八上14整式的乘法.docx
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八上14整式的乘法
教学札记:
集体备课人员名单:
杨小青、钟雪华
签名:
第十四章 整式的乘法
教学目标:
(中心发言人:
杨小青老师)
1.探索并了解正整数幂的运算性质,并会运用它进行计算;
2.探索并了解单项式一单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式的乘法运算;
3.会由整式的乘法推导乘法公式,了解两个乘法公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算
4.会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指的是正整数),
重点:
(中心发言人:
钟雪华老师)
1.经历实际问题“符号化”的过程,发展符号感;
2.经历探索幂的运算性质和整式的运算法则,发展推理能力和有条理的表达能力;
3.理解整式乘、除法运算的算理,体会乘法分配律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及表达能力;
4.会推导两数和乘以它们的差公式和完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算。
难点:
(中心发言人:
钟雪华老师)
1.了解整式产生的背景和整式的根念;
2.了解两数和乘以它们的差公式、完全平方公式的几何背景;
3.在解决问题的过程中了解数学的价值,发展“用数学”的信心;
课时安排:
(中心发言人:
杨小青老师)
总16课时,新授12课时,考试和机动4课时
教学步骤:
第1课时§14.1.1 同底数幂的乘法
教学札记:
(一)本课目标:
(1)、通过自主探索,使学生在已有知识的基础上,探究同底数幂的的运算规律。
(2)、会利用同底数幂的的运算法则进行简单的计算。
教学重点:
在探索中获知同底数幂的运算法则
教学难点:
(1)区分幂的意义(几个相同数的乘法)与乘法的意义(几个相同数的加法)
(2)运用法则准确进行计算
(二)教学流程
1.导入
(1)回顾幂的相关知识,例如,an的意义是表示n个a相乘的结果;
(2)你能算出105X107等于多少吗?
引入新课
2.合作探究
互动1
引导学生在导入2的基础上完成课本第72页“试一试”
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();
(2)53×54=________________________=5();
(3)a3•a4=________________________=a().
思考:
这几道题目有什么共同的特点?
计算结果有什么规律?
互动2
探索:
在互动1的基础上探索“若指数为任意的正整数m、n,am与an等于什么?
概括am•an=
=
=am+n
教学札记:
有am•an=am+n(m、n为正整数)
明确:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
互动3
师生共同完成课本第72页例1计算:
(1)103×104;
(2)a•a3 (3)a•a3•a5
解:
(1)103×104=103+4=107
(2)a•a3=a1+3=a4
(3)a•a3•a5=a4•a5=a9
1.反鐀练习
课本第73页练习第1、2题
4.小结
am•an=am+n(m、n为正整数)
5.巩固练习
第2课时 14.1.2幂的乘方
教学札记:
(一)本课目标:
1、通过探究寻找幂的乘方的运算法则。
2、能熟练地应用幂的乘方的运算法则进行计算。
教学重点:
掌握运算法则
教学难点:
运用法则准确进行计算
(二)教学流程:
1.复习导入
(1)回顾同底数幂的乘法运算法则;
(2)计算:
93×95
a7•a8
x2•x3•x4
2.合作探究
互动1
引导学生完成课本第73页“试一试”
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
(1)(23)2=23×23=2( );
(2)(32)3=32×32×32=3( );
(3)(a3)4=a3•a3•a3•a3=a( );
互动2
思考探索:
这几道题目有什么共同的特点根据上面的规律,你能完成下面的填空吗?
(am)n=a()(m、n为正整数)
概括
(am)n=
=a
=a
有(am)n=a
(m、n为正整数)
明确:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
互动3
师生共同完成课本第73页例2计算:
(1)(103)5
(2)(b3)4
解:
(1)(103)5=103×5=1015
(2)(b3)4=b3×4=b12
3.反鐀练习
课本第74页练习第1、2题
4.小结
(1)、(am)n=a
(m、n为正整数)与am•an=a
(m、n为正整数)两者在应用时注意加以区分,关键在与明确它们各自的意义。
(2)、明确am•an=a
与am+am=2am的运算区别。
5.巩固练习
教学札记:
第3课时 14.1.3积的乘方
教学札记:
(一)教学目标:
1、掌握积的乘方运算法则。
2、能熟练地应用运算法则进行计算。
教学重点:
掌握积的乘方运算法则
教学难点:
运用法则准确进行简单计算
(二)教学流程:
1.复习导入
(1)回顾同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则
(2)练习
103·107;
(a3)8;
(a2)4•a3
2.合作探究
互动1
引导学生完成课本第74页“试一试
(1)(ab)2=(ab)•(ab)=(aa)•(bb)=a()b()
(2)(ab)3=__________________________
=__________________________=a()b();
(3)(ab)4=__________________________
=__________________________=a()b()。
互动2
思考探索:
这几道题目有什么共同的特点,设n为正整数,(ab)n的结果是什么呢?
