概率论第三版同济答案.docx
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概率论第三版同济答案
概率论第三版同济答案
【篇一:
第三版详细《概率论与数理统计》课后习题答案._】
出下列随机试验的样本空间:
(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解:
连续5次都命中,至少要投5次以上,故?
1?
?
5,6,7,?
?
;
(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解:
?
2?
?
2,3,4,?
11,12?
;
(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;
解:
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以?
3?
?
0,1,2,?
(4)从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解:
属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:
?
4?
?
i,j?
i?
j?
5?
;
(5)检查两件产品是否合格;
解:
用0表示合格,1表示不合格,则?
5?
?
?
0,0?
?
0,1?
?
1,0?
?
1,1?
?
;
(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1,最高气温不高于t2);解:
用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:
?
6?
?
x,y1?
x?
y?
t2?
;?
?
?
;
(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解:
?
7?
x0?
x?
2?
;
(8)在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解:
?
8?
?
x,yx?
0,y?
0,x?
y?
l?
;
1.2
(1)a与b都发生,但c不发生;ab;
(2)a发生,且b与c至少有一个发生;a(b?
c);
(3)a,b,c中至少有一个发生;a?
b?
c;
?
?
(4)a,b,c中恰有一个发生;a?
b?
;
(5)a,b,c中至少有两个发生;ab?
ac?
bc;
(6)a,b,c中至多有一个发生;?
?
;
(7)a;b;c中至多有两个发生;abc
(8)a,b,c中恰有两个发生.bc?
ac?
ab;
注意:
此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
1.3设样本空间?
?
x0?
x?
2?
事件a=x0.5?
x?
1?
b?
x0.8?
x?
1.6?
具体写出下列各事件:
(1)ab;
(2)a?
b;(3)a?
b;(4)a?
b
(1)ab?
x0.8?
x?
1?
;
(2)a?
b=x0.5?
x?
0.8?
;
(3)=x0?
x?
0.5?
0.8?
x?
2?
;
(4)a?
b=x0?
x?
0.5?
1.6?
x?
2?
1.6按从小到大次序排列p(a),p(a?
b),p(ab),p(a)?
p(b),并说明理由.?
?
?
?
?
?
?
解:
由于ab?
a,a?
(a?
b),故p(ab)?
p(a)?
p(a?
b),而由加法公式,有:
p(a?
b)?
p(a)?
p(b)
1.7
解:
(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:
p(w?
e)?
p(w)?
p(e)?
p(we)?
0.175
(2)由于事件w可以分解为互斥事件we,w,昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为:
p(w)?
p(w)?
p(we)?
0.1
(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为:
p()?
1?
p(w?
e)?
0.825.
1.8
解:
(1)由于ab?
a,ab?
b,故p(ab)?
p(a),p(ab)?
p(b),显然当a?
b时p(ab)
取到最大值。
最大值是0.6.
(2)由于p(ab)?
p(a)?
p(b)?
p(a?
b)。
显然当p(a?
b)?
1时p(ab)取到最小值,最小值是0.4.
1.9
解:
因为p(ab)=0,故p(abc)=0.a,b,c至少有一个发生的概率为:
p(a?
b?
c)?
p(a)?
p(b)?
p(c)?
p(ab)?
p(bc)?
p(ac)?
p(abc)?
0.7
1.10
解
(1)通过作图,可以知道,p(a)?
p(a?
b)?
p(b)?
0.3
(2)p(ab)?
1?
p(ab)?
1?
(p(a)?
p(a?
b))?
0.6(3)由于p(ab)?
p()?
1?
p(a?
b)?
1?
(p(a)?
p(b)?
p(ab))
?
1?
p(a)?
p(b)?
p(ab)
p(b)?
1?
p(a)?
0.7
1.11
解:
用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。
三只球放入四只杯中,放法有
4?
4?
4?
64种,每种放法等可能。
(选排列:
好比3个球在4个位置做排列)。
38
对事件a3:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故p(a3)?
1.12
解:
此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319?
。
p(a2)?
1?
?
16816161。
18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5的概率各是
(1)1.1311,。
129
3解:
从10个数中任取三个数,共有c10?
120种取法,亦即基本事件总数为120。
(1)若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有2c4?
6种,故所求概率为1。
20
1。
12
(2)若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有c5?
