实验案例节水洗衣机.docx
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实验案例节水洗衣机
1实验案例
1.1案例:
节水洗衣机
问题:
1996年全国赛B题节水洗衣机
我国淡水资源有限,节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要。
假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:
加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水(称“加水—漂洗—脱水”为运行一轮)。
请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少。
选用合理的数据进行运算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果出评价。
洗衣机的节水优化模型
摘要本文通过分析洗衣机的洗衣过程,认为是一次性溶解、多次稀释的过程。
据此建立非线性规划模型,并利用迭代公式和最优化原理,得出最少用水量的判断公式和代数解。
以海棠洗衣机为例,通过对比,利用我们的模型算出的用水量比厂家提供的数据要少,从而说明所建模型的优越性。
最后,根据模型解,给出最少用水量与脏衣服的重量的关系图,并从中得出有趣的结论,也给厂家提供一个节约用水的模型。
1.1.1问题重述与分析
对洗衣机的运行进行设计,主要目的是为了节约用水量。
在满足洗涤效果的前提下使得用水量最少。
因此,这是一个典型的最优化问题,目标为洗衣总用水量最少,主要的决策为洗多少轮以及每轮加水量的问题。
而一般洗衣只是第一次加水漂洗时才放洗涤剂,而过后则是清水漂洗,通过化学原理,可以将第1轮洗涤后的各轮洗涤看成是不断的稀释过程。
为了评价洗涤效果,可用衣服上残留的污物质量与洗涤前污物质量之比作为评价指标。
在设计每轮加水量时,要考虑洗衣机本身洗衣同的最大容积,运行的最低加水量。
1.1.2基本假设及说明
1.洗衣机一次用水量有最高限和最低限,能连续补充在限度内的任意水量;
2.洗衣机每轮运行过程为:
加水-漂洗-脱水;
3.仅在第一轮运行时加上洗涤剂,在后面的运行轮中仅有稀释作用;
4.洗衣时所加的洗涤剂适量,漂洗时间足够,能使污垢一次溶解,忽略不能溶解的污垢;
5.脱水后的衣服质量与干衣服的重量成正比;
6.每缸洗衣水只用一次;
1.1.3符号和变量说明
:
污物的质量(kg);
:
第i轮运行时污物浓度(kg/升);
n:
洗衣服时洗衣机运行轮数(次);
:
第i轮用水量(升);
:
干衣服的质量(kg);
:
衣服脱水后衣服含水质量(kg);
:
衣服的清洁度(常量,洗衣的衣服上污量与
之比);
:
洗一次衣服的总用水量(升);
:
洗衣机一次洗衣的最大量(kg);
:
脱水后衣服含水质量与干衣服质量比(常数);显然
:
洗衣机一次注水最高限(升);
:
衣服完全浸泡的状态下为洗衣机能正常运行需注入的最低水量(升);
:
单位质量的衣服完全浸泡最低所需水量(常量);
1.1.4建模准备
(1)由化学中的洗涤原理知,有助于洗涤作用的三个因素:
1、表面活性(以肥皂为代表的活性剂产生洗涤作用的各种物质之通称);
2、界面电(配入洗涤剂中的碱和磷酸盐等无机助剂的作用);
3、机械力和流水力(由于水的流动产生机械力)
在洗衣过程中,一般之在第一次加入洗涤剂,在第二次及以后,不再加入洗涤剂,从而,使有助于洗涤的三个因素的前两个不存在,只剩下水的流动力的作用,洗涤作用因此很微弱。
于是假设污物的第一次被洗涤,接下来的过程只是污物的稀释过程是合理的。
(2)实际生活经验可知,在衣服完全浸泡的基础上,洗衣机还需有一定的富裕水量
才能使其正常运行。
一种衣服完全浸泡所需水量是衣服质量的
倍,则质量为
的衣服使洗衣机能洗的最少水量
。
脱水后剩下水量是衣服质量的
倍,
。
对于普通衣服
可视为常数。
实验测定1kg混合干衣服浸泡所需水量,脱水后衣服含水量与干衣服质量之比,如表1。
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
水量
2.56
5.02
7.48
9.87
12.3
15.7
18.6
0.3
0.61
0.92
1.20
1.52
1.88
2.15
计算可得
。
各次运行时,污物的浓度为:
,
经过迭代得到
1.1.5模型建立
根据以上分析,可以建立解决洗衣机节水的非线性最优化模型。
(1)
1.1.6模型求解
1.1.6.1解析求解
如果
(1)存在最优解
,则可以证明
(证明从略)。
n的取值讨论
(1)当
刚好为
,则有最多洗涤轮数。
由
,得
(2)当
刚好为
,则有最少洗涤轮数。
由
,得
综上所述,n的取值范围为
。
1.1.6.2其他求解方法
所建立模型为非线性最优化模型,故这里采用Matlab求解非线性规划的函数fmincon求解。
1.1.6.3数据初始化程序init1996b.m
%1996B洗衣机节水模型
%参数与数据初始化
%
