数学建模教材29第二十九章经济与金融中的优化问题.docx
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数学建模教材29第二十九章经济与金融中的优化问题
本章主要介绍用LINGO软件求解经济、金融和市场营销方面的几个优化问题的案
例。
(1)问题分析
首先,我们看看为什么要考虑从甲销售到丁的产品的运输成本和从丙销售到乙的产品的运输成本。
如果不考虑这些运输成本,我们就可以认为甲乙丙丁处于同一个市场上,因此可以将两个生产商(甲和丙)的供应函数合并成一个供应函数,合并后就可以认为市场上仍然只有一个供应商。
类似地,乙和丁的需求函数也可以合并成一个需求函数,合并后就可以认为市场上仍然只有一个消费者。
这样,就回到了例1的情形。
也就是说,考虑运输成本在经济学上的含义,应当是认为甲乙是一个市场(地区或国家),而丙丁是另一个市场(地区或国家)。
运输成本也可能还包括关税等成本,由于这个成本的存在,两个市场的清算价可能是不同的。
仍然按照例1的思路,可以建立这个问题的线性规划模型。
(2)模型的建立和求解
设甲以1,2,3,4(万元)的单价售出的产品数量(单位:
t)分别是A1,A2,A3,A4,乙以9,4.5,3,2.25(万元)的单价购买的产品数量(单位:
t)分别是X1,X2,X3,X4;丙以2,4,6,8(万元)的单价售出的产品数量(单位:
t)分别是B1,B2,B3,B4,丁以15,8,5,3(万元)的单价购买的产品数量(单位:
t)分别是Y1,Y2,Y3,Y4。
此外,
假设AX和AY分别是甲向乙和丁的供货量,BX和BY分别是丙向乙和丁的供货量。
这些决策变量之间的关系参见示意图1。
-711-
-712-
可见,此时甲的销售单价就是3万元,这就是甲面对的清算价格。
完全类似地,可以知道生产商丙面对的清算价格为4.5。
自然地,乙面对的清算价格也是3,丁面对的清算价格也是4.5,因为甲乙位于同一个市场,而丙丁也位于同一个市场。
这两个市场的清算价之差正好等于从甲到丁的运输成本(1.5),这是非常合理的。
(4)模型扩展可以和1.1一样,将上面的具体模型一般化,即考虑供应函数和需求函数的分段数
不是固定为4,而是任意有限正整数的情形。
很自然地,上面的方法很容易推广到不仅仅是2个市场,而是任意有限个市场的情
形。
理论上看这当然没有什么难度,只是这时变量会更多,数学表达式变得更复杂一些。
1.3拍卖与投标问题
例3假设一家拍卖行对委托的5类艺术品对外拍卖,采用在规定日期前投标人提交投标书的方式进行,最后收到了来自4个投标人的投标书。
每类项目的数量、投标人对每个项目的投标价格如表3中所示。
例如,有3件第4类艺术品;对每件第4类艺术品,投标人1,2,3,4愿意出的最高价分别为6,1,3,2(货币单位,如万元)。
此外,假设每个投标人对每类艺术品最多只能购买1件,并且每个投标人购买的艺术品的总数不能超过3件。
那么,哪些艺术品能够卖出去?
卖给谁?
这个拍卖和投标问题中每类物品的清算价应该是多少?
