第二十二章二次函数知识点综合及练习良心出品必属精品.docx
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第二十二章二次函数知识点综合及练习良心出品必属精品
第二十二章二次函数
22.1二次函数的图形和性质
知识点1:
二次函数的概念
1、二次函数的概念:
一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
例:
已知函数y=(m²-4)x²+(m+2)x+3
(1)当m为何值时,此函数是二次函数?
(2)当m为何值时,此函数是一次函数?
2、二次函数的一般形式
任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式。
二次项系数a不能为0,而b,c可以为0。
所以二次函数y=ax²+bx+c的特殊形式有:
①y=ax²(a≠0);②y=ax²+bx(a≠0,b≠0);③y=ax²+c(a≠0,c≠0)
例:
写出下列二次函数的a,b,c
(1)y=
x-x²;
(2)y=
x²;(3)y=
x²+5x-10;(4)y=-6-
x²。
知识点2:
二次函数y=ax²(a≠0)的图像与性质
1、二次函数y=ax²(a≠0)的图像
二次函数y=x²是最简单的二次函数,画二次函数图像用描点法,具体步骤:
列表、描点、连线。
二次函数图像是一条抛物线,一般地,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像叫做抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、二次函数y=ax²(a≠0)的性质
函数
y=ax²(a>0)
y=ax²(a<0)
图像
开口方向
向上
向下
a的绝对值越大,开口越小
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
最大(小)值
顶点是最低点,当x=0时,
=0
顶点是最高点,当x=0时,
=0
增减性
当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0,函数值y随x的增大而增大。
当x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0,函数值y随x的增大而减小。
例1:
根据下列条件求a的值或取值范围:
(1)函数y=(a-2)x²,当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大;
(2)函数y=(3a-2)x²有最大值;
(3)抛物线y=(a+2)x²与抛物线y=-
x²的形状相同;
(4)函数y=
的图像是开口向上的抛物线。
例2:
函数y=x²,y=
x²,y=3x²的图像开口大小,从小到大的顺序排列的函数关系式是_________________________.
知识点3:
二次函数y=ax²+k(a,k是常数,a≠0)的图像与性质
1、二次函数y=ax²+k的图象的画法
①利用描点法画图像;
②利用平移法:
二次函数y=ax²+k的图像时一条抛物线,可由抛物线y=ax²向上(或向下)平移得到。
当k>0时,抛物线y=ax²向上平移|k|个单位长度而得到y=ax²+k的图像;
当k<0时,抛物线y=ax²向下平移|k|个单位长度而得到y=ax²+k的图像。
(上+下-)
例:
在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x²的图象沿y轴向上平移2个单位长度,所得图象的解析式为()
A.y=2x²-2B.y=2x²+2C.y=2(x-2)²D.y=2(x+2)²
2、二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质
函数
y=ax²+k(a>0)
y=ax²+k(a<0)
图像
开口方向
向上
向下
a的绝对值越大,开口越小
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
(0,k)
最大(小)值
顶点是最低点,当x=0时,
=k
顶点是最高点,当x=0时,
=k
增减性
当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0,函数值y随x的增大而增大。
当x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0,函数值y随x的增大而减小。
例:
在同一直角坐标系中,画出函数y=-x²和y=-x²+1的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)抛物线y=-x²+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x²?
