新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx
- 文档编号:28238505
- 上传时间:2023-07-09
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:69.21KB
新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx
《新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
新湘教版必修4高中数学数列的概念
9.1
数列的概念
第一课时 数列的概念
[读教材·填要点]
1.数列及其有关概念
(1)数列:
按某种规则依次排列的一列数叫作数列.
(2)项:
数列中的每一个数叫作数列的项,排在第1位的数叫作数列的首项,排在第n位的数叫作数列的第n项.
(3)数列的表示:
数列通常写成a1,a2,…,an,…,其中an表示数列的第n项,数列也可以简记为{an}.
2.数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示,那么这个公式就称为数列{an}的通项公式.
[小问题·大思维]
1.1,2,3,4与4,3,2,1是否是相同的数列?
两个数列相同的条件是什么?
[提示] 两数列不是相同的数列.两个数列相同必须同时满足两个条件:
①两个数列中各数相同;②各数的排列次序相同.
2.{an}与an有什么区别?
[提示] {an}与an是不同的概念.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an…,而an仅表示数列{an}的第n项.
3.数列和函数有什么关系?
[提示] 数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.故数列是一种特殊的函数.
已知数列的通项公式写出前几项
已知数列{an}的通项公式an=(-1)n,求a3,a10,a2n-1.
[解] 当n=3时,a3=(-1)3=-,
当n=10时,a10=(-1)10=,
故a2n-1=(-1)2n-1=-.
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.,
1.根据数列的通项公式,写出它的前4项.
(1)an=;
(2)an=.
解:
(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列{an}的前4项:
a1=,a2==,a3=,a4==.
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列{an}的前4项:
a1=-1,a2=,a3=-,a4=.
用观察法求数列的通项公式
写出数列的一个通项公式,使得它的前几项是下列各数.
(1)-1,,-,,…;
(2)0.9,0.99,0.999,0.9999,…;
(3)3,5,3,5,3,5,….
[解]
(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看做是自然数列的倒数,正负相间用-1的多少次幂进行调整,其通项公式为an=(-1)n·.
(2)原数列可变形为,,,,…,故通项公式为an=1-.
(3)数列给出前6项,其中奇数项为3,偶数项为5,所以通项公式的一种表示方法为an=此数列还可以这样考虑,3与5的算术平均数为=4,4+1=5,4-1=3,因此数列的通项公式又可以写为an=4+(-1)n.
1.观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定数列的通项公式.
2.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;
(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.,
2.写出数列的一个通项公式,使它的前几项是下列各数.
(1),,,,,…
(2),-1,,-,,-,…
(3)3,33,333,3333,…
解:
(1)数列的前5项可以分别改写成,,,,,根据这个规律,数列的第n项可以是,因此,数列的一个通项公式是an=,n∈N+.
(2)数列的前5项可以分别改写成,-,,-,,分子分别为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,分母分别为2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,2×5+1,且奇数项为正,偶数项为负,根据这个规律,数列的第n项可以是(-1)n+1.因此数列的一个通项公式是an=(-1)n+1,n∈N+.
(3)原数列可改写成×9,×99,×999,×9999,根据这个规律,数列的第n项可以是×(10n-1),因此,数列的一个通项公式是an=×(10n-1),n∈N+.
判定数列中项的问题
已知数列{an}的通项公式为an=,试问和是不是此数列中的项?
如果是,是第几项?
[解] 令=,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,又n∈N+,所以n=5.所以是此数列的第5项.
令=,则4n2+12n-27=0,解得n=或n=-,因为n∈N+,所以不是此数列中的项.
判断某数值是否为该数列的项,需假定它是数列中的项去列方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
3.已知有穷数列:
3,5,7,9,11,…,2m+7(m∈N+),其中每一项都比它的后一项小2.
(1)写出这个数列的一个通项公式;
(2)指出4m+9(m∈N+)是不是这个数列中的项,并说明理由.
解:
(1)观察可得an=2n+1,由末项为2m+7可知,若2n+1=2m+7,则n=m+3,说明此数列共有m+3项.
∴这个数列的一个通项公式为an=2n+1(n=1,2,3,…,m+3).
(2)由2n+1=4m+9,得n=2m+4,又2m+4=(m+3)+(m+1),且m∈N+,∴2m+4>m+3,∴4m+9不是这个数列中的项.
[随堂体验落实]
1.数列1,3,6,10,x,21,28,…中,x的值是( )
A.12 B.15
C.17D.18
解析:
选B 根据题目所给数列的特点,3-1=2,6-3=3,10-6=4,x-10=5,21-x=6.
