离散数学习题解答.docx
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离散数学习题解答
习题一
1.下列句子中,哪些是命题?
在是命题的句子中题的真值现在还不知道?
(1)中国有四大发明•
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(2).、.5是无理数•
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(3)3是素数或4是素数.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为
(4)2x3:
.5
答:
不是命题.
(5)你去图书馆吗?
答:
不是命题.
(6)2与3是偶数.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为
(7)刘红与魏新是同学.
答:
此命题是简单命题,其真值还不知道
(8)这朵玫瑰花多美丽呀!
答:
不是命题.
(9)吸烟请到吸烟室去!
答:
不是命题.
(10)圆的面积等于半径的平方乘以二.
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数.答:
是命题,但不是简单命题,其真值为
(12)8是偶数的充分必要条件是
哪些是简单命题?
哪些是真命题?
哪些命
1.
0.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为
(13)2008年元旦下大雪.
答:
此命题是简单命题,其真值还不知道
2.将上题中是简单命题的命题符号化.
解:
(1)p:
中国有四大发明.
(2)p:
「是无理数.
0.
8能被3整除.
0.
(7)p:
刘红与魏新是同学.
(10)p:
圆的面积等于半径的平方乘以n.
(13)p:
2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
(1)、、.5是有理数.
答:
否定式:
、5是无理数.p:
5是有理数.q:
5是无理数.其否定式q的真值
为1.
(225不是无理数.
答:
否定式:
、.25是有理数•p:
.25不是无理数•q:
、、25是有理数•其否定式q的真值为1.
(3)2.5是自然数.
答:
否定式:
2.5不是自然数.p:
2.5是自然数.q:
2.5不是自然数.其否定式q的真值为1.
(4)ln1是整数.
答:
否定式:
Ini不是整数.p:
Ini是整数.q:
Ini不是整数.其否定式q的真值为1.
4.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2与5都是素数
答:
p:
2是素数,q:
5是素数,符号化为pq,其真值为1.
(2)不但二是无理数,而且自然对数的底e也是无理数.
答:
p:
二是无理数,q:
自然对数的底e是无理数,符号化为pq,其真值为1.
(3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数.
答:
p:
2是最小的素数,q:
2是最小的自然数,符号化为p-q,其真值为1.
(4)3是偶素数.
答:
p:
3是素数,q:
3是偶数,符号化为pq,其真值为0.
(5)4既不是素数,也不是偶数.
答:
p:
4是素数,q:
4是偶数,符号化为一p-q,其真值为0.
5.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2或3是偶数.
(2)2或4是偶数.
(3)3或5是偶数.
(4)3不是偶数或4不是偶数.
(5)3不是素数或4不是偶数.
答:
p:
2是偶数,q:
3是偶数,r:
3是素数,S:
4是偶数,t:
5是偶数
(1)符号化:
pq,其真值为1.
(2)符号化:
pr,其真值为1.
(3)符号化:
rt,其真值为0.
⑷符号化:
—q—s,其真值为1.
(5)符号化:
r_s,其真值为0.
6.将下列命题符号化.
(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨
答:
p:
小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨,符号化为:
pq.
(2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答:
p:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语,符号化为:
(—pq)(p—q).
7.设p:
王冬生于1971年,q:
王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:
列出两种符号化的真值表:
P
q
Vf-npAqi)
PVq
0
o
0
0
0
1
1
1
1
o
1
1
1
1
0
1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但
结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式
8.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)只要,就有]_;
(2)如果_:
则…;
(3)只有》j〕.,才有f
(4)除非掾竜j].,才有二:
;
(5)除非一],否则]_;
(6)_]仅当一_.