(2)函数y=-x²+1,当x__________时,y随x的增大而减小;当x____________时,函数y有最大值,最大值是_________;其图象与y轴的交点坐标是__________,与x轴的交点坐标是____________。
(3)试说出抛物线y=
x²-3的开口方向,对称轴和顶点坐标。
知识点4:
二次函数y=a(x-h)²(a,h是常数,a≠0)的图象与性质
1、二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
①函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象与函数y=ax²的图象形状、开口、大小相同,只是位置不同;
②函数y=a(x-h)²(a≠0)的图像可由函数y=ax²的图象左右平移得到。
当h>0时,抛物线y=ax²向右平移|h|个单位长度而得到y=a(x-h)²的图像;
当h<0时,抛物线y=ax²向左平移|h|个单位长度而得到y=a(x-h)²的图像。
(左+右-)
③图象性质归纳如下:
函数
y=a(x-h)²(a>0)
y=a(x-h)²(a<0)
图像
开口方向
向上
向下
a的绝对值越大,开口越小
对称轴
直线x=h
顶点坐标
(h,0)
最大(小)值
顶点是最低点,当x=h时,
=0
顶点是最高点,当x=h时,
=0
增减性
当x<h时,函数值y随x的增大而减小;当x>h,函数值y随x的增大而增大。
当x<h时,函数值y随x的增大而增大;当x>h,函数值y随x的增大而减小。
例:
抛物线y=
(x+5)²的顶点坐标是_________,对称轴是____________,当x=________时,
=__________。
2、二次函数y=a(x-h)²,y=ax²+k与y=ax²之间的关系
函数
y=ax²+k
y=a(x-h)²
y=ax²
相同点
(1)图象都是抛物线,形状、开口方向相同;
(2)都是轴对称图形;(3)都有最大(小)值。
不同点
顶点坐标
(0,k)
(h,0)
(0,0)
对称轴
直线x=0
直线x=h
直线x=0
联系
y=a(x-h)²的图象可由y=ax²的图象向左(或向右)平移得到;
y=ax²+k的图象可由y=ax²的图象向上(或向下)平移得到
例:
把抛物线y=x²向右平移1个单位长度,所得抛物线的函数表达式为()
A.y=x²+1B.y=(x+1)²C.y=x²-1D.y=(x-1)²
知识点5二次函数y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0)的图象与性质
1、二次函数y=a(x-h)²+k的图象的画法
一是:
描点法;①列表:
在点(h,k)两侧对称的取四个点;②描点;③连线。
二是:
平移法:
y=ax²y=ax²+k
y=a(x-h)²y=a(x-h)²+k
例:
将抛物线y=(x-1)²+3向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为()
A.y=(x-2)²B.y=(x-2)²+6C.y=x²+6D.y=x²
5.2二次函数y=a(x-h)²+k的性质
函数
y=a(x-h)²+k(a>0)
y=a(x-h)²+k(a<0)
开口方向
向上
向下
a的绝对值越大,开口越小
对称轴
直线x=h
顶点坐标
(h,k)
顶点位置
当h>0时,顶点在y轴的右侧;当h<0时,顶点在y轴的左侧。
最大(小)值
顶点是最低点,当x=h时,
=k
顶点是最高点,当x=h时,
=k
增减性
当x<h时,函数值y随x的增大而减小;当x>h,函数值y随x的增大而增大。
当x<h时,函数值y随x的增大而增大;当x>h,函数值y随x的增大而减小。
例:
填写下表
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x²
y=-x²-3
y=3(x+1)²
y=-4(x-3)²-5
知识点6:
二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象与性质
1.二次函数y=ax²+bx+c的图象的画法
①描点法,计算顶点(
,
),再列表(左右取三个对称点),然后连线;②平移法,用配方法将一般形式化成顶点式:
y=ax²+bx+c=a
²+
,再根据平移方法由y=ax²进行平移。
例:
抛物线y=-2x²-4x-5经过平移得到y=-2x²,平移方法是()
A.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
2.二次函数y=ax²+bx+c的性质
一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)与顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0)性质的对照如下表:
函数
y=ax²+bx+c
y=a(x-h)²+k
开口方向
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下
对称轴
直线x=
直线x=h
顶点坐标
(
,
)
(h,k)
最大(小)值
a>0
当x=
时,
当x=h时,
=k
a<0
当x=
时,
当x=h时,
=k
增减性
a>0
在对称轴左侧,即x<
或x<h,y随x的增大而减小;
在对称轴左侧,即x>
或x>h,y随x的增大而增大
a<0
在对称轴左侧,即x<
或x<h,y随x的增大而增大;
在对称轴左侧,即x>
或x>h,y随x的增大而减小。
例:
抛物线y=-x²+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点:
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
3、抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标和对称轴的求法
①配方法:
y=ax²+bx+c=a
²+
,即得到二次函数的顶点式。
②公式法:
对称轴是直线x=-
,顶点坐标是(
,
),
③图象法:
画出抛物线,根据图象确定对称轴及顶点坐标。
例:
说出抛物线y=-x²-2x+1的开口方向、对称轴、顶点坐标。
知识点7:
用待定系数法求二次函数的解析式
1、一般式
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),若知道函数图像上的三个点的坐标,即可求出该函数的关系式。
例:
抛物线经过A(-3,0),B(0,4),C(4,0)三点,求二次函数的解析式。
2、顶点式
已知抛物线的顶点或对称轴,则设抛物线的关系式为顶点式y=a(x-h)²+k,顶点的坐标为(h,k),对称轴为直线x=h。
例:
已知二次函数的图像以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5)。
(1)求该函数的解析式;
(2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标。
3、交点式
若已知抛物线与x轴的两交点坐标或已知抛物线与x轴的一交点坐标与对称轴,可通过设交点式y=a(x-
)(x-
)求解。
例:
已知抛物线与x轴的交点坐标是A(-2,0),B(1,0),且抛物线经过点C(2,8),求抛物线的解析式。
能力提升:
1、已知函数y=(n+2)
是关于x的二次函数。
(1)求满足条件的n的值
(2)n为何值时,抛物线有最低点?