故x=15.
2.已知数列,,,,…,那么9是这个数列的第几项( )
A.12B.13
C.14D.15
解析:
选C 由所给出的前4项,可归纳出通项公式为an=,令an=9,可解得n=14.
3.数列-1,,-,,…的一个通项公式是( )
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n
解析:
选A 数列可以改为-,,-,….
分子1,4,9,16,…,n2,
分母1,3,5,7,…,2n-1,
符号(-1)n,故an=(-1)n.
4.一个数列给出前三项:
2,4,8,有下面三个通项公式:
(1)an=n2-n+2;
(2)an=2n;(3)an=n2,则这个数列的通项公式可能为________(把你认为正确的序号都填上).
解析:
代入验证可知
(1),
(2)都满足.
答案:
(1)、
(2)
5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别为下列各数.
(1)3,5,9,17,33;
(2)4,-4,4,-4,4;
(3)1,0,1,0;
(4),,,.
解:
(1)每一项都可以看成2的n次幂加1的形式,
∴an=2n+1.
(2)数列中的每一项的绝对值均等于4,
只有各项的系数的符号正负相间,
∴an=4(-1)n+1.
(3)原数列可改写为+,-,+,…前、后项正负相间,
∴an=+(-1)n+1.
(4)可将分子、分母分别求其通项,再合并,分子通项为2n-1,分母通项为2n+1,
∴an=.
[感悟高手解题]
写出数列0,2,0,2,0,2,…的一个通项公式.
[解] 法一:
∵数列的奇数项与偶数项分别相同,可利用分段函数表示.
∴an=
法二:
该数列具有周期性,可考虑利用较常见的周期函数表示∴an=2.
法三:
该数列也可看成由以下两个数列叠加而成.
①1,1,1,1,…
②-1,1,-1,1,…
而数列①的通项为bn=1,
数列②的通项为cn=(-1)n,
∴原数列的通项公式为an=1+(-1)n.
[点评] 法一、法二、法三给出了同一数列不同形式的通项公式,这说明数列的通项公式不一定是唯一的.
一、选择题
1.数列{an}中,an=3n-1,则a2等于( )
A.2 B.3
C.9D.32
解析:
选B 因为an=3n-1,
所以a2=32-1=3.
2.数列0,,,,,…的一个通项公式是( )
A.an= B.an=
C.an=D.an=
解析:
选C 已知数列可化为:
0,,,,,…,故an=.
3.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是( )
A.B.5
C.6D.
解析:
选B a1·a2·a3·…·a30=log23×log34×log45×…×log3132=××…×==log232=log225=5.
4.已知数列,,2,,…,则2是该数列的( )
A.第6项B.第7项
C.第10项D.第11项
解析:
选B 由数列,,,,…,
得通项公式为an=,
令=2,∴3n-1=20,∴n=7.
二、填空题
5.已知数列{an},an=bn+m(b<0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则a3=________.
解析:
∵∴
∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.
答案:
2
6.数列0.8,0.98,0.998,0.9998…的一个通项公式是________.
解析:
0.8=1-0.2=1-,
0.98=1-0.02=1-,
0.998=1-0.002=1-,
0.9998=1-0.0002=1-,
猜想:
an=1-.
答案:
an=1-
7.已知数列2,,2,…的通项公式为an=,则a5=________.
解析:
将a1=2,a2=代入通项公式得
∴
所以an==.
所以a5==.
答案:
8.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为________.
解析:
4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27,都是3的指数幂,猜想数列的通项公式为an=3n-1.
答案:
an=3n-1
三、解答题
9.根据下列各数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)7,77,777,7777,…;
(3),,,,,….
解:
(1)应解决两个问题.一是符号问题.可考虑用(-1)n或(-1)n+1表示;二是各项绝对值的排列规律,不难发现后面数的绝对值总比它前面数的绝对值大6,故通项公式an=(-1)n(6n-5).
(2)先联想1,11,111,1111,…的通项,它又与数列9,99,999,9999,…的通项有关,而
=10n-1,于是an=(10n-1).
(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…每一项都是两个相邻奇数的乘积.
经过组合所求数列的通项公式an=.
10.数列{an}的通项公式是an=n2+1-10n.
(1)依次写出该数列的前3项;
(2)判别25是不是该数列中的项;
(3)求该数列的最小项.
