10倍。
由31.732可得
0.030.1732,30017.32,30000173.2,
由3的值不能求出30的值,因为规律是被开方数
扩大或缩小100倍时,它的算术平方根才扩大或缩小
10倍,而3到30扩大的是10倍,所以不能由此规律
求出。
此题学生可独立完成。
活动三实际应用:
例1小丽想用一块面积为
400cm2的正方形纸片,
沿着边的方向裁出一块面积为
300cm2的长方形纸
片,使它的长与宽之比为
正在发愁,小明见了说:
“别发愁,一定能用一块面
积大的纸片裁出一块面积小的纸片。
”你同意小明的
说法吗?
小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片
吗?
分析:
学生一般认为一定能用一块面积大的纸片
裁出一块面积小的纸片。
通过计算和讲解纠正这种错
误的认识。
解:
设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm。
根据边长与面积的关系可得:
3x2x300,
6x2
300,x2
50,x
50
∴长方形纸片的长为
3
50cm。
因为50﹥49,
所以
50﹥7,从而3
50﹥21
即长方形纸片的长应该大于21cm,而已知正方
形纸片的边长只有20cm,这样长方形纸片的长将大
于正方形纸片的边长。
答:
不能同意小明的说法。
小丽不能用这块正方
形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
课堂小结:
1.被开方数增大或缩小时,其相应的算术平方根也
相应地增大或缩小,因此我们可以利用夹值的方法来
求出算术平方根的近似值;
2.利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近
似值;
27
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
3.被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大
(或缩小)的规律是怎样的呢?
4.怎样的数是无限不循环小数?
课堂检测
1.估计大小:
(1)
140与12
(2)
51与0.5
2
2.已知21.414,求0.02,0.0002,200,
20000的值。
28
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
课题6.1平方根(第3课时)
【教学目标】1.了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;
2.了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根
【教学重点】了解开方和乘方互为逆运算,弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.
【教学难点】平方根与算术平方根的区别和联系.
集体智慧【活动方案】个性调整
活动一思考归纳,引入概念
如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
学生思考并讨论,使学生明白这样的数有两个,它们是3和-3。
受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数,这时可提醒学生,
这里的这个数可以是负数。
注意(-3)2=9中括号的作用。
24
又如:
x=,则x等于多少呢?
25
使学生完成课本165页的填表练习。
填表:
x2
1
16
36
4
49
25
x
给出平方根的概念:
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即:
如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
例如:
±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算。
观察:
课本45页中的图6.1-2。
图6.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程,揭示了开平方运算的本质。
让学生体验平方和开平方的互逆关系,并根据这个关系说出1,
4,9的平方根。
注意:
这阶段主要是让学生建立平方根的概念,先不引入平方根的符号,给出的数是完全平方数。
例1(课本45页的例4)求下列各数的平方根:
(1)100;
(2);(3)0.25.
建议:
教师要规范书写格式。
29
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
活二
,深化概念
按照平方根的概念,同学思考并下列:
正数的平方根有什么特点?
0的平方根是多少?
数有平方根?
建:
可引学生通察x2=a中的a和x的取范和取
个数得出。
注:
学生开始接触平方根,有两点可能不太,一个是正
数有两个平方根,即正数行开平方运算有两个果,与学生
去遇到的运算果惟一的情况有所不同,另一个是数没有平方
根,即数不能行开平方运算,种某数不能行某种运算的情
况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(
0
作除数的情况除外)。
教学,可以通多例明两点,并
在本以后的教学中化两点。
引入符号:
正数a的算平方根可用
表示;正数a的的平方
根可用
a表示。
例如⋯⋯
思考:
表示什么意思,里的x可取什么的数呢?
而于-
又怎理解呢?
里的x又可取什么的数呢?
活三
用知
例2
下列各式是否有意,什么?
(1)
3;
(2)
3;(3)
(3)
2
1
;(4)
2.
10
例3
下列各数有平方根?
如果有,
求出它的平方根;如果没有,
明理由。
-64,0,(-4)2,10-2
如果有要用平方根的符号来表示。
例4求下列各式的:
(1)
36;
(2)
0.81;(3)
49
.