求出这个最低点的坐标。
这时当x取何值时,y随着x的增大而增大?
(3)n为何值时,函数有最大值?
最大值是多少?
这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
2、画二次函数y=-x²+2x+2的图象。
3、已知二次函数y=2(x-1)²+k的图象上有A(
,y1),B(2,y2),C(-
,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系是()
A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
4、已知抛物线的顶点是(2,-4),它与x轴的一个交点的横坐标为1,求它的解析式。
5、分别在下列范围内求函数y=x²-2x-3的最大值或最小值。
(1)0<x<2;
(2)2≤x≤3
6、小王家用40米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,求这块菜园的面积。
7、已知二次函数y=2x²-mx+5,当x>2时,y随x的增大而增大,则()
A.m=8B.m<8C.m≥8D.m≤8
8、已知二次函数的图形经过点A(-1,0)、B(3,0)。
若要确定该函数的解析式,需要补充条件()
A.二次函数图像的对称轴为直线x=1B.当x<1时,y随x的增大而减小
C.函数有最小值-
D.当x=0和x=2是函数值是相同的。
9、抛物线y=ax²+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为()
A.3B.9C.15D.-15
10、在同一直角坐标系内,将函数y=2x²+4x+1的图像沿x轴方向向右平移2个单位后再沿y轴向下平移1个单位,得到图像的顶点坐标()
A.(-1,1)B.(1,-2)C.(2,-2)D.(1,-1)
11、已知二次函数y=a(x-1)²-c的图像如图所示,则一次函数图像y=ax+c的大致图像可能是()
12、二次函数y=a(x+m)²+n的图像如图所示,则一次函数y=mx+n的图像经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
13、如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,若点E在线段BC上滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上,求此点F的坐标。
22.2二次函数与一元二次方程
知识点1:
二次函数与一元二次方程
1、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的关系
如下表:
判别式b²-4ac
二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况
图象
与x轴的交点情况
b²-4ac>0
a>0
抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)交x轴于(x1,0)(x2,0)两点
有两个不相等的实数根
x=
a<0
b²-4ac
=0
a>0
抛物线与x轴只有一个公共点(-
,0)
有两个相等的实数根
x1=x2=-
a<0
b²-4ac<0
a>0
抛物线与x轴无公共点
无实数根
a<0
例:
已知抛物线y=2(k+1)x²+4kx+2k-3,求:
(1)k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;
(2)k为何值时,抛物线与x轴有唯一个交点
(3)k为何值时,抛物线与x轴没有交点
2、抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c及b²-4ac的符号之间的联系
代数式
作用
字母符号
图象的特征
a
1、决定开口方向
2、决定增减性
a>0
开口向上
a<0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点
坐标(0,c)
c>0
交点在y轴正半轴
c=0
抛物线经过原点
c<0
交点在y轴负半轴
-
决定对称轴的位置,
对称轴是直线x=-
ab>0
对称轴在y轴左侧
b=0
对称轴为y轴
ab<0
对称轴在y轴右侧
b²-4ac
决定抛物线与x轴的
交点个数
b²-4ac>0
与x轴有两个交点
b²-4ac=0
与x轴有唯一交点
b²-4ac<0
与x轴没有交点
根据直线x=1与抛物线的交点的位置可以确定a+b+c的符号,根据直线x=-1与抛物线交点的位置可以确定a-b+c的符号。
例:
二次函数y=ax²+bx+c图像如图所示,则下列选项正确的是()
A.a>0,b>0,b²-4ac>0.B.a<0,b>0,b²-4ac>0
C.a>0,b<0,b²-4ac>0D.a>0,b<0,b²-4ac<0
知识点2:
图像法解一元二次方程
例:
利用二次函数的图像求一元二次方程-x²+2x-3=-8的实数根。
(精确到0.1)
知识点3:
抛物线与直线的交点
1、与y轴的交点:
(0,c)
2、与x轴的交点:
个数由根的判别式
的符号决定。
3、与一次函数的交点:
由方程组
的解的个数决定。
例:
1:
抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求AB和OC的长。
例2:
求抛物线y=x²-x与直线y=-3x+3的交点坐标。
知识点4:
二次函数与一元二次不等式的关系
二次函数y=ax²+bx+c与一元二次不等式ax²+bx+c>0及ax²+bx+c<0之间的关系如下:
b²-4ac的取值情况
b²-4ac>0
b²-4ac=0
b²-4ac<0
a>0
抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点
有两个交点
有一个交点
无交点
不等式ax²+bx+c>0的解集
x<x1或x>x2
x≠x1(或x≠x2)
全体实数
不等式ax²+bx+c<0的解集
x1<x<x2
无解
无解
a<0
抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点
有两个交点
有一个交点
无交点
不等式ax²+bx+c>0的解集
x1<x<x2
无解
无解
不等式ax²+bx+c<0的解集
x<x1或x>x2
x≠x1(或x≠x2)
全体实数
例1:
二次函数y=x²-4x+3
(1)x取什么值时y=0?
(2)x取什么值时y>0?
