人教版初二数学下册1822菱形 含答案.docx
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人教版初二数学下册1822菱形含答案
18.2.2菱形
基础闯关全练
1.(2018陕西西安蓝田期末)如图18-2-2-1.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使平行四边形ABCD成为菱形的是()
A.AO=BO
B.AC=AD
C.AB=BC
D.OD=AC
2.(2018江苏淮安中考)如图18-2-2-2,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()
A.20
B.24
C.40
D.48
3.(2018浙江衢州中考)如图18-2-2-3,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60º,则花坛对角线AC的长等于()
A.6
米
B.6米
C.3
米
D.3米
4.(2017四川自贡中考)如图18-2-2-4,点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上,且CE=AF.求证:
∠ABF=∠CBE.
5.(2018重庆育才中学期末)如图18-2-2-5.菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E是DC边上的中点,连接OE,若OE=5,BD=12,则菱形的面积为()
A.96
B.48
C.192
D.24
6.如图18-2-2-6,下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是()
①AC⊥BD;②∠BAD=90º;③AB=BC;④AC=BD.
A.①③
B.②③
C.③④
D.①②③
7.在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,当△ABC再添加一个条件_______时,四边形AEDF为菱形(填写一个条件即可).
能力提升全练
1.(2018北京海淀期末)如图18-2-2-7,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13).则点C的坐标是()
A.(0,-5)
B.(0,-6)
C.(0,-7)
D.(0,-8)
2.如图18-2-2-8.菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:
①
;②四边形BFDE是菱形;③菱形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形,其中正确的有()
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
3.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将等宽红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,图18-2-2-9中红丝带重叠部分形成的图形一定是_______.
三年模拟全练
一、选择题
1.(2018安徽安庆宿松期末,6,★★☆)如图18-2-2-10.剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是()
A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B.AB=BC
C.AB=CD,AD=BC
D.∠DAB+∠BCD=180º
2.(2018山西百校联考一模,10,★☆☆)如图18-2-2-11,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120º.点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s.点F的速度为2cm/s,经过ts后,△DEF为等边三角形,则t的值为()
A.1
B.
C.
D.
二、填空题
3.(2018安徽桐城期末,11,★★☆)如图18-2-2-12.已知四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,要使四边形ABCD是菱形,应添加的条件是____________________.(只填写一个条件,不使用图形以外的字母)
4.(2018安徽合肥期中,14,★★☆)如图18-2-2-13,菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60º,点E为BC边上的中点,点P为对角线AC上一动点,则PB+PE的最小值为_______.
三、解答题
5.(2018苏州高新区期末,24,★★☆)如图18-2-2-14,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形纸片折叠,使点B与点D重合.求折痕GH的长.
五年中考全练
一、选择题
1.(2018湖北十堰中考,6,★☆☆)菱形不具备的性质是()
A.四条边都相等
B.对角线一定相等
C.是轴对称图形
D.是中心对称图形
2.(2018山东日照中考,1,★☆☆)如图18-2-2-15,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是()
A.AB=AD
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.∠ABO=∠CBO
3.(2018湖南湘潭中考,5,★☆☆)如图18-2-2-16,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
二、填空题
4.(2017山东菏泽中考,11,★☆☆)菱形ABCD中,∠A=60º,其周长为24cm,则菱形的面积为_____cm².
三、解答题
5.(2018山东泰安中考,23,★★☆)如图18-2-2-17,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:
△FCG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论:
(3)若∠B=30º,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.
核心素养全练
1.(2016河北保定莲池期末)如图18-2-2-18,矩形ABCD的面积为Scm²,对角线交于点O.以AB、AO为邻边作平行四边形AOC₁B,连接AC₁交BD于O₁,以AB、AO₁为邻边作平行四边形AO₁C₂B,……,依此类推,则平行四边形AOnCn+1B的面积为()
A.
B.
C.
D.
2.(2016陕西中考)如图18-2-2-19,在菱形ABCD中,∠ABC=60º,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为____________.