(1)问题分析
这个具体问题在实际中可能可以通过对所有投标的报价进行排序来解决,例如可以总是将艺术品优先卖给出价最高的投标人。
但这种方法不太好确定每类艺术品的清算价,所以我们这里还是借用前面两个例子中的方法,即假设有一个中间商希望最大化自己的利润,从而建立这个问题的线性规划模型。
(2)问题的一般提法和假设
先建立一般的模型,然后求解本例的具体问题,设有n类物品需要拍卖,第j类物
品的数量为sj(j=1,2,L,n);有m个投标者,投标者i(i=1,2,Lm)对第j类物品的投标价格为bij(假设非负)。
投标者i对每类物品最多购买一件,且总件数不能超过ci。
我们的目标之一是要确定第j类物品的清算价格pj,它应当满足下列假设条件:
i)成交的第j类物品的数量不超过sj(j=1,2,L,n);
ii)对第j类物品的报价低于pj的投标人将不能获得第j类物品;
iii)如果成交的第j类物品的数量少于sj(j=1,2,L,n),可以认为pj=0(除非拍卖方另外指定一个最低的保护价);
iv)对第j类物品的报价高于pj的投标人有权获得第j类物品,但如果他有权获
-714-
(1)问题分析
这个问题看起来似乎与前面几个例子完全不同,但实际上交通流与市场经济活动类似,也存在着均衡。
我们可以想象有一个协调者,正如前面几个例子中的所谓中间商可以理解为市场规律一样,实际上这里的所谓协调者也可以认为是交通流的规律。
交通流的规律就是每辆
汽车都将选择使自己从A到D运行时间最少的路线,其必然的结果是无论走哪条路线从A到D,最终花费的时间应该是一样的(否则,花费时间较长的那条线路上的部分汽车就会改变自己的路线,以缩短自己的行驶时间)。
也就是说,长期来看,这些汽车在每条道路上的分布将达到均衡状态(所谓均衡,这里的含义就是每辆汽车都不能仅仅通过自身独自改变道路节省其行驶时间)。
在这种想法下,我们来建立线性规划模型。
(2)优化模型交通流的规律要求所有道路上的流量达到均衡,我们仍然类似例1和例2来考虑问
题。
如果车流量是一辆车一辆车增加的,那么在每条道路上车流量小于2时,车流量会有一个分布规律;当某条道路上流量正好超过2时,新加入的一辆车需要选择使自己堵
-716-
§2投资组合问题
2.1基本的投资组合模型
例5美国某三种股票(A,B,C)12年(1943-1954)的价格(已经包括了分
-719-
-720-
-721-
-722-
如下:
clc,clear
loaddata2.txt,loaddata3.txth=reshape(data3,[3,3]);a=data2';
solution=[];target=0.09;holdon
whiletarget<0.234
[x,y]=quadprog(2*h,[],-a,-target,ones(1,3),1,zeros(3,1));plot(target,y,'*b');
solution=[solution[target;x;y]];target=target+0.002;
endsolution
得到的投资回报率与风险之间的关系曲线如图3所示
图3投资回报率与风险之间的关系
从图3可以看出,投资回报率从22%附近开始,风险迅速增大。
2.2存在无风险资产时的投资组合模型
例6假设除了例5中的三种股票外,投资人还有一种无风险的投资方式,如购买国库券。
假设国库券的年收益率为5%,如何考虑例5中的问题?
(1)问题分析其实,无风险的投资方式(如国库券、银行存款等)是有风险的投资方式(如股票)
的一种特例,所以这就意味着例5中的模型仍然是适用的。
只不过无风险的投资方式的收益是固定的,所以方差(包括它与其它投资方式的收益的协方差)都是0。
(2)问题求解
假设国库券的投资方式记为D,则当希望回报率为15%时,对应的LINGO模型如下:
MODEL:
Title含有国库券的投资组合模型;SETS:
STOCKS1/A,B,C/:
mean1;
STST1(Stocks1,stocks1):
COV1;STOCKS/A,B,C,D/:
mean,X;
STST(Stocks,Stocks):
COV;ENDSETS
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2.5其它目标下的投资组合模型
前面介绍的模型中都是在可能获得的收益的数学期望满足一定最低要求的前提下,用可能获得的收益的方差来衡量投资风险,将其作为最小化的目标。
这种做法的合理性通常至少需要有两个基本假设:
(1)可能获得的收益的分布是对称的(如正态分布)。
因为这时未来收益高于设定的最低要求和低于设定的最低要求的数量和概率是一样的。
可惜的是,实际中这个假设往往难以验证。
(2)投资者对风险(或偏好)的效用函数是二次的,否则为什么只选择效益(随机变量)的二阶矩(方差)来衡量风险使之最小化,而不采用其它阶数的矩?
