求递推数列通项公式的十种策略例析.docx
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求递推数列通项公式的十种策略例析
求递推数列通项公式的十种策略例析
求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。
笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略,它们是:
公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。
仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式
例1已知数列{an}满足an12an32n,a12,求数列{an}的通项公式。
a1an3an1an3n,解:
an12an32n两边除以2n1,得n,则n1nn1222222
aa231故数列{n}是以1为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,2n2122
331n{a},所以数列的通项公式为a(n)2。
nn22n22
a1an3,说明评注:
本题解题的关键是把递推关系式an12an32n转化为n
2n12n2
ana31(n1)数列{n是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出nn222
数列{an}的通项公式。
得an1(n1)
二、利用累加法求通项公式
,a11,求数列{an}的通项公式。
例2已知数列{an}满足an1an2n1
解:
由an1an2n1
得an1an2n1
则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1
[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)1
2[(n1)(n2)21](n1)1
(n1)n(n1)12
所以数列{an}的通项公式为ann2
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1,进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列{an}的通项公2式。
例3已知数列{an}满足an1an23n1,a13,求数列{an}的通项公式。
解:
由an1an23n1
得an1an23n1
则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1
(23n11)(23n21)(2321)(2311)3
2(3n13n233)(n1)321
1
33n
n23nn1所以an213
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1,进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列{an}的通项公式。
例4已知数列{an}满足an13an23n1,a13,求数列{an}的通项公式。
解:
an13an23n1两边除以3n1,得
an1an21,3n13n33n1
an1an21则n,313n33n1
ananan1aan2an2an3a2a1a1(n)(n1n)()()故n2n2n321aa33333333n1n1
212121213(n)(n1)(n2)
(2)333333333
2(n1)11111(nnn1n22)1333333
1(13n1)nan2(n1)32n11因此n,1n31332323
则an211n3n3n322
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1转化为an1an2anan1an1an2an2an31()()()+…,进而求出3n13n33n13n3n13n13n23n23n3a2a1aan1)1,即得数列{n的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。
+(23333
三、利用累乘法求通项公式
例5已知数列{an}满足an12(n1)5nan,a13,求数列{an}的通项公式。
a解:
因为an12(n1)5nan,a13,所以an0,则n12(n1)5n,an
则anan
an1an1an2a3a2a2a1a1
[2(n11)5n1][2(n21)5n2][2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)32]5(n1)(n2)213
所以数列{an}的通项公式为
an32n1n(n1)52n!
an12(n1)5n,进an评注:
本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为
而求出aaanan132a1,即得数列{an}的通项公式。
an1an2a2a1
2
例6(2004年全国15题)已知数列{an}满足a11,ana12a23a3(n1)
1,n1(n1)an1(n2),则{an}的通项ann!
,n22
解:
因为ana12a23a3(n1)an1(n2)①
所以an1a12a23a3(n1)an1nan②
所以②式-①式得an1annan
则an1(n1)an(n2)a则n1n1(n2)an
aaa所以annn13a2an1an2a2
n!
③a22
由ana12a23a3(n1)an1(n2),取n=2得a2a12a2,则a2a1,又知a11,则a21,代入③得
n!
an1345n。
2
a评注:
本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为n1n1(n≥an
aaa2),进而求出nn13a2,从而可得当n≥2时an的表达式,最后再求出数列{an}an1an2a2[n(n1)43]a2
的通项公式。
四、利用待定系数法求通项公式
例7已知数列{an}满足an12an35n,a16,求数列{an}的通项公式。
解:
设an1x5n12(anx5n)④
将an12an35n代入④式,得2an35nx5n12an2x5n,等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n,得3x52x,则x=-1,代入④式,
得an15n12(an5n)
1⑤n由a15651≠0及⑤式,得an50,则an15n1
an5n2,则数列{an5n}
是以a1511为首项,以2为公比的等比数列,则an5n12n1,故an2n15n。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5n),从而可知数列{an5n}是等比数列,进而求出数列{an5n}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
例8已知数列{an}满足an13an52n4,a11,求数列{an}的通项公式。
解:
设an1x2n1y3(anx2ny)
将an13an52n4代入⑥式,得⑥
3an52n4x2n1y3(anx2ny)
3
整理得(52x)2n4y3x2n3y。
52x3xx5令,则,代入⑥式,得4y3yy2
⑦an152n123(an52n2)
由a15212112130及⑦式,
得an5220,则nan152n12
an522n3,
故数列{an52n2}是以a1521211213为首项,以3为公比的等比数列,因此an52n2133n1,则an133n152n2。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列{an52n2}是等比数列,进而求出数列{an52n2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。
例9已知数列{an}满足an12an3n24n5,a11,求数列{an}的通项公式。
解:
设an1x(n1)2y(n1)z
2(anxn2ynz)⑧
将an12an3n24n5代入⑧式,得
2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz),则
2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z2
等式两边消去2an,得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z,
x33x2x则得方程组2xy42y,则y10,代入⑧式,得
z18xyz52z
an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)由a131210118131320及⑨式,得⑨an3n210n180则an13(n1)210(n1)18
an3n210n182,故数列{an3n210n18}为以