解:
(1)a1=1+1-10=-8,a2=22+1-10×2=-15,同理可得a3=-20;
(2)由n2+1-10n=25,解得:
n=12(n=-2舍去),因为12∈N+,所以25是该数列的第12项;
(3)配方得an=n2+1-10n=(n-5)2-24,所以,n=5时,数列的最小值是-24,即数列的第5项为最小项,为-24.
第二课时 数列的递推公式
[读教材·填要点]
递增、递减数列
(1)若an
(2)递推公式
如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件.
[小问题·大思维]
如何判定数列的单调性?
[提示] 判断一个数列的单调性,可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行,通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定,可用作差比较或作商比较.
数列的最大项、最小项及单调性问题
已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)n,试问该数列{an}有没有最大项?
若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
[解] 法一:
∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)n=n×,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1 ∴a1 ∴该数列中有最大项,为第9、10项,且a9=a10=10×9. 法二: 根据题意,令 即解得9≤n≤10.又n∈N+, ∴n=9或n=10.∴该数列中有最大项,为第9、10项,且a9=a10=10×9. 研究数列的最大(小)项问题的常用途径为 (1)由于数列是特殊的函数,可画出数列的图像求得数列的最大项,需注意使an为最大项的n值必须是正整数; (2)利用不等式组找到最大项an. 1.设数列{an}的通项公式为an=n2+kn(n∈N+),若数列{an}是单调递增数列,求实数k的取值范围. 解: 因为数列{an}是单调递增数列, 所以an+1-an>0(n∈N+)恒成立. 又an=n2+kn(n∈N+), 所以(n+1)2+k(n+1)-(n2+kn)>0恒成立, 即2n+1+k>0,所以k>-(2n+1)(n∈N+)恒成立. 而n∈N+时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1时取得), 所以k>-3即为所求的取值范围. 由数列的递推公式求数列的项 数列{an}中,a1=1,a2=3,a-anan+2=(-1)n,求{an}的前5项. [解] 由a-anan+2=(-1)n,得an+2=,又∵a1=1,a2=3,∴a3===10,a4===33,a5===109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109. 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可. (2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. (3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 2.已知数列{an}满足下列条件,写出它的前5项. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1=. 解: (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=1,a3=a2+(2×2-1)=4, a4=a3+(2×3-1)=9,a5=a4+(2×4-1)=16. ∴它的前5项为0,1,4,9,16. (2)∵a1=1,an+1=, ∴a2=,a3=,a4=,a5=. ∴它的前5项依次为1,,,,. 由已知数列递推公式求通项公式 (1)已知a1=1,an+1-an=2,求通项公式; (2)已知a1=1,an+1=2an,求通项公式. [解] (1)法一: (累加法)∵a1=1,an+1-an=2, ∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1),又a1=1,∴通项公式为an=2n-1. 法二: (迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1. (2)法一: (累乘法)由已知得=2(n≥2),∴=2,=2,=2,…,=2,将这些式子的两边分别相乘得···…·==2n-1(n≥2),又a1=1=20,∴通项公式为an=2n-1. 法二: (迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1a1=2n-1,即通项公式为an=2n-1. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法 当an-an-1=f(n)满足一定条件时, 常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加. (2)累乘法 当=g(n)满足一定条件时, 常用an=··…··a1累乘.另外也可以通过迭代法求得通项公式,它们都是求递推数列通项公式的有效方法. 3.设{an}是首项为1的正项数列,且=.求它的通项公式. 解: 法一(累乘法): ····…· =····…·, ∴=. 又∵a1=1,∴an=a1=. 法二(迭代法): ∵an+1=an, ∴an=an-1=·an-2 =··an-3=… =···…·a1, ∴an=. [随堂体验落实] 1.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( ) A.0 B. C.2D.5 解析: 选B 由a2=ma3+1,得3=5m+1, ∴m=. 2.已知数列{an}满足a1>0,2an+1=an,则数列{an}是( ) A.递增数列B.递减数列 C.常数列D.以上都不正确 解析: 选B ∵=<1,a1>0, ∴{an}是一个递减数列. 