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测量误差分析和实验数据处理
《力学实验原理与技术》复习提纲(参考)
第二章测量误差分析和实验数据处理
本章內容:
1.测量误差基本概念2.随机误差3.系统误差4.间接误差
5.测量结果的表示和不确定度6.实验数据处理
2.1测量误差基本概念
1.测量——比较
∙测量的方式:
(1)直接测量:
米尺量桌子可直接知道桌子长度。
(2)间接测量:
由直接测量的数据,通过一定的函数关系,计算求得结果的测量方法∙静态测量与动态测量:
按照被测量在测量过程中的状态是否随时间变化判断静态/
动态,常规、稳态/过程、瞬态
2.误差——测量的质量
∙真值:
在一定时空条件下,某物理量的理想值,表达为A。
真值仅为理想概念。
真
值可以用修正过的测量值的算术平均值代替。
∙误差的表达方法:
绝对误差:
测量值与被测量物理量的真值的差示值相对误差:
绝对误差与真值的百分比测量值相对误差:
绝对误差与测量值x的百分比
[例1]仪表的精度用额定相对误差(满度误差)表示。
额定相对误差:
绝对误差与仪器满度值A0的百分比。
A0——表盘上的最大值(满度值)。
仪器工作在满度值2/3以上区域。
思考题2:
用万用表测电池电压1.5V,选2V档?
200V档?
允许误差更小?
3.误差分类
∙系统误差——多次测量同一被测量量过程中,误差的数值在一定条件下保持恒定
或以可预知方式变化的测量误差的分量。
来源于测量仪器本身精度、操作流程、操作方式、环境条件。
∙随机误差——多次测量同一被测量量过程中,绝对值和符号以不可预知方式变化
着的测量误差的分量。
具有随机变量特点,一定条件下服从统计规率的误差。
来源于测量中的随机因素:
实验装置操作上的变动性、观测者本人的判断和估计读数上的变动性等。
2.2随机误差
1.随机误差的特点
随机变量——依赖随机因素,以一定概率取值的变量,如:
交通事故随机误差——随机变量的一种具体形式,2.随机误差的正态分布
(1)随机误差分布特点:
等精度条件下,对一物理现象测量N次,得x1……xN个值(i=1,N)。
把xi按大小顺序分q组,每组宽度。
N个测量值落在xi+区间的次数(频率)为p*1……p*q
增加组数,缩小了,直方图的顶点趋于一光滑曲线。
纵坐标趋于概率
密度
,表示随机变量x(测量值)的分布曲线;如果用ξ=x-A代替x值(ξ绝对误差),则上述方法得到p(ξ,即随机误
差ξ的分布曲线。
此时原点挪至A。
随机误差正态误差分布规律的四条公理:
(ⅰ)绝对误差小出现机会多,绝对误差大出现机会少;(ⅱ)对称性。
N足够大,ξ相等;
(ⅲ)有界性。
绝对值极大的误差出现机会极少;
(ⅳ)抵偿性,N趋于无穷,随机误差的平均值的极限趋于0
(2高斯正态分布
等精度条件下测量N次,x1….xN,误差ξ1….ξN
测量误差的均方值:
标准误差——测量误差的均方根值
随机误差分布规律f(ξ若符合高斯分布为:
称精密度,s越小则h越大,曲线越尖,ξ的离散性越小。
落到ξ和ξ+∆ξ之间的随机误差的概率
(3)正态分布的应用
对服从正态分布的误差,误差介于s的概率为:
1lim(0N
iNi1Nξ→∞==∑
0N→∞→11N
i
ixxN==∑2
21
1NiiNσξ==∑σ2
22
2(hfξ
ξ
σξ--=h=((pfdξξξ={}(0.6827
pfdσσ
ξσξξ-〈==⎰
(
*jpxpx→x∆x
∆x∆±
误差介于2s和3s的概率为
极限误差。
3算术平均值
最小二乘法指出:
对等精度的多个测量值,最佳值(可信赖值)是使各测量
值的误差的平方和为最小时所求的值。
推导:
绝对误差:
概率:
误差同时出现的概率是各个概率的乘积:
p最大则最小
结论:
足够次数的等精度测量的算术平均值是测量最佳值4标准误差σ
定义:
误差的均方根值(1贝塞尔公式法求
推导:
方差的基本预算法则
用残差vi代替绝对误差ξ时,标准误差σ与σv在N趋于无穷时才相等。
(2最大残差法求
残差:
真值A用算术平均值代替时的误差由正态分布,获得不同N次测量下的最大残差ni的平均值,则任一次测量
可查表(已知),由正态分布理论给出。
(3标准误差σ与平均误差δ的关系
{
}{}
p20.954530.9973
pξσξσ〈=〈=Axii-=ξ~1(Ni
=2
2
1...ihN
Npppe
ξ-∑==2i1
N
iQξ==∑22
11
(NNiiiiQxAξ====-∑∑1d2(0dNiiQxAA==-=∑11N
iiAxxN===
∑vσ==iixxν-=iixA
ξ-111111=NNNiiiiiiiNxxxxNNNνξξξ--=-=-=∑∑∑
2
211
1N
Nii
NvNξ-=∑
∑
σ=
vσ==iixx
ν-11max,NN
iiiiikvvxxNσ='==-∑Nk'1
1N
i
iN
δξ
==
∑
▪平均误差δ——误差绝对值的算术平均值
▪平均误差δ与标准误差σ的关系:
本节小结
•随机误差特点
•A怎么求?