答:
设P:
2《J.,则书揺;汀;设q:
「_,则g_
符号化
真值
(1)
1
(2)
p
1
(3)
0
(4)
「QTP
0
(5)
0
(6)
p-q
1
9.设p:
俄罗斯位于南半球,q:
亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值:
(1)〔-「;
(2)q和;;
(3)f
(4厂汽•iq
(5)=:
.—〔;
(6)齐一一「.;
(7)T―:
-J
答:
根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言
真值
(1)
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多
1
(2)
只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球
0
(3)
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多
1
(4)
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就不是最多
1
(5)
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就位于南半球
1
(6)
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就不是最多
0
(7)
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就不位于南半球
1
10.设p:
9是3的倍数,q:
英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值:
(1厂隠一;
(2)Kp
(3)=匸一-;
(4)一:
—--.
答:
根据题意,p为真命题,q为假命题.
自然语言
真值
(1)
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
0
(2)
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
1
(3)
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
1
(4)
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
0
11•将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)若2+2=4,则地球是静止不动的;
(2)若2+2=4,则地球是运动不止的;
(3)若地球上没有树木,则人类不能生存;
厂
(4)若地球上没有水,贝AI是无理数.
答:
命题1
命题2
符号化
真值
(1)
p:
2+2=4
q:
地球是静止不动的
p-q
0
(2)
p:
2+2=4
q:
地球是静止不动的
p--iq
1
(3)
p:
地球上有树木
q:
人类能生存
「p->-nq
1
(4)
p:
地球上有树木
q:
人类能生存
-1PTQ
1
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)2+2=4当且仅当3+3=6;
(2)2+2=4的充要条件是3+3「6;
(3)2+2一4与3+3=6互为充要条件;
(4)若2+2-4,则3+3个6,反之亦然.
iFV
答:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6.
符号化
真值
(1)
p町
1
(2)
0
(3)
f日q
0
(4)
-iph-
1
13•将下列命题符号化,并讨论各命题的真值:
(1)若今天是星期一,则明天是星期二;
(2)只有今天是星期一,明天才是星期二;
(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;
(4)若今天是星期一,则明天是星期三.
答:
设p:
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三
符号化
真值讨论
(1)
不会出现前句为真,后句为假的情况
(2)
不会出现前句为真,后句为假的情况
(3)
PQ
必然为1
(4)
pr
若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1
14•将下列命题符号化:
(1)刘晓月跑得快,跳得高;
(2)老王是山东人或者河北人;
(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;
(4)王欢与李乐组成一个小组;
(5)李欣与李末是兄弟;
(6)王强与刘威都学过法语;
(7)他一面吃饭,一面听音乐;
(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;
(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;
(11)下雪路滑,他迟到了;
(12)2与4都是素数,这是不对的;
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的答:
命题1
命题2
命题3
符号化
(1)
p:
刘晓月跑得快
q:
刘晓月跳得高
-
(2)
p:
老王是山东人
q:
老王是河北人
-
(pA^q)V(^pAq)
(3)
p:
天气冷
q:
我穿羽绒服
-
Ptq
(4)
p:
王欢与李乐组成一个小组
-
-
p:
王欢与李乐组成一个小组
(5)
p:
李辛与李末是兄弟
-
-
p:
李辛与李末是兄弟
⑹
p:
王强学过法语
q:
刘威学过法语
-
pAq
⑺
p:
他吃饭
q:
他听音乐
-
pAq
(8)
p:
天下大雨
q:
他乘车上班
-
pq.
(9)
p:
天下大雨
q:
他乘车上班
-
<1Tp
(10)
p:
天下大雨
q:
他乘车上班
-
qp
(11)
p:
下雪
q:
路滑
r:
他迟到了
(pAq)-ar
(12)
p:
2是素数
q:
4是素数
-
-•(pAq)
(13)
p:
2是素数
q:
4是素数
-
-.(-.(pvq))
15.设p:
2+3=5.
q:
大熊猫产在中国•
r:
太阳从西方升起•
求下列符合命题的真值:
(1)恠:
驻述心
(2):
[「:
』--——'
(3)曲--:
'
(4)[jT;T一':
-;■'/■-.'.J.
解:
p真值为1,q真值为1,r真值为0.