3.图18-2-2-20①是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图18-2-2-20②),依此规律继续拼下去,求第n个图形的周长.
18.2.2菱形
1.C根据菱形的定义可得,当AB=BC时ABCD是菱形,故C正确.
2.A由菱形的对角线互相垂直可以得:
对角线AC⊥BD于O,由勾股定理得AB²=A0²+B0²,又AO=
AC=3,BO=
BD=4.所以AB=5.所以菱形的周长为4×5=20.
3.A设AC、BD交于点O.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),∴∠BAD=60º,∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB=6米,∴OD=OB=
BD=3米,在Rt△AOB中,根据勾股定理得OA=
(米),则AC=20A=6
米,故选A.
4.证明∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠A=∠C,
又∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(S△S),∴∠ABF=∠CBE.
5.A因为四边形ABCD是菱形,则AC⊥BD,AC=2CO,DO=
BD=6.在Rt△DOC中,OE是斜边DC的中线,则DC=2OE=10,由勾股定理,得CO=
=8,则AC=16,所以,菱形的面积为
BD•AC=
×12×16=96.故选A.
6.A根据菱形的判定“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知①③正确.
7.答案AB=AC(答案不唯一)
解析根据DE∥AC,DF∥AB可得四边形AEDF是平行四边形,根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以添加AB=AC,这时根据等腰三角形的“三线合一”可知AD是顶角的角平分线,因此可得DE=DF.(答案不唯一)
1.A∵A(12,13),∴OD=12,AD=13,∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AD=13,在Rt△ODC中,DC=
=5,∴C(0,-5).故选A.
2.B∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD.
∵E为OA的中点,∴AE=OE,
∵S△ADE=
AE•OD,S△EOD=
OE•OD,
∴S△ADE=S△EOD,故①正确,
∵E、F分别是OA、OC的中点,
∵OE=
OA,OF=
OC,
∵OA=OC,∴OE=OF,又OB=OD,EF⊥BD,
∴四边形BFDE是菱形,故②正确.
S菱形ABCD=
AC•BD,易知EF=
AC,
∴S菱形ABCD=EF•BD,故③正确.
由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.
由题意得OE=OF,BD⊥EF,∴∠DOE=∠DOF=90º,
又OD=OD,∴△DOE≌△DOF,
∴DE=DF,∴△DEF为等腰三角形,
∴△DEF是轴对称图形,故⑤正确.
3.答案菱形
解析过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,由题意知AB∥CD,AD∥BC,AE=AF,∴四边形ABCD是平行四边形.∵SABCD=BC•AE=CD•AF,又AE=AF,∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形.
一、选择题
1.D∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形(对边相互平行的四边形是平行四边形).过点A分别作BC,CD边上的高为AE,AF,连接AC,则AE=AF(两纸条相同,纸条宽度相同),∴在平行四边形ABCD中.S△ABC=S△ACD,即BC•AE=CD•AF,∴BC=CD,AB=BC.故B中结论成立;∴平行四边形ABCD为菱形(邻边相等的平行四边形是菱形),∴∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD(菱形的对角相等),故A中结论成立;AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),故C中结论成立:
当四边形ABCD是矩形时,有∠DAB+∠BCD=180º.故D中结论不一定成立,故选D.
2.D连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120º,
∴AB=AD,∠ADB=∠DBC=
∠ADC=60º,
∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,
又∵△DEF是等边三角形,∴∠EDF=∠DEF=60º,
又∵∠ADB=60º,∴∠ADE=∠BDF,
在△ADE和△BDF中,
∴△ADF≌△BDF(ASA),∴AE=BF,
∵AE=tcm,CF=2tcm,∴BF=BC-CF=(4-2t)cm,
∴t=4-2t,∴t=
.故选D.
二、填空题
3.答案AB=BC(答案不唯一)
解析由已知条件AB=CD,AB∥CD,可得四边形ABCD是平行四边形,再加一个条件可以是一组邻边相等,如AB=BC;或对角线互相垂直,即AC⊥BD等.