最小二乘法•标准误差σ及表示方法
2.3系统误差
不易发现但有一定规律,与随机误差同时存在。
仪器误差、装置误差、操作误差、方法误差1.发现和检验
观察残差:
发现测量中含有有规律累进性系差的同号(累进性)、交替(同
时性)
对实验原理、方法、步骤、仪器一一分析。
2.消除或减弱系统误差的方法
改进仪表的精度;
改进测量方式:
实验进行的步骤、测量点的顺序
2.4间接误差
直接测量不方便或不可能用间接方法。
带入误差的机会:
测尺寸,密度参数,体积计算等
1.线性函数误差传递的一般法则
直接测量量:
z1,…,zm直接测量量的误差:
间接测量量y为z的线性函数:
y的绝对误差:
相对误差:
标准误差
2.非线性函数误差传递
将y在∆y附近做Taylor展开,且取一次近似
则绝对误差或
σ
δ5
4~,,1mzz∆∆0
iizzz∆=-1ymiiiaz==∑1
ym
ii
iaz=∆=∆
∑y∆
y
y∆
yσ1(,,myfzz=1N
i
iif
yyyzz=∂+∆=+∆∂∑
1mi
i
fyzz=∂∆=∆∂∑
y∆=y
y
∆=
相对误差
标准误差其中
本节小结
系统误差及来源,消除方法;间接误差的推导
2.5测量结果的表示和不确定度
1.直接测量结果的表示和总不确定度
不确定度——由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。
表征被测量量的真值所处的量值范围的评定。
∆A——统计方法算出的误差分量
∆B——非统计方法算出的误差分量,与系统误差有关。
2.间接测量结果的表示和不确定度的合成
误差表达式仍为:
统计方法算出的误差分量∆A表达方式相同;非统计方法的误差分量∆B=
∆ϕ,∆ϕ是间接误差。
2.6实验数据的处理
1.
有效数字
定义:
仪器可读准的数字+1位欠准数字(可疑数字)=有效数字
∙记录测量数值,只保留一位欠准数字
∙当测量误差已知时,测量结果的有效数字位数应与该误差位数一致。
若仪器误差±
0.1Pa,测量结果表达57.5±0.1Pa,5是估计值。
有效数字表示
▪普通记数法:
6371±10km
▪科学计数法×10±n,6.371×103±10km
2.实验结果的数据处理
按实验先后顺序排列数据
求算术平均值
计算残差:
理论上
计算标准误差(用贝塞尔公式)实验不确定度∆=σ+∆B,实验结果的最后表达式
yσi
zf
∂∂xx=±∆
AB∆=∆+∆∆=∆A+∆B
1
1N
iixx
N==∑iivxx=-10N
iiv==∑σ=xx=
±∆
3.实验曲线绘制实验结果的表达:
表格、曲线绘制曲线,坐标选择,误差带,曲线拟合©坐标系§直角坐标/对数坐标§自变量:
x轴,因变量:
y轴§坐标分度与实验数据有效数字位数§多参数à三维(x,y,t)©实验点§所有各组次的实验点直接给§平均值+误差带(判断随机误差和系统误差?
)©拟合曲线§选择函数§最小二乘法计算拟合度§软件选择(Excel、Origin、Matlab、SAS、SPSS等)4.图像处理的精度©SEM,TEM,光学显微镜……©x±D本节小结•实验数据表达x=x+DD=DA+DBD=DA+Dj••实验曲线:
误差带、拟合曲线选择实验结果分析本章小结1.误差:
随机误差DA(算术平均值、标准偏差),系统误差DB(仪表精度、间接误差D=DA+DB2.实验结果的表达:
x=x±D曲线
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