10种,故所求概率为
1.14
解:
分别用a1,a2,a3表示事件:
(1)取到两只黄球;
(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则
216c822814c461p(a1)?
2?
?
p(a2)?
2?
?
p(a3)?
1?
p(a1)?
p(a2)?
。
33c126633c1266112
1.15
解:
p((a?
)b)?
p((a?
)?
b)p((ab)?
(b))?
p(b)p(b)
p(ab)p(a)?
p(a)?
?
0.5p(b)p(b)由于p(b)?
0,故p((a?
)b)?
1.16
(1)p(a?
b);
(2)p(?
b);
解:
(1)p(a?
b)?
p(a)?
p(b)?
p(ab)?
1?
p(b)p(ab)?
1?
0.4?
0.5?
0.8;
(2)p(?
b)?
p()?
p(b)?
p(b)?
1?
p(b)p(b)?
1?
0.4?
0.5?
0.6;注意:
因为p(ab)?
0.5,所以p(b)?
1?
p(b)?
0.5。
1.17
解:
用ai表示事件“第i次取到的是正品”(i?
1,2,3),则i表示事件“第i次取到的是次品”(i?
1,2,3)。
p(a1)?
15331421?
p(a1a2)?
p(a1)p(a2a1)?
?
?
20441938
(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为:
p(3a1a2)?
5。
18
(2)事件“第三次才取到次品”的概率为:
p(a1a23)?
p(a1)p(a2a1)p(3a1a2)?
(3)事件“第三次取到次品”的概率为:
1514535?
?
?
20191822814
此题要注意区分事件
(1)、
(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。
再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。
用ai表示事件“第i次取到的是正品”(i?
1,2),
【篇二:
同济大学版概率统计习题答案3-2】
/p>的所有可能取值为
,
的所有可能取值为
,故二维随机变量
的联
合分布律为
反面出现三次
,
,
,
正面出现一次,反面出现两次正面出现两次,反面出现一次正面出现三次
故关于的边缘分布律为
.
,
,
,
.
关于的边缘分布律为
,
.
即
3.解
1)由于即故
.
,,
2)关于随机变量的边缘概率密度函数:
当
或者时,有,故
,
时,
,
的边缘概率密度函数为fx(x)?
?
故关于随机变量
?
2x,0?
x?
1,
?
0,x?
0或者x?
1.
关于随机变量的边缘概率密度函数:
当
或者时,有,故
,
时,
,
?
32
?
y,0?
y?
2,
故关于随机变量的边缘概率密度函数为fy(y)?
?
8
?
?
0,y?
0或者y?
2.
4.解关于随机变量
的边缘概率密度函数为
x
2?
?
?
04.8y(2?
x)dy?
2.4x(2?
x),0?
x?
1,
f(x,y)dy?
?
?
?
0,x?
0或者x?
1.
fx(x)?
?
?
?
?
?
关于随机变量的边缘概率密度函数为
fy(y)?
?
?
?
?
?
?
13y2
?
4.8y(2?
x)dx?
4.8y(?
2y?
),0?
y?
1,
f(x,y)dx?
?
?
y22
?
0,y?
0或者y?
1.?
的边缘概率密度函数为
5.解
关于随机变量
fx(x)?
?
?
?
?
?
?
?
?
y?
x?
?
?
xedy?
e,x?
0,
f(x,y)dy?
?
?
?
0,x?
0.
关于随机变量的边缘概率密度函数为
fy(y)?
?
6解
?
?
?
?
y
?
y?
y?
?
?
0edx?
ye,y?
0,
f(x,y)dx?
?
?
?
0,y?
0.
由于
,
即
,
从而
第6
(1)题积分区域图
2)关于随机变量的边缘概率密度函数为
fx(x)?
?
?
?
?
?
212?
12124
?
?
x2xydy?
x(1?
x),?
1?
x?
1,
f(x,y)dy?
?
48
?
?
0,x?
1或者x?
?
1.
关于随机变量的边缘概率密度函数为
fy(y)?
?
?
?
?
?
?
275
?
xydx?
y2,0?
y?
1,
f(x,y)dx?
?
2
?
0,y?
0或者y?
1.?
7.解
由题意,二维随机变量的概率密度函数为
?
1
x,y)?
g,?
f(x,y)?
?
a2,
?
?
0,其它.
关于随机变量
的边缘概率密度函数为
fx(x)?
?
?
?
?
?