9
建:
要学生明白各式所表示的意;根据平方关系和平方根概念的格式写解格式.平方根和算平方根的概念是本章重点内容,两者既有区又有系。
区在于正数的平方根有两个,而它的算平方根只有一个;系在于正数的平方根是它的算平方根的相反数,根据它的算平方根可以立即写出它的平方根,因此我可以利用算平方根来研究平方根。
小:
什么叫做一个数的平方根?
正数,0,数的平方根有什么律?
怎求出一个数的平方根?
数a的平方根怎表示?
30
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
【课堂反馈】
1.判断下列说法是否正确:
(1)0的平方根是0;
(2)1的平方根是1;
(3)-1的平方根是-1;
(4)0.01的平方根是0.1的一个平方根.
2.填表:
x
8
-8
3
3
5
5
x2
160.36
3.计算下列各式的值:
(1)9;
(2)
0.49;(3)
64
.
81
4.平方根概念的起源与几何中的正方形有关.如果一个正方形的面积为A,那么这个正方形的边长是多少?
31
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
课题6.2立方根
【教学目标】1.了解立方根的概念和表示方法;
2.会求一个数的立方根;
3.通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系,可以将求负数的立
方根转化为求正数的立方根的问题,培养学生的转化思想.
【教学重点】立方根的概念和求法
【教学难点】立方根的求法。
集体智慧【活动方案】个性调整
情景引入:
要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱
的边长应该是多少?
活动一探索归纳认识立方根
1.探索:
设这种包装箱的边长为xm,则x327,
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为3327,所以x3,即这种包装箱的边长应为3m。
2.归纳:
立方根的概念:
一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
立方根的表示方法:
如果x3a,那么x叫做a的立方根。
记作
x3a,3a读作三次根号a。
其中a是被开方数,3是根指数,3a中的根指数3不能省略。
开立方的概念:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算,可以根据这种关系求一个数的立方根。
3.探索立方根的特点:
根据立方根的意义填空,并思考正数、0、负数的立方根各有什么特点?
(1)因为23
8,所以8的立方根是
;
(2)因为(
)3
0.125,所以0.125的立方根是
;
(3)因为(
)3
0,所以0的立方根是
;
32
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
(4)因为(
)3
8,所以
8的立方根是
;
(5)因为(
)3
8
,所以
8
的立方根是
.
27
27
学生独立完成后,教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳:
正数的立方根是正数;
负数的立方根是负数;
0的立方根是0.
4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系:
填空:
因为3
8
,
3
8
,所以3
8
因为3
27
,3
27
,所以3
27
由上面两个例子可归纳出:
一般地,
3
a
3a。
3
3
8;
27
注:
这个关系对于正数、负数、零都成立。
求负数的立方根时,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再确它的相反数。
活动二应用新知解题
例1求下列各式的值:
(1)
3
64
(2)
3
125
(3)
3
27
64
分析:
根据立方根的意义求解。
解:
(1)
3
64
4
(2)
3
125
5
(
3)
3
27
3
64
4
例2求下列各式中x的值:
(1)x3
0.008
(2)x3
3
3
(3)(x
1)3
8
8
分析:
此题的本质还是求立方根。
解:
(1)∵x3
0.008
∴x
3
0.008
∴x
0.2
(2)∵x3
3
3
∴x3
27
∴x
3
8
8
2
(3)∵(x1)3
8
∴x12
∴x3
例3用计算器计算3
103
,3106,3109
,3103,3106的值,
你发现了什么?
并总结出来。
利用你前面发现的规律填空:
已知
3216
6,则30.000216
,3
216000____。
33
如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人:
张剑峰
解:
3
103
10,3
106
102,3109
103,3103
101,
3
106
10
2
由此发现:
一个数扩大或缩小
1000倍时,它的立方根扩大或
缩小10倍。
3
0.000216
0.06,3216000
60。
课堂小结
1.立方根和开立方的定义.
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同.
【课堂反馈】
1.
立方根等于本身的数是___
;
2.
如果31a1a,则a
___.
3.64的立方根是____,
(4)3的立方根是____.
4.已知
3x
16
的立方根是
4,求
2x
4
的算术平方根.
5.已知x3
4,求3(x
10)3的值.
6.比较大小:
(1)31.2
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