版 第1章 123 第2课时 直线与平面垂直.docx
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版第1章123第2课时直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直
1.能正确判断直线与平面垂直的位置关系.(重点)
2.了解点到平面的距离和直线与平面间的距离.(难点)
3.理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理.(重点、难点)
4.了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的定义
阅读教材P35~P36思考以上的部分,完成以下问题.
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,则称直线a与平面α互相垂直,符号表示:
a⊥α.直线a叫做平面α的垂线,平面α叫做直线a的垂面,垂线和平面的交点称为垂足.
图形表示:
图1-2-54
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.(×)
(2)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行.(×)
(3)若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b.(√)
(4)若l⊥平面ABCD,则l⊥BC.(√)
教材整理2 直线与平面垂直的判定
阅读教材P36~P37第5行,完成下列问题.
直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面
a⊥α
1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
能判定直线与此平面垂直的有________.
【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定,而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内,④中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直.
【答案】 ①③
2.下列条件中,能判定直线l⊥平面α的有________.
①l与平面α内的两条直线垂直;
②l与平面α内的无数条直线垂直;
③l与平面α内的某一条直线垂直;
④l与平面α内的任意一条直线垂直.
【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确.
【答案】 ④
教材整理3 直线与平面垂直的性质
阅读教材P37第8行~第13行,完成下列问题.
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行
⇒a∥b
已知α是平面,a,b是直线,且a∥b,a⊥平面α,则b与平面α的位置关系是________.
【解析】 由线面垂直的性质可知,若a∥b,a⊥α,则b⊥α.
【答案】 垂直
教材整理4 距离及直线与平面所成的角
阅读教材P36第13,14行及P38第4,5行和P39例3以上部分内容,完成下列问题.
1.距离
(1)点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离.
(2)直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
2.直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.特别地:
如果直线和平面垂直,那么就说这条直线与平面所成的角是直角;如果直线与平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,则点C到平面B1BDD1的距离为________,AB到平面A1B1CD的距离为________.
【导学号:
41292031】
【解析】 连结AC,则AC⊥BD,又BB1⊥AC,故AC⊥平面B1BDD1,所以点C到平面B1BDD1的距离为
AC=
,AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离,等于
.
【答案】
2.如图1-2-55所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于________.
图1-2-55
【解析】 ∵PA⊥平面ABC,
∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角,
在Rt△PAB中,PA=AB,∴∠PBA=45°.
【答案】 45°
[小组合作型]
线面垂直判定定理的应用
如图1-2-56所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证:
AE⊥平面PBC.
图1-2-56
【精彩点拨】 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可,已知AE⊥PC,再证AE⊥BC,即转为证BC垂直于平面PAC即可.
【自主解答】 ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径,
∴BC⊥AC.而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.
1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法.
2.线线垂直与线面垂直的转化关系
线线垂直
线面垂直
[再练一题]
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:
EF⊥平面BB1O.
图1-2-57
【证明】 ∵E,F分别是棱AB,BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,
∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO,EF⊥BO,
又∵BB1⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD,
∴EF⊥BB1,
又BO∩BB1=B,∴EF⊥平面BB1O.
线面垂直性质定理的应用
如图1-2-58,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.求证:
EF∥BD1.
图1-2-58
【精彩点拨】 利用线面垂直的性质定理证明EF,BD1垂直于平面AB1C可得结论.
【自主解答】
如图所示,
连结AB1,B1C,BD,B1D1,
∵DD1⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1B1,
又BD1⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥AC,EF⊥A1D,
又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
空间中证明两条直线平行的方法:
(1)利用线线平行定义证两线无公共点;
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c(公理4);
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行;
(4)若a⊥α,b⊥α,则a∥b(线面垂直的性质定理).
[再练一题]
2.如图1-2-59,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.
图1-2-59
(1)求证:
MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:
MN⊥平面PCD.
【证明】
(1)取PD中点E,又N为PC中点,连结NE,AE,
则NE∥CD,NE=
CD.
又∵AM∥CD,AM=
CD,
∴AM綊NE,∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥PA.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面ADP.