?
x11dy?
(2x?
),?
a?
x?
0,?
?
22
?
xaa2?
?
1?
?
x1
f(x,y)dy?
?
?
dy?
(?
2x),0?
x?
a,,22
xaa2?
?
?
0,x?
.?
2?
关于随机变量的边缘概率密度函数为
fy(y)?
?
?
?
?
?
?
y1
?
?
2dx?
?
?
ya?
?
y1
f(x,y)dx?
?
?
2dx?
?
?
ya?
?
0,y?
.?
?
1(?
2y?
),?
y?
0,2a1(2y?
),0?
y?
2a2
【篇三:
概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初】
分5次取产品,每次取一个。
设随机变量x表示取出的5个产品中的次品数,引入随机变量xi表示第i次取产品的结果:
?
1,第i次取到次品xi?
?
(i=1,2,3,4,5)
?
0,第i次取到合格品
则有
x?
x1?
x2?
x3?
x4?
x5
易知,xi有相同的分布律:
p{xi?
1}?
910
110
c10?
p99
p1001
5
14
?
110
,p{xi?
0}?
1?
110
?
910
则e(xi)?
0?
?
1?
?
10
,于是
5
e(x)?
e(x1?
x2?
x3?
x4?
x5)?
?
i?
1
e(xi)?
110
?
5?
0.5。
注意:
随机变量x并不服从二项分布,这是因为每次取产品的结果不是相互独立的,前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。
为了理解这一点,可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值;或者改成100个产品中有2个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值;注意在这两种情形下,随机变量x的可能取值。
2.解:
设随机变量x表示3人中生日在第一季度的人数,由于每个人生日在各个月份的机会是同样的,并且每个人的生日应该相互独立,因此x?
b(3,),那么3人中生日在第
41
一季度的平均人数为e(x)?
np?
3?
3.略。
14
?
0.75。
4.解:
由于x?
p(?
),因此e(x)?
?
d(x)?
?
,再由公式d(x)?
e(x)?
[e(x)],可求得e(x)?
d(x)?
[e(x)]?
?
?
?
。
由数学期望的性质,有
e[(x?
1)(x?
2)]?
e[x?
3x?
2]?
e(x)?
3e(x)?
2?
?
?
?
?
3?
?
2?
?
?
2?
?
2
2
222
2
2
2
22
则可得到关于?
的方程
?
?
2?
?
2?
1
亦即
2
?
?
2?
?
1?
0
2
容易求得?
?
1。
5.解:
(1)设随机变量x表示发生故障的设备台数,则依题意可知x?
b(20,0.01),
近似
由于n?
20较大,p?
0.01较小,因此x?
p(0.2)。
当发生故障的设备超过一台的时候,维修工就不能及时维修,其概率为
p{x?
1}?
1?
p{x?
0}?
p{x?
1}?
1?
0.8187?
0.1637?
0.0176;
(2)设随机变量x表示发生故障的设备台数,则依题意可知x?
b(80,0.01),由于
近似
n?
80较大,p?
0.01较小,因此x?
p(0.8)。
当发生故障的设备超过三台的时候,维修工就不能及时维修,其概率为
p{x?
3}?
1?
p{x?
0}?
p{x?
1}?
p{x?
2}?
p{x?
3}?
1?
0.4493?
0.3595?
0.1438?
0.0383?
0.0091
6.解:
方法一:
由于函数
12
xe
?
x
为奇函数,因此
xf(x)dx?
e(x)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12
xe
?
x
dx?
0;
方法二:
由期望的计算公式,可得
e(x)?
?
?
12
?
?
?
?
xf(x)dx?
x
x
?
?
?
?
?
12
xe
?
x
dx?
?
e
?
x
1
?
2
?
?
0?
?
xedx?
12?
12
x
1
?
2
?
?
0
xe
?
x
dx
[xe?
e]?
?
?
12
[?
xe
?
x
]0
?
?
?
0
7.解
e(x)?
为奇函数,因此
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
1?
?
0;
方法二:
由期望的计算公式,可得
e(x)?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
1?
x
?
?
12
?
1?
1
(1?
x)?
?
2
1
?
0
8.解:
依题意,可得
1k?
?
?
a
f(x)dx?
kxdx?
?
1?
0?
?
?
?
?
a?
1
;?
?
?
1ka?
1?
e(x)?
xf(x)dx?
kxdx?