概括
(ab)n=
=
•
=anbn
有(ab)n=anbn(n为正整数)
(引入课题)明确:
积的乘方等于各因数乘方的积;
互动3
师生共同完成课本第75页例3计算:
(1)(2b)3;
(2)(2×a3)2
(3)(-a)3;(4)(-3x)4
教学札记:
解:
(1)(2b)3=23b3=8b3;
(2)(2×a3)2=22×(a3)2=4×a6=4a6
(3)(-a)3=(-1)3•a3=-a3
(4)(-3x)4=(-3)4•x4=81x4
互动4
师生互动完成课本第74页练习第1、2题
互动5
思考:
(ab)n=anbn(n为正整数)的逆运算成立吗?
(补充)计算:
(1)210×(
)11
(2)(4
)100×(-
)100
明确:
积的乘方公式的逆运算anbn=(ab)n(n为正整数)
在简便计算中的灵活运用
3.反鐀练习
(1)看看谁算得快(口算)
(2x)4
(3a)3
[(-2b)2]2
x2•x3•x4
(2)计算:
x3•(x2y)4
[(y3)2•(y2)5]3
(b3•bn-3)m
(-2
)2003•(-
)2004•(-1)2005
4.小结
(1)熟练的应用(ab)n=anbn(n为正整数)。
(2)熟练的应用anbn=(ab)n(n为正整数),进行简便计算。
5.巩固练习
第4课时 14.2.1单项式与单项式相乘
教学札记:
(一)教学目标:
1、理解单项式与多项式相乘的法则。
2、会准确的进行单项式与单项式的乘法运算。
教学重点:
掌握单项式与单项式相乘的法则
教学难点:
运用法则准确进行计算
(二)教学过程:
1.复习导入
(1)回顾幂的运算法则
(2)综合练习
2.合作探究
互动1
引导学生尝试完成课本第76页“试一试”
计算:
2x3·5x2
提示:
将2x3和5x2分别看作2·x3和5·x2利用乘法的交换律和结合律
互动2
师生互动共同完成课本76页例1,并引导学生总结单项式与单项式相乘的规则
计算:
(1)3x2y•(-2xy3);
(2)(-5a2b3)•(-4b2c)
解:
(1)3x2y•(-2xy3)
=[3•(-2)]•(x2•x)•(y•y3)
=-6x3y4
(2)(-5a2b3)•(-4b2c)
=[(-5)•(-4)]•a2•(b3•b2)•c
=20a2b5c
明确:
单项式和单项式相乘,只要将他们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。
互动3
师生互动共同完成课本76页例2
卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运
行3×102秒所走的路程约是多少?
教学札记:
解:
7.9×103×3×102
=23.7×105=2.37×106
答:
卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米。
3.达标反鐀
课本第77页练习第1、2、3题
4.小结
单项式与单项式相乘的法则和一般步骤:
(1)积的系数等于各因数的积
(2)相同字母相乘,这是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,万
万不可丢掉。
(4)单项式乘以单项式结果仍是单项式。
5.巩固练习
第5课时 14.2.2单项式与多项式相乘
教学札记:
(一)教学目标:
1、掌握单项式与多项式相乘的法则。
2、准确的进行单项式与多项式的乘法运算。
教学重点:
掌握单项式与多项式相乘的法则
教学难点:
运用法则准确进行计算
(二)教学过程:
1.复习导入
(3)回顾幂的运算法则和单项式与单项式相乘的法则和步骤
(4)课前练习
2.合作探究
互动1
引导学生尝试完成课本第77页“试一试”
计算:
2a2·(3a2-5b)
提示:
乘法的分配律
互动2
师生互动共同完成课本78页例3,并引导学生总结单项式与多项式相乘的法则
例3计算:
(-2a2)•(3ab2-5ab3)
解(-2a2)•(3ab2-5ab3)
=(-2a2)•3ab2+(-2a2)•(-5ab3)
=-6a3b2+10a3b3
明确:
单项式与多项式相乘,只要将单项式分别成衣多项式的各项,再将所得的积相加。
3.反鐀练习
课本第78页练习第1、2题
1.计算:
(1)3x3y•(2xy2-3xy);
(2)2x•(3x2-xy+y2)
2.简:
x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)
4.小结
(1)单项式与多项式相乘的法则是:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
(2)根据乘法分配律m(a+b+c)=ma+mb+mc.