4.答案
解析连接BD,交AC于O,连接DE交AC于P,
由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,∴PE+PB=PE+PD=DE、
即DE就是PE+PB的最小值.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DCB=∠DAB=60º,DC=BC=2,
∴△DCB是等边三角形,
∵BE=CE=1,
∴DE⊥BC(等腰三角形三线合一的性质).
在Rt△CDE中,DE=
.
即PB+PE的最小值为
.
三、解答题.
5.解析如图,由折叠得DH=BH,设BH=DH=x,则CH=8-x,
在Rt△CDH中,DH²=DC²+CH²,
即x²=6²+(8-x)²,解得x=
,
连接BD、BG,
由翻折的性质可得BG=DG,∠BHG=∠DHG,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠BHG=∠DGH,
∴∠DHC=∠DGH,
∴DH=DG,∴BH=DH=DG=BG,
∴四边形BHDG是菱形,
在RtABCD中,BD=
=10,
∵S菱形BHDG=
BD•GH=BH•CD,即
×10•GH=
×6,
解得GH=
.
一、选择题
1.B菱形的对角线一定互相垂直,但不一定相等,故选B.
2.B∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.
当AB=AD时,根据邻边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;
当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是菱形;
当AC⊥BD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵∠ABO=∠CBO.∴∠ABO=∠ADO.
∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.故选B.
3.B在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,由三角形中位线定理可得四边形EFGH的对边平行且相等,所以此四边形为平行四边形;又因为菱形的对角线互相垂直平分,可求得四边形EFGH的一角为90º,所以连接菱形各边中点得到的四边形是矩形,即四边形EFGH是矩形.故选B.
二、填空题
4.答案18
解析如图,连接AC、BD交于点O,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∵∠A=60º.△ABD是等边三角形,
又菱形ABCD的周长为24cm,
∴BD=AB=6cm,OD=3cm,
在Rt△AOD中,∴A0=
cm,
∴AC=2A0=6
cm,
S菱形ABCD=
AC•BD=
×6
×6=18
(cm²).
三、解答题
5.解析
(1)证明:
∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA,∵AG平分
∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.∵DE
⊥AC,∴FC⊥DE.∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90º,∠CGE=∠GED.
∵F是AD的中点,FC∥AE,∴H是ED的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.
(2)证明:
如图,过点G作GP⊥AB于点P,∴GC=GP,
∴△CAG≌△PAG,∴AC=AP.
由
(1)得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△GPD,∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四边形AEGF是菱形,理由如下:
∵∠B=30º,∴∠ADE=30º,∴AE=
AD,∴AE=AF=FG.
由
(1)得AE∥FG,∴四边形AECF是菱形.
1.C.∵O为矩形ABCD的对角线的交点,
∴平行四边形AOC₁B的边AB上的高等于BC的
,
∴平行四边形AOC₁B的面积为
Scm²,
∵平行四边形AOC₁B的对角线交于点O₁,
∴平行四边形A0₁C₂B的边AB上的高等于平行四边形AOC₁B的边AB上的高的
,
∴平行四边形AO1C2B的面积为
×
S=(
)²Scm²,……,
依此类推,平行四边形AOnCn+1B的面积为(
)ⁿ⁺¹Scm².故选C.
2.答案2
-2
解析连接PC,当等腰△PBC以∠PBC为顶角时,如图,点P在以B为圆心,BC长为半径的弧AC上,连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=
∠ABC=30º,∴AO=
AB=1,
∴BO=
∴BD=2BO=2
,
∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=2
-2.
当等腰△PBC以∠PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.
当等腰△PBC以∠BPC为顶角时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.
∵2
-2<2,
∴PD的最小值是2
-2.
3.解析下面是各图形的周长:
题图①的周长为4=2²;
题图②的周长为8=2³;
题图③的周长为16=2⁴;
……
所以第n个图形的周长为2ⁿ⁺¹.
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