一般来说,投资者实际关心的通常是未来收益低于设定的最低要求的数量(即低多
少)和概率,也就是说更关心的是下侧风险(downsiderisk)。
所以,如果分布不
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是对称的,则采用收益的方差来衡量投资风险就不一定合适。
为了克服这个缺陷,可以
用收益低于最低要求的数量的均值(一阶矩)作为下侧风险的衡量依据,即作为最小化的目标。
此外,也可以采用收益低于最低要求的数量的二阶矩(即收益的半方差,semivariance)作为衡量投资风险的依据。
其实,半方差计算与方差计算类似,只是只有当收益低于最低要求的收益率时,才把两者之差的平方记入总风险,而对收益高于最低要求的收益率时的数据忽略不计。
这方面的具体模型这里就不再详细介绍了。
下面介绍一个与上面这些优化目标完全不同的投资组合模型,这个模型虽然很简单,但却会产生一些非常有趣的现象。
例9假设市场上只有两只股票A、B可供某个投资者购买,且该投资者对未来一
年的股票市场进行了仔细分析,认为市场只能出现两种可能的情况(1和2)。
此外,该投资者对每种情况出现的概率、每种情况出现时两只股票的增值情况都进行了预测和分析(见表7,可以看出股票A、B的均值和方差都是一样的)。
该投资者是一位非常保守的投资人,其投资目标是使两种情况下最小的收益最大化(也就是说,不管未来发生哪种情况,他都能至少获得这个收益)。
如何建立模型和求解?
(2)讨论
现在,假设有一位绝对可靠的朋友告诉该投资者一条重要信息:
如果情形1发生,股票B的增值将达到30%而不是表7中给出的20%。
那么,一般人的想法应该是增加对股票B的持有份额。
果真如此吗?
这个投资人如果将上面模型中的1.2改为1.3计算,将得到如下结果:
x1=0.5454545,x2=0.4545455,y=1.136364。
也就是说,应该减少对股票B的持有份额,增加对股票A的持有份额。
这真是叫人大吃一惊!
这相当于说:
有人告诉你有某只股票涨幅要增加了,你赶紧说:
那我马上把这只股票再卖点吧。
之所以出现如此奇怪的现象,就是由于这个例子中的目标的特殊性引起的:
我们可以看到新的解可以保证增值达到13.6364%,确实比原来的10%增加了。
最后需要指出:
我们上面所有关于投资组合的这些讨论基本上只是纯技术面的讨论,只利用历史数据来说话,认为历史数据中包含了引起股票涨跌的所有因素。
在实际股票市场上,影响股票涨跌的因素可能有很多(如政策变化、银行加息、能源短缺、技术进步等),未来不长时间内可能发生的一些重大事件很可能以前没有发生过,因此也不可能体现在历史数据中。
所以,进行投资选择前,还应该进行基本面分析,需要对未来的一些重要影响因素、重大事件发生的可能性及其对每种股票涨跌的影响进行预测和分析,最后综合利用历史数据和这些预测数据,决定投资组合。
如何将这些预测数据与历史数据一起使用,建立相应的投资组合模型,这里就不再更多地介绍了。
这方面的模型有很多,有兴趣的可以继续查阅相关的专业书籍和研究文献。
(1)问题分析
新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markovchain)。
很显然,上面给出的表实际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。
要分析新产品A未来的市场份额,就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
(2)模型的建立
记N为产品种数。
产品编号为i(i=1,2,L,N),转移概率矩阵的元素记为Tij,稳定状态下产品i的市场份额记为pi。
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3.2产品属性的效用函数
一般来讲,每种产品(如某种品牌的小汽车)都有不同方面的属性,例如价格、安全性、外观、保质期等。
在设计和销售新产品之前,了解顾客对每种属性的各个选项的偏好程度非常重要。
偏好程度可以用效用函数来表示,即某种属性的不同选项对顾客的价值(效用)。
不幸的是,让顾客直接精确地给出每个属性的效用函数一般是困难的,例如对于价格,一般的顾客当然会说越便宜越好,但很难确定10万元的价格和15万元的价格的效用具体是多少。
但是,对于具体的产品,产品的各个属性的具体选项配置都已经确定下来了,所以如果我们把一些具体的产品让顾客进行评估打分,顾客通常能比较容易地给出具体产品的效用。
那么,从这些具体产品的效用信息中,我们能否反过来估计每个属性中各个选项的效用呢?