(3)注意符号不可忽略。
(4)多项式中常数项1或-1,不可漏乘。
(5)结果仍是多项式,与原多项式的项数相同。
5.巩固练习
第6课时 14.2.3多项式与多项式相乘
(一)
教学札记:
(一)教学目标:
1、掌握多项式与多项式相乘的法则。
2、会准确的进行多项式与多项式的乘法运算。
教学重点:
掌握多项式与多项式相乘的法则
教学难点:
运用法则准确进行计算
(二)教学流程:
1.复习引入
(1)课前练习
(2)回顾单项式与多项式相乘的法则
2.合作探究
互动1
利用单项式与多项式相乘的法则,将(m+n)看成一个整体有
(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b
=ma+mb+na+nb
明确:
互动2
引导学生看一看本章导图中的问题:
某地区在退耕还林期间,有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米,加宽了b米。
让学生尝试用不同的方法表示这块林区现在的面积。
运用“等积法”得出
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
明确:
多项式乘以多项式的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
互动3
师生互动完成课本第79页例4
计算:
(1)(x+2)(x-3);
(2)(3x-1)(2x+1)
解:
(1)(x+2)(x-3)
教学札记:
=x2-3x+2x-6
=x2-x-6
(2)(3x-1)(2x+1)
=6x2+3x-2x-1
=6x2+x-1
3.反鐀练习
课本第80页练习第1、2题
4.小结
(1)多项式乘以多项式法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的和相加。
(2)用字母表示:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(3)注意:
别漏乘,在确定积的每一项符号时,要特别注意多项式的每一项,包括它前面的符号。
(4)注意掌握(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,可以作为公式使用。
5.巩固练习
第7课时 14.2.3多项式与多项式相乘
(二)
教学札记:
(一)教学目标:
1、熟练掌握多项式与多项式相乘的法则。
2、准确的进行多项式与多项式的乘法运算。
教学重点:
掌握多项式与多项式相乘的法则
教学难点:
运用法则准确进行计算
(二)教学流程:
2.复习引入
(1)回顾单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的和相加。
用字母表示:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(2)课前练习
2.合作探究
互动1
上一节习题第4题讲评。
指出纠正作业中的一些问题
互动2
师生互动完成课本第79页例5
计算:
(1)(x-3y)(x+7y);
(2)(2x+5y)(3x-2y)
解:
(1)(x-3y)(x+7y)
=x2+7xy-3yx-21y2
=x2+4xy-21y2
(2)(2x+5y)(3x-2y)
=6x2-4xy+15yx-10y2
=6x2+11xy-10y2
互动3
师生互动完成下列解方程和不等式(补充)
(1)解方程(2x+3)(x-4)-(x-3)(x+2)=x2+6
(2)解不等式(3x-2)(2x-3)≤(6x+5)(x-1)
3.反鐀练习
(补充)
(1)(x-4)(x+1)
(2)(2a-7b)(3a+4b-1)
(3)(2x+3)(x-4)(4)(6y+5)(2y-1)
4.小结
(1)多项式乘以多项式法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的和相加。
教学札记:
(2)用字母表示:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(3)注意:
别漏乘,(特别是常数项为1的一项)在确定积的每一项符号时,要特别注意多项式的每一项,包括它前面的符号。
(4)注意掌握(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,可以作为公式使用。
5.巩固练习
第8课时 两数和乘以它们的差
教学札记:
(一)教学目标:
1、理解并灵活运用两数和乘以它们的差的几何意义和结构特征。
2、会运用两数和乘以它们的差这个公式进行相关运算。
教学重难点:
理解并灵活运用两数和乘以它们的差这个公式进行相关运算
(二)教学流程:
1.复习回顾
(1)回顾多项式与多项式相乘的法则
(2)课前练习
2.合作探究
互动1
计算:
(a+b)(a-b)
这是一个特殊的乘法,得到的结果特别简洁:
明确:
(a+b)(a-b)=a2-b2
这就是说,两数和与它们的差的积,等于这两数的平方差。
互动2
试一试先观察图14.3.1,再用等式表示下图中图形面积的运算:
互动3
让学生尝试独立完成例1
计算:
(1)(a+3)(a-3);
(2)(2a+3b)(2a-3b);
(3)(1+2c)(1-2c)
解
(1)(a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9
(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
教学札记:
(3)(1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2
点拨:
公式中的a,b,可以表示一个数,也可以表示一个字母,或表示一个多项式。
(即公式中的a,b可以表示一个单项式,或一个多项式)
互动4
引导学生完成课本例2和例3
计算:
1998×2002
解1998×2002=(2000-2)×(2000+2)
=20002-22
=4000000-4
=3999996
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米。
问改造后的长方形草坪的面积是多少?
