中考数学规律探究问题专题复习学案.docx
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中考数学规律探究问题专题复习学案
2016中考数学规律探究问题专题复习学案
规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”常见的类型有:
(1)数式规律型;
(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等
【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求
(1)数式规律型:
数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条的格式
(2)图形变化规律型:
图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律这需要有敏锐的观察能力和计算能力
(3)坐标变化规律型:
此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键
(4)数形结合规律型:
这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识
类型一 数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题
举一反三
1(201•东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:
1 第1行
2 第2行
2 3 2 第3行
4 3 2 第4行
……
根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示)
2(201•东临沂)请你计算:
(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+xn)的结果是( )
A1-xn+1B1+xn+11-xnD1+xn
【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键
类型二 图形变化规律型
典例2 (201•四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第201个图形是 【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用201先减2再除以6,根据余数决定第201个图形因为(201-2)÷6=33……2,故第201个图形与第2个图象相同,故答案是正方形
【全解】正方形
【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求
举一反三
3(201•湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放201个时,实线部分长为
(1)
(2)(3)
(第3题)
4(201•珠海)如图,在等腰Rt△AA1中,∠AA1=90°,A=1,以A1为直角边作等腰Rt△A1A2,以A2为直角边作等腰Rt△A2A3,…,则A4的长度为 (第4题)
(201•湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到201再到201,箭头的方向是以下图示中的( ) (第题)
【小结】
(1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;
(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题
类型三 坐标变化规律型
典例3 (201•广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形AB的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为Pn,则点P3的坐标是 ;点P2014的坐标是 【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),
当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),
∵201÷6=33……4,
∴当点P第201次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹
点P的坐标为(,0)
故答案为(8,3),(,0)【全解】(8,3) (,0)
【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用201除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可
举一反三
6(201•湖北荆门)如图,在第1个△A1B中,∠B=30°,A1B=B;在边A1B上任取一点D,延长A1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( ) (第6题)
7(201•东潍坊)如图,已知正方形ABD,顶点A(1,3),B(1,1),(3,1)规定“把正方形ABD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过201次变换后,正方形ABD的对角线交点的坐标变为( ) (第7题)
A(-2012,2)B(-2012,-2)
(-2013,-2)D(-2013,2)
【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律
类型四 数形结合规律型
典例4 (201•东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△AB绕点A顺时针旋转到△AB11的位置,点B,分别落在点B1,1处,点B1在x轴上,再将△AB11绕点B1顺时针旋转到△A1B12的位置,点2在x轴上,将△A1B12绕点2顺时针旋转到△A2B22的位置,点A2在x轴上,依次进行下去……若点,B(0,4),则点B201的横坐标为 故答案为10070
【全解】10070
【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案
举一反三
8(201•四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,An,An+1是x轴上的点,且A1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,An,An+1作x轴的垂线交直线=2x于点B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,AnBn+1,BnAn+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,Pn△A1B1P1,△A2B2P2,△AnBnPn的面积依次记为S1,S2,S3,…,Sn,则Sn为( ) (第8题)
9(201•东威海)如图,在平面直角坐标系x中,Rt△A11,Rt△A22,Rt△A33,Rt△A44…的斜边都在坐标轴上,∠A11=∠A22=∠A33=∠A44=…=30°若点A1的坐标为(3,0),A1=2,A2=3,A3=4…,则依此规律,点A201的纵坐标为( ) (第9题)
【小结】此类题主要考查坐标的变化规律解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题
类型一
1(201•东烟台)将一组数,,3,2,,…,3,按下面的方式进行排列:
,3,2,;
3,,2,3,;
……
若2的位置记为(1,4),2的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( )
A(,2)B(,3)
(6,2)D(6,)
2(201•湖北咸宁)观察分析下列数据:
0,-,,-3,2,-,3,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是 (结果需化简)
3(201•贵州铜仁)一列数:
0,-1,3,-6,10,-1,21,…,按此规律第n个数为
4(201•甘肃白银)观察下列各式:
13=12,
13+23=32,
13+23+33=62,
13+23+33+43=102,
……
猜想13+23+33+…+103=
类型二
(201•湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第个图中共有点的个数是( ) (第题)
A31B461D66
6(201•湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由 个▲组成(第6题)
7(201•广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第个图形中所有正三角形的个数有
…
(第7题)
类型三
8(201•湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:
第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至点,第3次从点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41(第8题)
9(201•甘肃天水)如图,一段抛物线=-x(x-1)(0≤x≤1)记为1,它与x轴交点为,A1,顶点为P1;将1绕点A1旋转180°得2,交x轴于点A2,顶点为P2;将2绕点A2旋转180°得3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得10,顶点为P10,则P10的坐标为( )(第9题)
类型四
10(201•四川遂宁)已知:
如图,在△AB中,点A1,B1,1分别是B,A,AB的中点,A2,B2,2分别是B11,A11,A1B1的中点,依此类推…若△AB的周长为1,则△AnBnn的周长为
(第10题)
11(201•江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABD四边的中点,得到四边形A1B11D1,然后顺次连接四边形A1B11D1的中点,得到四边形A2B22D2,再顺次连接四边形A2B22D2四边的中点,得到四边形A3B33D3,…,按此方法得到的四边形A8B88D8的周长为
12(201•广东佛)
(1)证明三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图
(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)]
(2)如图
(2),在▱ABD中,对角线焦点为,A1,B1,1,D1分别是A,B,,D的中点,A2,B2,2,D2分别是A1,B1,1,D1的中点,…,以此类推若▱ABD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;
(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?
参考答案
【真题精讲】2A 解析:
(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+xn)=1-xn+1
3方法一:
由图形可得出:
摆放一个矩形实线长为3,
摆放2个矩形实线长为,摆放3个矩形实线长为8,
摆放4个矩形实线长为10,摆放个矩形实线长为13,
即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,
第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,
∵摆放201个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,
∴摆放201个时,实线部分长为3+10072+10063=03
故答案为03
方法二:
第①个图实线部分长3,
第②个图实线部分长3+2,
第③个图实线部分长3+2+3,
第④个图实线部分长3+2+3+2,
第⑤个图实线部分长3+2+3+2+3,
第⑥个图实线部分长3+2+3+2+3+2,
……
从上述规律可以看到,对于第n个图形,
当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为
48 解析:
∵△AA1为等腰直角三角形,A=1,
∴AA1=A=1,A1=A=
∵△A1A2为等腰直角三角形,
∴A1A2=A1=,A2=A1=2
∵△A2A3为等腰直角三角形,
∴A2A3=A2=2,A3=A2=2
∵△A3A4为等腰直角三角形,
∴A3A4=A3=2,A4=A3=4
故答案为4
D 解析:
由图可知,每4个数为一个循环组依次循环,
2013÷4=03……1,
∴2013是第04个循环组的第2个数
∴从2013到201再到201,箭头的方向是
故选D7A 解析:
∵正方形ABD,点A(1,3),B(1,1),(3,1),
∴的坐标变为(2,2)
∴根据题意得,第1次变换后的点的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),
第2次变换后的点的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),
第3次变换后的点的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),
第201次变换后的点的对应点的坐标为(2-201,2),即(-2012,2)
故答案为A
8D 解析:
本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,Sn,进而得出答案
9D 解析:
∵∠A22=30°,A1=2=3,【后精练】
1 2-342 解析:
本题的规律为:
从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2
B 63n+1
748 解析:
本题考查图形的变化规律由图可以看出:
第一个图形中个正三角形,第二个图形中3+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=3个正三角形,由此得出第四个图形中33+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=48个正三角形
828 9(9,-02)12
(1)已知:
在△AB中,D,E分别是边AB,A的中点,证明:
如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)
∵E是A的中点,
∴AE=E
在△ADE和△FE中,∴△ADE≌△FE(SAS)
∴AD=F(全等三角形对应边相等),
∠A=∠EF(全等三角形对应角相等)
∴AD∥F
∵点D是AB的中点,
∴AD=BD
∴BD=F且BD∥F
∴四边形BFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DF∥B且DF=B(平行四边形的对边平行且相等)
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