梯形常用的辅助线.docx
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梯形常用的辅助线
教案标题
梯形常用的辅助线
教师姓名
许琴
学生姓名
刘弘驰
学科
数学
适用年级
初二
适用范围
全国
教学目标
知识
目标
1.探讨梯形常用辅助线的作法;
2.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想。
能力
目标
1.培养学生的探索能力,提高学生的空间抽象思维能力;
2.培养学生独立思考的良好习惯。
情感
态度
价值观
培养学生主动探究知识,合作交流的意识,体验数学中的美,
激发学习兴趣,从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。
知识点
等腰梯形的性质
重难点
重点:
通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形和三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想。
难点:
如何恰当地添加辅助线,把有关梯形的问题转化成平行四边形和三角形的问题来解决。
学前准备
知识点回顾:
1.梯形的定义:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
2.梯形的元素:
(1)梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,
通常把较短的底叫上底,较长的底叫下底.
(2)梯形的腰:
梯形中不平行的两边叫梯形的腰.
(3)梯形的高:
梯形两底的距离是梯形的高.
3.特殊梯形的定义:
(1)等腰梯形:
两腰相等的梯形
(2)直角梯形:
一腰垂直于底的梯形.
4等腰梯形的性质①从角看:
等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②从边看:
等腰梯形两腰相等;
③从对角线看:
等腰梯形两条对角线相等。
5.等腰梯形的判定:
(1)两条腰相等的梯形是等腰梯形.
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6、梯形的辅助线作法
作法
图形
平移腰,转化为三角形、平行四边形
平移对角线,转化为三角形、平行四边形
延长两腰,转化为三角形
作高,转化为三角形和矩形
中位线与腰的中点
考点讲解:
专题一:
平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形
例1如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系为__________。
例2、(希望杯邀请赛)如如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长为____________。
例3如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD 且EF⊥BC,求证: ∠B=∠C。 例4已知一个梯形的4条边长分别是1、2、3、4,则此梯形的面积等于_______。 【变式练习】1、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=70°,∠C=40°AB=4cm,CD=11cm,求BC。 2、在梯形ABCD中AD∥BCAD 为什么? 3、在梯形ABCD中,AD//BC,∠A+∠D90°,M,N分别是BC和AD的中点,.已知AD=7,BC=2,试MN长。 专题二: 平移一条对角线与另一底所在直线相交,把梯形两条对角线和上下底之和集中在一个三角形中,然后在这个三角形中应用有关定理 例1(2011乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,AD=2,BC=BD=3,AC=4。 求证: AC⊥BD 例题2、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,AD=4cm,BC=10cm,求梯形的面积。 【变式练习】在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形的面积。 专题三: 取一腰的中点连接顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,构造两个全等的三角形 例题1、(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,EF⊥AD于点F,AD=4,EF=5,求梯形ABCD的面积。 例题2、例2已知: 如图,在梯形 中, 是 的中点,且 .求证: . 【变式练习】1已知: 如图,在梯形 中, 是CD的中点.求证: . 2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证: AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA。 专题四: 延长两腰,构造三角形 例1(2011•呼和浩特)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的平分线,且CE⊥AB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为。 例2如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG. (分别延长BA、CD用面积法可以证明,或者截长补短法证明) 【变式练习】如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论. 解: 四边形ABCD是等腰梯形. 证明: 延长AD、BC相交于点E,如图所示. ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB=∠CBA. ∴EA=EB. 又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD. 而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°, ∴∠EDC=∠EAB,∴DC∥AB. 又AD不平行于BC, ∴四边形ABCD是等腰梯形. 专题五: 从梯形上底的两端向下底引垂线做高,把梯形构造成直角三角形和矩形 例1(2011长沙)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AD=2,BC=4,求梯形ABCD的面积。 例3(2011•南充)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点. (1)求证: △MDC是等边三角形; (2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值? 如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值. 【变式练习】1、如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证: 四边形ABFE是等腰梯形。 证: 过点D作DG⊥AB于点G, 则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG。 因为AB=2DC,所以AG=GB。 从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA。 又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。 2、在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证: BD>AC。 证: 作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。 在Rt△ABE和Rt△DCF中, 因为AB>CD,AE=DF。 所以由勾股定理得BE>CF。 即BF>CE。 在Rt△BDF和Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC 1、巩固练习: 1、(2010•丹东)把长为8cm的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯形,打开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是 2、(2010•重庆)已知: 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA. (1)若∠MFC=120°,求证: AM=2MB; (2)求证: ∠MPB=90°- ∠FCM. 3.(2010•盐城)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上. (1)求∠AED的度数; (2)求证: AB=BC; (3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求 的值. 4、(2009•重庆)已知: 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC. (1)求证: BG=FG; (2)若AD=DC=2,求AB的长. 5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF. (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形; (2)若AD=1,BC=3,DC= ,试判断△DCF的形状; (3)在条件 (2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由. 6.(2011•新疆)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AB的长; (2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值; (3)探究: 在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形? 请说明理由. 6、拓展训练 1、(2010•武汉)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE平分∠BCD,交AB于点E,交BD于点H,EN∥DC交BD于点N.求证: CH= EH; 2.(2011•龙岩)如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合).把△DEF沿EF对折,点D的对应点是点G,设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y. (1)求CD的长及∠1的度数; (2)若点G恰好在BC上,求此时x的值; 当堂过手训练(快练5分钟,稳准建奇功) 1.(2011•台湾)如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形,其中E在CD上,AD与GH相交于I点,且AD∥HE.若∠A=60°,且AB=7,DE=4,HE=5,则梯形HEDI的面积为何? ( ) 2、(2010•内江)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为 3、(2009•遂宁)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是 4、(2010•咸宁)如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为
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