解(a+2)(a-2)=a2-4
答:
改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米
注意:
正确使用平方差公式的关键是如何确定公式中的a,b分别在题中所表示的内容是什么?
方法是:
相同项看作a,符号相异项中符号后的式子看作b。
3.反馈练习
课本第82页练习第1、2题
4.课后小结
1应用(a-b)=a2-b2这个公式时,注意它的特征。
2a,b可以表示任何整式。
3a表示相同项,第二个数b互为相反数。
.
5.巩固练习
第9课时 两数和的平方
教学札记:
(一)教学目标:
1、掌握两数和的平方的结构特征,理解其几何意义。
2、灵活运用公式进行计算。
教学重点:
理解两数和的平方公式
教学难点:
运用公式准确进行计算
(二)教学流程:
1.复习
(1)回顾两数和乘以它们的差乘法公式
(2)课前练习
2.合作探究
互动1
利用多项式的乘法做一做
计算:
(a+b)2
明确:
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。
互动2
试一试先观察图14.3.2,再用等式表示下图中图形面积的运算
互动3
让学生尝试运用公式独立完成例3和例4
计算:
(1)(2a+3b)2;
(2)(2a+
)2
解
(1)(2a+3b)2
=(2a)2+2•2a•
+(
)2
=4a2+2ab+
例4计算:
(1)(a-b)2;
(2)(2x-3y)2
解
(1)(a-b)2
=[a+(-b)]2
=a2+2•a•(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
点拨:
此题也可以作为一个公式应用:
(a-b)2=a2-2ab+b2
教学札记:
(2)(2x-3y)2
=[2x+(-3y)]2
=(2x)2+2•(2x)•(-3y)+(-3y)2
=4x2-12xy+9y2
也可以应用
(1)的结果直接计算
(2)题
互动4
讨论
:
你能从图14.3.3中的面积关系来解释第
(1)小题的结果吗?
(a-b)2=a2-2ab+b2
3.反馈练习
课本第84页练习第1,2,3,4题
4.课堂小结
(1)完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
(2)公式中的a,b可以表示一个整式:
只要符合公式的结构特征,便可直接使用公式进行计算。
(3)它与平方差公式易混淆,请注意它们结构上的区别:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2(二项式)
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
(三项式)
第10课时乘法公式的综合应用
教学札记:
(一)教学目标:
熟练掌握公式
灵活应用公式准确进行相关计算。
教学重难点:
灵活应用公式准确进行计算
(二)教学流程:
1.回顾乘法公式
2.探究新知
例1计算
已知a-b=5,ab=12,求a2+b2
解:
因为a-b=5,ab=12
所以(a-b)2=25
a2-2ab+b2=25
a2+b2=25+2ab
又ab=12,2ab=24
所以a2+b2=25+24=49
例2已知(a+b)2=16,(a-b)2,求ab的值
解:
因为(a+b)2=16
所以a2+2ab+b2=16
(1)
同理a2-2ab+b2=4
(2)
由
(1)-
(2)得4ab=12,
ab=3
例3计算
200210212-20021020
20021022
解:
200210212-20021020
20021022
=200210212-(20021021-1)(20021021+1)
=200210212-200210212+1
=1
例4已知两个连续正整数的平方差是9,求这两个数。
解:
设这两个连续正整数为x,x+1
依题意得(x+1)2-x2=9
x2+2x+1-x2=9
2x=8
x=4
所以这两个连续正整数为4,5
例5如果x2+6x+m2=(x+m)2,那么常数m的值是多少?
解:
因为x2+6x+m2=(x+m)2
所以x2+6x+m2=x2+2mx+m2
所以6x=2mx
m=3
即m=3,m=-3均符合要求
例6先化简,再求值。
(3a-5b)2-(5b+3a)2,其中a=2003,b=
.
解:
(3a-5b)2-(5b+3a)
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- 14 整式 乘法