∵AE⊂平面ADP,
∴CD⊥AE,
∴MN⊥CD.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,则AE⊥PD.
又MN∥AE,
∴MN⊥PD,
由
(1)知MN⊥CD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
[探究共研型]
距离问题及直线与平面所成角的求法
探究1 如图1-2-60,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少?
BC1到平面ADD1A1的距离是多少?
图1-2-60
【提示】 由题意知BD=B1D1=2
,B,D1到平面AC1的距离分别为
和
,都为
;BC1到平面AD1的距离等于AB的长,为2.
探究2 如图1-2-61,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
图1-2-61
(1)直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗?
(2)A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度?
【提示】
(1)因为平面AC与平面A1C1平行,所以BD1与两平面所成的角相等.
(2)A1B与平面A1C所成的角为30°,
连结BC1交B1C于点O,连结A1O.
设正方体的棱长为a,因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,
所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=
a,BO=
a,
所以BO=
A1B,∠BA1O=30°.
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
如图1-2-62所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
图1-2-62
(1)求证:
MN⊥平面A1BC;
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.
【精彩点拨】
(1)证明MN∥AC1,
(2)C1点在平面A1BC上的射影为A1C中点.
【自主解答】
(1)证明:
如图所示,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,AC∩CC1=C,得BC⊥平面ACC1A1.
连结AC1,
则BC⊥AC1.
由已知,可知侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.
又BC∩A1C=C,
所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连结AB1,则点M是AB1的中点.
又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,
所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连结BD,
则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角.
设AC=BC=CC1=a,
则C1D=
a,BC1=
a.
在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=
=
,所以∠C1BD=30°,
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
求直线和平面所成角的步骤:
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
[再练一题]
3.如图1-2-63,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E,F,G分别为CC1,DD1,AA1的中点.
图1-2-63
(1)求证:
A1F⊥平面BEF;
(2)求证:
GC1∥平面BEF;
(3)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值.
【解】
(1)证明:
连结AF.
∵E,F分别为CC1,DD1的中点,∴EF∥AB且EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形.又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
AB⊥平面AA1D1D,A1F⊂平面AA1D1D,
∴AB⊥A1F,∴EF⊥A1F.
由已知,得AF=
,A1F=
,AA1=2,
∴A1F2+AF2=AA
,∴AF⊥A1F.
又AF∩EF=F.
∴A1F⊥平面ABEF,即A1F⊥平面BEF.
(2)证明:
∵G,F分别为AA1,DD1的中点,连结AE.
∴AG∥EC1且AG=EC1,∴四边形AEC1G为平行四边形,∴AE∥GC1.
而AE⊂平面ABEF,GC1⊄平面ABEF,
∴GC1∥平面ABEF,即GC1∥平面BEF.
(3)∵A1F⊥平面BEF.
∴A1B在平面BEF上的射影为BF,
∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角.
由已知,得A1F=
,A1B=
,∴sin∠A1BF=
,
即A1B与平面BEF所成角的正弦值为
.
1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能______(填序号).
①平行;②相交;③异面;④垂直.
【答案】 ①
2.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________.
【解析】 ∵l⊥AC,l⊥BC,且AC∩BC=C,∴l⊥平面ABC,
又∵AB⊂平面ABC,∴l⊥AB.
【答案】 垂直
3.在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图1-2-64中直角三角形的个数为________.
图1-2-64
【解析】 ∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,又BC⊥AB,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB.综上可知,△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角三角形.
【答案】 4
4.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离是______.
【导学号:
41292032】
【解析】A,B在α同一侧时P到α的距离为3,A,B在α异侧时P到α的距离为1.
【答案】 1或3
5.如图1-2-65,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,求PA与底面ABC所成角的大小.
图1-2-65
【解】 ∵PA=PB=PC,∴P在底面的射影O是△ABC的外心.
又∠BAC=90°,∴O在BC上且为BC的中点,
∴AO为PA在底面的射影,∠PAO即为所求的角.
在Rt△PAO中,PO=
PB=
PA.
∴sin∠PAO=
=
,∴∠PAO=60°.
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