(1)0,
(2)0,(3)0,(4)1
16.当p,q的真值为O,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:
(1)卫孙絢爲止
(2)込:
-:
..:
W
(3):
-p八r■-①,.:
-nr?
(4)-:
■—:
■__:
解:
(1)0,
(2)0,(3)0,(4)1
r
17.判断下面一段论述是否为真:
“第是无理数.并且,如果3是无理数,则•一也是无理数.另
外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
解:
p:
T[是无理数q:
3是无理数r:
』三是无理数s:
6能被2整除t:
6能被4整除
符号化为■:
,该式为重言式,所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:
“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如
果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”
解:
p:
小王会唱歌。
q:
小李会跳舞。
■PV-iq真值为1.匚q真值为0.可得,p真值为1,q真值为0.
所以,小王会唱歌,小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(1)恳7加帶「彷血
(2)p-?
;!
i
(3)‘,国.-巧朋邀
(4)l.y一:
二」—1-iQ一'
(5)[”?
;—:
-?
汽_;)■
(6)J.:
:
T込r■.-;;■仗-飞
(7)帥,也贋辿r老心或.
解:
(1)
p
q
r
p->(pVqVr)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
此式为重言式
(2)
p
q
(严「P)Trq
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
此式为可满足式
(3)
q
r
-i(qr)Ar
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
此式为矛盾式
(4)
p
q
(?
-»(?
)->(-t-ip)
0
o
1
0
i
1
1
o
1
1
i
1
此式为重言式
(5)
p
q
r
(pAr)—(-npA^q)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
此式为可满足式
(6)
p
q
r
«P-»q)A(q->r))-*(pr)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
此式为重言式
(7)
p
q
r
s
(p->q)(rws)
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值:
(1)-;一-
(2)|网-丁
(3)「煮f
(4)-(J.■■:
--
解:
p
q
-Tq
PV-iQ
(pAq)T-,p
-n(pVq)q
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
由真值表得:
(1)的成真赋值是01,10,11
(2)的成真赋值是00,10,11
(3)的成真赋值是00,01,10(4)的成真赋值是01,10,11
21.求下列各公式的成假赋值:
(1)
(2)I.
(3)J\j!
解:
p
q
r
—1(—»pq)V—ir
(~iQVtJA(ptq)
(p->q)A(-n(pAr)Vp)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
由真值表得:
(1)的成假赋值是011
(2)的成假赋值是010,110
(3)的成假赋值是100,101
22.已知公式--一•-是矛盾式,求公式-—■-'■-'-i•成真和成假赋值
解:
•••「&-'!
:
:
:
■:
;〔扶是矛盾式•二一1也是矛盾式。
由此可得:
该式无成真赋值。
而成假赋值为:
000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式讣〔冰◎电F是重言式,求公式I〔W;-时'■='"的成真和成假赋值.解:
•••/<}沖是重言式,•迫泌疋讣為沁也是重言式。
由此可得:
该式无成假赋值。
而成真赋值为:
000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知.J-一;是重言式,试判断公式「一及
-■-■一-■的类型•
解:
..T:
:
-T:
J'J;•;'!
Ci门是重言式,而要使该式为重言式,其成真赋值只有
11,^/4旅加-都是重言式。
25.已知—「二一「「L"一:
一是矛盾式,试判断公式一一一一-及-!
(-!
「「/二:
/■q的类型.
解:
•••—罕—气二八q;—一q「门是矛盾式,而要使该式为矛盾式,其成假赋值
只有00,.・.純呵则训"叩耐0者E是重言式。
26.已知卩一:
1八上)是重言式,「,一二「'小是矛盾式,试判断
■};j汀:
匚-!
詁寸心]及打;一/jjmb-:
的类型.
解:
匕:
i1!
血叮]j>:
p-:
q;J是矛盾式。
.■-:
■-匚-;.是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项P1,P2,…,pn的公式,证明:
再爲记是重言式当且仅当A和B都是
重言式•
解:
A
B
A.AIB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
由真值表可得,当且仅当A和B都是重言式时,盧紆是重言式。
28.设AB都是含命题变量项P1,P2,…,pn的公式,已知彳赫是矛盾式,能得出A和B都是
矛盾式的结论吗?
