版高中数学 第二章 概率章末复习课学案 苏教版选修23.docx
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版高中数学第二章概率章末复习课学案苏教版选修23
第二章概率
学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念,了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单的离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单的实际问题.
1.事件概率的求法
(1)条件概率的求法
①利用定义分别求出P(B)和P(AB),解得P(A|B)=.
②借助古典概型公式,先求事件B包含的基本事件数n,再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m,得P(A|B)=.
(2)相互独立事件的概率
若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
(3)n次独立重复试验
在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为
Pn(k)=Cpkqn-k,k=0,1,2,…,n,q=1-p.
2.随机变量的分布列
(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤
①明确随机变量X取哪些值;
②计算随机变量X取每一个值时的概率;
③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与组合知识.
(2)两种常见的分布列
①超几何分布
若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=,其中r=0,1,2,3,…,l,l=min(n,M),则称X服从超几何分布.
②二项分布
若随机变量X的分布列为P(X=k)=Cpkqn-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
3.离散型随机变量的均值与方差
(1)若离散型随机变量X的概率分布如下表:
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn,令μ=E(X),
则V(X)=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.
(2)当X~H(n,M,N)时,
E(X)=,V(X)=.
(3)当X~B(n,p)时,E(X)=np,V(X)=np(1-p).
类型一 条件概率的求法
例1 口袋中有2个白球和4个红球,现从中随机不放回地连续抽取两次,每次抽取1个,则:
(1)第一次取出的是红球的概率是多少?
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少?
(3)在第一次取出红球的条件下,第二次取出的是红球的概率是多少?
反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时,必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地,计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)=.
(2)P(B|A)=.
在古典概型下,n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数;n(A)是指事件A发生的基本事件个数.
跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷出6点,问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.
类型二 互斥、对立、独立事件的概率
例2 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的概率分布和均值.
反思与感悟 在求解此类问题中,主要运用对立事件、独立事件的概率公式
(1)P(A)=1-P().
(2)若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
(3)若事件A,B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B).
跟踪训练2 红队队员甲,乙,丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率;
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求P(ξ≤1).
类型三 离散型随机变量的概率分布、均值和方差
例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字),
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的概率分布;
(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),V(ξ).
反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤
跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的概率分布及均值.
类型四 概率的实际应用
例4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8,回答第三个问题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值;
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.
反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是:
整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件,易于解题,这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想.
跟踪训练4 某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染,对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的概率分布.
1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的点数不超过4,则出现的点数是奇数的概率为________.
2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”,事件B为“取到的2道题中一题为理科题,另一题为文科题”,则P(B|A)=________.
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=C()k()n-k,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,则V(ξ)的值为________.
4.设X为随机变量,X~B(n,),若X的方差为V(X)=,则P(X=2)=________.
5.盒子中有5个球,其中3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求取出白球的均值和方差.
1.条件概率的两个求解策略
(1)定义法:
计算P(A),P(B),P(AB),利用P(A|B)=求解.
(2)缩小样本空间法:
利用P(B|A)=求解.
其中
(2)常用于古典概型的概率计算问题.
2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.
(3)公式“P(A∪B)=1-P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.
3.求解实际问题的均值与方差的解题思路:
先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布,同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.
答案精析
题型探究
例1 解 记事件A:
第一次取出的球是红球;事件B:
第二次取出的球是红球.
(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次,每次抽取1个,所有基本事件共6×5个;第一次取出的球是红球,第二次是其余5个球中的任一个,符合条件的事件有4×5个,
所以P(A)==.
(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次,每次抽取1个,所有基本事件共6×5个;第一次和第二次都取出的球是红球,相当于取两个球,都是红球,符合条件的事件有4×3个,所以P(AB)==.
(3)利用条件概率的计算公式,
可得P(B|A)===.
跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A,“第一颗骰子掷出6点”为事件B.
方法一 P(A|B)===.
方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共6种,∴n(B)=6.
“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4),(6,5),(6,6),共3种,即n(AB)=3.
∴P(A|B)===.
例2 解 记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知
P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,
于是P()=P()P()=×
=,
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X=0)=P()=×
=,
P(X=100)=P(F)=×=
=,
P(X=120)=P(E)=×=,
P(X=220)=P(EF)=×=
=,
故所求的概率分布如下表:
X
0
100
120
220
P
E(X)=0×+100×+120×+220×=140.
跟踪训练2 解
(1)设“甲胜A”为事件D,“乙胜B”为事件E,“丙胜C”为事件F,则,,分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5.由对立事件的概率公式知,P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE,DF,EF,DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.
(2)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=P()=0.4×0.5×0.5
=0.1,
P(ξ=1)=P(F)+P(E)+
P(D)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,
所以P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)
=0.45.
例3 解
(1)由已知,随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0,
P(η0=1)=,P(η0=2)=,
P(η0=3)=,
所以P(η=2)=×=,
P(η=3)=2××=,
P(η=4)=2××+×=,
P(η=5)=2××=,
P(η=6)=×=.
故η的概率分布为
η
2
3
4
5
6
P
(2)由已知,满足条件的一次投掷的点数和取值为6,设某次发生的概率为p,由
(1)知,p=.
因为随机
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