这种方法通常称为联合分析(conjointanalysis)。
下面通过一个例子来说明。
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例11对某种牌号的小汽车,假设只考虑两种属性:
价格和安全气囊。
价格分为
12.9万元、9.9万元、7.9万元;安全气囊的配置为两个、一个、没有。
经过市场调查,顾客对该产品的不同配置的偏好程度(效用)如表9所示(表中的值(权重)越大表示顾客越喜欢)。
那么,价格和安全气囊的效用函数如何?
DATA:
CI=789346125;ENDDATA
@FOR(MM(i,j,k,l):
ERROR(i,j,k,l)>1+P(j)+Q(i)-(P(l)+Q(k)));[obj]MIN=@SUM(mm:
ERROR);
END
求解这个模型,得到
pH=0,pM=1,pL=4,q0=0,q1=2,q2=7
此时模型的最优值(误差和)为0,所以说明在这个效用函数下,虽然得到的产品权重(效用)与问题中给出的数据不完全相同,但产品的相对偏好顺序是完全一致的。
(3)模型的讨论
下面我们看看用最小二乘法确定pj和qi的结果是否与此相同。
此时的模型实际上就是一个简单的二次规划模型。
LINGO程序为
MODEL:
TITLE最小二乘法计算产品属性的效用函数;SETS:
PRICE/H,M,L/:
P;
SAFETY/2,1,0/:
Q;
M(safety,PRICE):
CI,ERROR,sort;ENDSETS
DATA:
CI=789346125;ENDDATA
@FOR(M(i,j):
sort(i,j)=p(j)+q(i);ERROR(i,j)=sort(i,j)-CI(i,j));MIN=@SUM(M:
@sqr(ERROR));
@FOR(M(i,j):
@FREE(ERROR));
!
@FOR(price:
@gin(P));
!
@FOR(safety:
@gin(Q));
END
上面模型中的sort变量表示的就是按照这里新计算的效用函数得到的不同配置下的产品的效用。
通过运行LINGO程序,可以看到,此时的效用函数的结果与前面得到的结果不同,但仔细察看SORT的结果可以发现,不同配置产品之间的相对顺序仍然是保持的。
不过,最小二乘法得到的产品的效用是一些带有小数的数,实际中使用不太方便。
如果希望得到整数解,只需要在模型中“END”语句前增加下面两行语句:
@FOR(price:
@gin(P));
@FOR(safety:
@gin(Q));求解结果中,SORT(1,M)=SORT(0,L)=4,这两个配置没能分辨出来。
综合这些讨论,结论还是我们在基本模型中给出的结果比较令人满意。
请读者思考
一下:
基本模型中并没有要求决策变量取整数,为什么正好是整数?
这是偶然的,还是必然的?
3.3机票的销售策略
例12某航空公司每天有三个航班服务于A,B,C,H四个城市,其中城市H是可
供转机使用的。
三个航班的出发地-目的地分别为AH,HB,HC,可搭乘旅客的最大数量分别为120人,100人,110人,机票的价格分头等舱和经济舱两类。
经过市场调
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习题二十九
1.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如表11所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其它证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
i)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元;ii)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);iii)所购证券的平均到期年限不超过5年。
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
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每月初你可以改变当前状态(即从长期投资账户转入现金账户,或从现金账户转入
长期投资账户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取转账金额5%的转账手续费。
请你建立优化模型,确定如果当月现金账户的状态位于i,是否应该改变当前状态,如何改变状态?
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- 关 键 词:
- 数学 建模 教材 29 第二 十九 经济 金融 中的 优化 问题