af=0.60;%脱水后衣服含水质量与干衣服质量比(常数)
beta=5.0;%单位质量的衣服完全浸泡最低所需水量(常量);
Vmin=24;%衣服完全浸泡的状态下为洗衣机能正常运行需注入的最低水量(升);
ef=0.001;%衣服的清洁度(常量,洗衣的衣服上污量与之比);
M=5;%干衣服的质量(kg);
m=af*M;%衣服脱水后衣服含水质量(kg)
VminM=beta*M+Vmin;
Vmax=60;%洗衣机一次注水最高限(升);
1.1.6.4模型求解程序(根据n穷举求解)
程序:
solv1996_1.m
%init
init1996b
Nmin=fix(log(ef)/log((m/Vmax)))+1
Nmax=fix(log(ef)/log(m/VminM))+1
opti_s=1e6;
forn=Nmin:
Nmax,
t1=m/(ef)^(1/n)
t2=VminM
onex=max(m/(ef)^(1/n),VminM);
S=n*onex-(n-1)*m
x=[];
x
(1)=onex;
ifn>=2,
fori=2:
n,
x(i)=onex-m;
end
end
%test=sum(x)-S;
ifS opti_n=n;%洗衣轮次 opti_s=S;%存储最少所需水量 opti_x=x; end end opti_n opti_s opti_x m 1.1.6.5模型求解程序(直接非线性规划求解) 目标函数m文件: myobj1996b.m functionr=myobj1996b(x) %1996年B题目标函数: 总需水量 r=sum(x); 约束条件m文件: mycon1996b.m function[C,Ceq]=mycon1996b(x) %1996年B题采用非线性规划求解算法求解的约束条件函数 globalmef%全局变量 n=length(x);%洗衣轮次 tmpX=x (1);%x1 ifn>=2, fori=2: n, tmpX=tmpX*(x(i)+m);%x1*(x2+m)*(x3+m)*...*(xn+m) end end C=m^n-tmpX*ef;%只有一个约束,决策变量约束用fmincon的参数lb,ub来处理 %C=m^n/tmpX-ef;%只有一个约束,决策变量约束用fmincon的参数lb,ub来处理 Ceq=[]; 主程序: solv1996b_2 %1996B洗衣机节水模型 %参数与数据初始化 %init init1996b Nmin=fix(log(ef)/log((m/Vmax)))+1 Nmax=fix(log(ef)/log(m/VminM))+1 opti_s=1e6; forn=Nmin: Nmax,%穷举所有可能洗衣次数的模型 lb=[]; ub=[]; lb (1)=VminM; ub (1)=Vmax; ifn>=2, forj=2: n, lb(j)=VminM-m; ub(j)=Vmax-m; end end lb ub [x,fval,exitflag]=fmincon('myobj1996b',VminM*ones(1,n),[],[],[],[],... lb,ub,'mycon1996b') iffval opti_n=n; opti_s=fval; opti_x=x; end end opti_n opti_s opti_x m 1.1.6.6解析法运行结果: solv1996b_1 Nmin= 3 Nmax= 3 t1= 30 t2= 49 S= 141 opti_n= 3 opti_s= 141 opti_x= 494646 m= 3 1.1.6.7直接非线性规划求解运行结果 solv1996b_2 Nmin= 3 Nmax= 3 lb= 494646 ub= 605757 Warning: Trustregionmethoddoesnotcurrentlysolvethistypeofproblem, switchingtolinesearch. >InE: \MATLABR11\toolbox\optim\fmincon.matline190 InF: \PROGRAM\mbook\solv1996b_2.matline24 Optimizationterminatedsuccessfully: Searchdirectionlessthan2*options.TolXand maximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon ActiveConstraints: 1 2 3 x= 494646 fval= 141 exitflag= 1 opti_n= 3 opti_s= 141 opti_x= 494646 m= 3 结果对比发现,两种求解方法得到的洗衣方案相同,均洗3轮,共需水141,第1,2,3轮分别加水49升,46升,46升。 1.1.7思考题 求解模型 (1)给出解析解,并与前面的非线性规划模型的解对比。
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