(3)x取什么值时y<0?
例2:
如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax²+bx+c<0的解集是________________.
知识点5:
二次三项式的值恒为正数(或负数)的条件
讨论二次三项式ax²+bx+c的值恒为正数(或负数)的问题,可以转化为对应的抛物线与x轴位置关系问题。
(1)若ax²+bx+c的值恒为正数,则抛物线y=ax²+bx+c的开口向上,且与x轴没有交点,因此,a>0,b²-4ac<0;
(2)若ax²+bx+c的值恒为负数,则抛物线y=ax²+bx+c的开口向下,且与x轴没有交点,因此,a<0,b²-4ac<0;
例3:
无论x为何值,二次三项式ax²+2(a+1)x+a+
的值恒为负数,则a的取值范围是()
A.0<a<
B.
<a<0C.a<-
D.a≤-
能力提升:
1、抛物线y=-x²+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围___________
2、如图,二次函数y=(x-2)²+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点。
已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B。
(1)求二次函数与一次函数的解析式
(2)根据图象,写成满足kx+b≥(x-2)²+m的取值范围。
3、如图,二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴。
(1)给出四个结论①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是_______;
(2)给出四个结论:
①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1。
其中正确的结论的序号是____________.
4、若函数y=mx²+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是___________.
5、已知抛物线y=x²-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上,求该抛物线的解析式。
6、如图所示,抛物线y=-x²+2(m+1)x+m+3与x轴交于A,B两点,且OA:
OB=3:
1,求m的值。
7、如图所示,已知抛物线与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=-1,则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是()
A.(-3,0)B.(-2,0)C.x=-3D.x=-2
8、若抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=_______
9、如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=-1,且过点(-3,0).下列说法:
①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y1),(
,y2)是抛物线上两点,则y1>y2,其中说法正确的是()
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
10、函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b²-4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x²+(b-1)x+c<0。
其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
11、关于x的一元二次方程(x-1)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②m>-
;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),其中正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
12、二次函数y=ax²+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()
A.-3B.3C.-5D.9
13、如图,抛物线y2=x²+1与双曲线y1=
的交点A的横坐标是1,则不等式
+x²+1<0的解集是()
A.x>1B.x<-1C.0<x<1D.-1<x<0
14、如图所示,已知抛物线y1=-2x²+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2。
若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2,例如:
当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0,下列判断:
①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是
或-
.
其中正确的是()
A.①②B.①④C.②③D.③④
15、已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A,B,点A的坐标是(1,0).
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C,D两点,设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证S1-S2为常数,并求出该常数。
22.3实际问题与二次函数
知识点1:
利用二次函数求图形面积的最值问题
例1:
如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为xm,面积为Sm²。
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45m²更大的花圃吗?
如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由。
知识点2
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