3.数列{an}中,a1=2,a2=3,an=an-1an-2(n>2),则a4等于( ) A.2B.3 C.6D.18 解析: 选D a3=a2a1=3×2=6, a4=a3a2=6×3=18. 4.已知f (1)=2,f(n+1)=(n∈N*),则f(4)=________. 解析: ∵f (1)=2,f(n+1)=, ∴f (2)==. ∴f(3)===. f(4)===. 答案: 5.已知函数f(x)=x-.数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.求数列{an}的通项公式. 解: ∵f(x)=x-, ∴f(an)=an-, ∵f(an)=-2n. ∴an-=-2n, 即a+2nan-1=0. ∴an=-n±. ∵an>0,∴an=-n. [感悟高手解题] 在数列{an}中,a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5. [解] 法一: ∵a1=2,a2=1, an+2=3an+1-an, ∴a3=3a2-a1=3×1-2=1, a4=3a3-a2=3×1-1=2, a5=3a4-a3=3×2-1=5, a6=3a5-a4=3×5-2=13, ∴a6+a4-3a5=13+2-3×5=0, 法二: ∵an+2=3an+1-an, 令n=4, 则有a6=3a5-a4, ∴a6+a4-3a5=0. [点评] 递推公式是一种给出数列的方法,应用递推公式可以求数列中的项,但需要一项一项去递推,故在运算过程中要格外细心,中间一个值的计算失误,往往引起后面值的错误. 一、选择题 1.符合递推关系式an=an-1的数列是( ) A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,… C.,2,,2,…D.0,,2,2,… 解析: 选B B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1. 2.已知数列{an}对任意的p,q∈N+满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( ) A.-165B.-33 C.-30D.-21 解析: 选C a2=a1+a1=-6,所以a1=-3. a10=a5+a5=2a5=2(a2+a3)=2[a2+(a2+a1)] =4a2+2a1=-24-6=-30. 3.数列{an}中,已知a61=2018,且an+1=an+n,则a1等于( ) A.176B.177 C.188D.179 解析: 选C ∵an+1-an=n, ∴a2-a1=1,a3-a2=2,…,a61-a60=60, ∴a61-a1=1+2+…+60, ∴a1=188. 4.已知函数f(x)=若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),n∈N+,则a2017+a2018等于( ) A.4B. C.D. 解析: 选B a2=f=-1=; a3=f=-1=; a4=f=+=; a5=f=2×-1=; a6=f=2×-1=; 即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列. ∴a2017+a2018=a4+a5=.故选B. 二、填空题 5.已知数列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),则a16=________. 解析: a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此数列为循环数列,∴a1=a4=a7=a10=a13=a16=. 答案: 6.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,则该数列的数值最大的项为第________项. 解析: ∵f(n)=-2n2+21n =-22+(n∈N+), ∴n=5或6时an最大. ∵a5=55,a6=54,∴最大项为第5项. 答案: 5 7.已知数列{an}中,an+1=对任意正自然数n都成立,且a7=,则a5=________. 解析: 由已知a7==,所以a6=,又因为a6==,所以a5=1. 答案: 1 8.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an等于________. 解析: ∵an+1-an=ln, ∴a2-a1=ln2,a3-a2=ln,a4-a3=ln,…,an-an-1=ln, 以上n-1个式子相加可得: an-a1=ln2+ln+ln+…+ln=lnn,∴an=2+lnn. 答案: 2+lnn 三、解答题 9.一个数列的通项公式为an=30+n-n2. (1)问-60是否为这个数列中的项? (2)当n分别为何值时,an=0,an>0,an<0. (3)当n为何值时,an有最大值,并求出最大值. 解: (1)令30+n-n2=-60,即n2-n-90=0, ∴n=10或n=-9(舍), ∴-60是这个数列的第10项,即a10=-60. (2)令30+n-n2=0,即n2-n-30=0. ∴n=6或n=-5(舍),即当n=6时,an=0. 同理,当30+n-n2>0,即n2-n-30<0. 解不等式,得-5<n<6.又n∈N*, ∴当n等于1,2,3,4,5时,an>0. 令30+n-n2<0,解不等式,得n>6或n<-5. 又∵n∈N*,∴可得,当n>6且n∈N*时,an<0. (3)an=30+n-n2=-2+, 又∵n∈N+,故当n=1时,an有最大值,其最大值为30. 10.在数列{an}中,已知a1=1,且an+1=an+,试求数列{an}的通项公式. 解: 由an+1=an+得(n+1)an+1=(n+2)an, 即nan=(n+1)an-1,(n-1)an-1=nan-2, (n-2)an-2=(n-1)an-3,…,3a3=4a2, 2a2=3a1, 以上各式左右两边分别相乘可得: 2an=(n+1)a1. ∵a1=1,∴an=.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新湘教版必修4高中数学 数列的概念 新湘教版 必修 高中数学 数列 概念