为什么?
解:
A
B
AAE
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
同样由真值表可得,鉄腕卩的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29.设A、B都是含命题变量项pi,p2,…,pn的公式,证明:
触注是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式.
解:
A
B
AVE
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
由真值表可得,当且仅当A和B都是矛盾式时,打尿矗是矛盾式。
重言式的结论吗?
解:
A
B
AVE
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
由真值表可得扛赫的成真赋值有01,10,11.所以无法得到A和B都是重言式。
1.设公式A=p—;q,B=p—q,用真值表验证公式A和B适合德摩根律:
一(AB)u—A—B
P
q
A
B
「(AwB)
「A.rB
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
2.公式A和B同题
(1),用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式
A—;B=—AB
P
q
A
B
AtB
「AwB
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
3•用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值•
(1)一(Pq>q)
答:
原式=一(一(卩q)q)
一(一P_qq)
=0
是矛盾式.
4•用等值演算法证明下面等值式
(1)p:
=(pq)(p—q)
答:
右式=p(q-q)=p1=p
(2)((p>q)(p>r)):
=(p)(qr))
答:
右式=—p(qr)=(—pq)(—pr)=(p—;q)(p—;r))=左式
(3)-(p・q)=(pq)-(pq)
答:
左式=一(一卩q)—(p—q)
=(p(—pq))(—q(—pq))
=(pq)_(pq)
(4)(p—q)(—pq)u(pq)_(pq)
答:
左式=(p(—pq))(—q(—pq))
=(pq)_(pq)
5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(i)(—p>q)>(—qp)
答:
(一p>q)》(一qp)=(pq)>^qp)「(pq)(_qp)
=(—p_q)(—q(p_p))(p(q_q)
=(pq)(p_p)(—p一q)=mom2m3
成真赋值为00,10,11.
(2)—(prq)qr
答:
—(p“q)qr二一(一pq)qr=p_qq=0
所以为矛盾式。
(3)(p(qr))-:
(pqr)
(p(qr))—•(pqr)=—(p(qr))(pqr)=(一p-(qr))(pqr)
=(—p(—qF)(pqr)=(—p—q)(—p~r)(pqr)
=(—p—q(r—r)(—p(q—q)~r)(p(q—q)(r_r))
((p—p)q(r—r))((p—p)(q—q)r)
=(一p—qr)(一p—q~r)(—pq~r)(pqr)(p—qr)
(pq—r)(p—q~r)(—pqr)=m0mim2m3m4mtm6mv所以是重言式,真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(1)—(q、—p)—p
答:
—(q、—p)—p=—(—q—p)—p二qp—p=0,是矛盾式,所有赋值均
为成真赋值。
(2)(pq)(—pr)
答:
(Pq)(—pr)=(p—pr)(q_pr)=(—pqr)二M4,成假赋值
为100.
(3)(p—(pq))r
答:
(p-(pq))r=(—p(pq))r=(—ppqr=1,所以为重言式。
所
有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)(pq)r
答:
(pq)r=(pq(r_r))((p_p)(q_q)r)
=(pq(r_r))((p_p)(q_q)r)
=(pqr)(pq_r)(p_qr)(一pqr)(一p_qr)
=m3m5m6m7二M0M2M4
(2)(p>q)(q>r)
答:
(p—;q)(q「r)=(—pq)(一qr)=(—p_q)(一pr)(q_q)(qr)=(—P_q(r_r))(一p(q_q)r)((p_p)qr)
=(—P_qr)(—p_q_r)(一pqr)(pqr)
=m0m1m3m7=M2M4M5M6
8.求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式:
(i)(pq)>q
答:
(p^q)Tq=「(p小)=「p“q=1=m°wm»m2am3
为重言式。
(2)(p-q)-;r
答:
(p—q)_;r=—((pq)(—p—q))r=(
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