?
0.75?
?
?
?
0?
a?
2?
因此,求解上述方程组,可求得a?
2,k?
3。
9.解:
(1)由概率密度函数的性质,可得
?
?
?
?
?
?
f(x)dx?
?
40
ksinxcosxdx?
k
?
40
?
?
2
sin2xdx?
?
k4
cos2x
4
?
k4
?
1;
因此,可求得k?
4;
(2)由期望的计算公式,可得
e(x)?
?
?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
40
x?
4sinxcosxdx?
?
?
?
40
x?
2sin2xdx
?
?
。
?
12
?
?
?
40
x?
dcos2x?
?
xcos2x
40
?
?
40
cos2xdx?
12
sin2x
4
10.解:
依题意,可知x?
e(0.002),其中?
?
0.002;
(1)p{x?
100}?
?
100?
?
f(x)dx?
?
1000
0.002e
?
0.002x
dx?
?
e
1
?
0.002x
1000
?
1?
e
?
0.2
;
(2)热水器平均能正常使用的时间为e(x)?
1
?
?
0.002
?
500小时。
11.解:
由课本48页定理2随机变量函数的期望计算公式,有
e(y)?
e(sinx)?
?
?
?
?
?
sinxf(x)dx?
?
?
?
0
sinxe
?
x
dx;
而
?
?
?
0
sinxe
?
x
dx?
?
?
?
?
0
sinxde
?
x
?
?
0
?
x
?
?
sinxe?
?
?
?
1?
?
?
0
?
?
x
?
?
?
0
e
?
x
dsinx?
?
x
?
?
0
?
?
?
?
0
cosxe
?
?
?
x
dx
;
e
?
x
cosxde
?
?
?
?
cosxedx
?
dcosx
?
sinxe
?
x
即2?
?
?
0
sinxe
?
x
dx?
1,因此
e(y)?
e(sinx)?
?
?
?
0
sinxe
?
x
dx?
12
。
12.解:
由于x?
b(n,p),因此有
?
e(x)?
np?
12
;?
d(x)?
np(1?
p)?
8?
因此,求解上述方程组,可求得n?
36,p?
13
。
13.比较两种测量方法所测得数据的方差,方差小的精确度较好。
14.解:
方法一:
由于函数x是偶函数,因此
e(x)?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
1?
1
x?
xdx?
0;
d(x)?
e(x)?
[e(x)]?
e(x)?
222
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
2
?
1?
1
x?
xdx?
2?
xdx?
2
1
3
1;2
13
13
方法二:
由期望和方差的计算公式,可得
e(x)?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
1?
1
x?
xdx?
?
?
2
0?
1
xdx?
2
?
2
10
xdx?
?
2
?
?
0;
d(x)?
e(x)?
[e(x)]?
e(x)?
2
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
xdx?
3
2
?
3
1?
1
2
。
?
?
?
?
1
?
10
xdx?
15.解:
方法一:
容易验证f(?
x)?
f(x),即概率密度函数f(x)是偶函数,因此
e(x)?
?
?
?
?
?
2
xf(x)dx?
2
?
1?
1
1?
1
xf(x)dx?
0;
2
d(x)?
e(x)?
[e(x)]?
e(x)?
?
?
?
?
?
1
xf(x)dx?
2
2
?
xf(x)dx
1
2
2
。
16
16
16
?
2?
xf(x)dx?
2?
x(1?
x)dx?
方法二:
由期望和方差的计算公式,可得
e(x)?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
?
2
1?
1
xf(x)dx?
2
?
0?
1
x(1?
x)dx?
2
?
10
10
x(1?
x)dx?
?
?
?
0;
d(x)?
e(x)?
[e(x)]?
e(x)?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
2
?
0?
1
x(1?
x)dx?
2
?
x(1?
x)dx?
2
1。
6
16.解:
由期望和方差的计算公式,可得
e(x)?
e(x)?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
xf(x)dx?
2
?
10
3xdx?
10
4
3
34
;
35
2
?
?
xf(x)dx?
?
2
3xdx?
;
?
3?
d(x)?
e(x)?
[e(x)]?
?
?
?
。
5?
4?
2
3
17.解:
容易求得c?
12
,可知x服从均匀分布,即x?
u(1,3),因此可求得
1?
32
e(x)?
?
2,d(x)?
(3?
1)12
2
?
13
。
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