a13121011813132为首项,以2为公比的等比数列,因此an3n210n18322n1,则an2n43n210n18。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为an13(n1)210(n1)182(an3n210n18),从而可知数列{an3n210n18}是等比数列,进而求出数列{an3n210n18}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
五、利用对数变换法求通项公式
例10已知数列{an}满足an123na5
n,a17,求数列{an}的通项公式。
4
n5
解:
因为an123na5n,a17,所以an0,an10。
在an123an式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩
设lgan1x(n1)y5(lganxny)
11○
11式,得5lgannlg3lg2x(n1)y5(lganxny),两边消去将⑩式代入○
5lgan并整理,得(lg3x)nxylg25xn5y,则
lg3
xlg3x5x4,故
lg3lg2xylg25yy164lg3lg3lg2
11式,得lga代入○(n1)n1
4164
lg3lg3lg2
12○5(lgann)
4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2
12式,由lga11lg710及○
41644164lg3lg3lg2
得lgann0,
4164lg3lg3lg2
lgan1(n1)
5,则
lg3lg3lg2
lgann
4164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
所以数列{lgan为首项,以5为公比的n是以lg7
41644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2n1
等比数列,则lgan,因此n(lg7)5
41644164
111
lg3lg3lg2n1lg3lg3lg264(lg7lg3lg3lg24)5n1lgan(lg7)5n4164464
n
lg34
116lg3
1
lg24
1
[lg(734
1163
1
24
)]5
n1
n
lg(3411631
24
)
1
lg(73411631
24
)5n1
则
n
lg(341316
n1
124)
5n1n
lg(75n1345n11
24。
5n113165n1124)
5n4n1
5n1
lg(7316
5n11
24)
,
an75
5n4n1316
评注:
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123na5n转化为
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
(n1)5(lgann),从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2
{lgann是等比数列,进而求出数列{lgann的通项
41644164
公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
lgan1
六、利用迭代法求通项公式
(n1)2
例11已知数列{an}满足an1a3,a15,求数列{an}的通项公式。
n(n1)2解:
因为an1a3,所以n
n
n
n2ana3n1
n1
(n1)2
[a3n2
n2
]3n2
n1
(n1)n2
a3n2(n2)2[a3n3
32
(n2)(n1)
n3
]3
2
(n1)n2(n2)(n1)
(n2)(n1)n2a3n3
(n3)(n2)(n1)
3a1
n1
23(n2)(n1)n212(n3)(n2)(n1)
n(n1)
3n1n!
2a1
2
n(n1)
又a15,所以数列{an}的通项公式为an53
n1
n!
2
2
。
评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式
lgan1(n1)2n
3(n1)2n,再由两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan,即an1a3n
lgan
lga3lga2lganlgan13n1n!
2
累乘法可推知lganlga1lg5
lgan1lgan2lga2lga1an5
3n1n!
2
n(n1)
2
n(n1)2
,从而
七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列{an}满足an1an公式。
8(n1)8
,a,求数列{an}的通项1
9(2n1)2(2n3)2
8(n1)8
及,得a1
9(2n1)2(2n3)2
8(11)
a2a1
(211)2(213)288224
992525
8(21)
a3a2
(221)2(223)2
24834825254949
8(31)
a4a3
(231)2(233)2
48848049498181
(2n1)21
由此可猜测an,往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n1)2
解:
由an1an
(211)218
(1)当n=1时,a1,所以等式成立。
9(211)2
(2k1)21
(2)假设当n=k时等式成立,即ak,则当nk1时,2
(2k1)
8(k1)
ak1ak22
(2k1)(2k3)
(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)
(2k1)2(2k3)2
(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)
(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2
(2k1)2(2k3)2(2k3)21[2(k1)1]21
(2k3)2[2(k1)1]2
由此可知,当n=k+1时等式也成立。
根据
(1)
(2)可知,等式对任何nN*
评注:
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、利用换元法求通项公式例13已知数列{an}满足an1公式。
1
(14an24an),a11,求数列{an}的通项16
12
(bn1)24
121
故an1(bn11),代入an1(14an24an)得
2416
1211(bn11)[14(b2n1)bn]241624
2
即4b2n1(bn3)
解:
令bn24an,则an
因为bn24an0,故bn124an10则2bn1bn3,即bn1可化为bn13
13
bn,22
1
(bn3),2
1
为公比的等比2
1111
数列,因此bn32()n1()n2,则bn()n2+3,即24an()n23,得
2222
2111an()n()n。
3423
评注:
本题解题的关键是通过将24an的换元为bn,使得所给递推关系式转化
所以{bn3}是以b1324a1324132为首项,以
13
bn1bn形式,从而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公
22
式,最后再求出数列{an}的通项公式。
九、利用不动点法求通项公式
例14已知数列{an}满足an1解:
令x
21an24
,a14,求数列{an}的通项公式。
4an1
21x2421x24
,得4x220x240,则x12,x23是函数f(x)
4x14x1
21an24
2
an124an121an242(4an1)13an2613
的两个不动点。
因为。
an1321an2421an243(4an1)9an279
3
4an1
an2a2a24213
}是以12为首项,以为公比的等比数列,故,所以数列{n
an3an3a13439an2113
3。
2()n1,则an
13n1an392()19
21x2421x24
评注:
本题解题的关键是先求出函数f(x)的不动点,即方程x的
4x14x1
a213an2a2
为等比数两个根x12,x23,进而可推出n1,从而可知数列n
an139an3an3
a2
}的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。
列,再求出数列{n
an3
例15已知数列{an}满足an1解:
令x
7an2
,a12,求数列{an}的通项公式。
2an3
7x23x1
,得2x24x20,则x=1是函数f(x)的不动点。
2x34x77a25a5
1n因为an11n,所以
2an32an3
35an
2an32122(12)12,所以数列1}是以
an115an55an15an1an1an15111222n8
1为首项,1(n1),以为公差的等差数列,则故an。
a1121an1552n3
7x23x1
评注:
本题解题的关键是先求出函数f(x)的不动点,即方程x的根
2x34x7
1121
,从而可知数列{为等差数列,再求出数列x1,进而可推出
an11an15an1
1的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。
an1
十、利用特征根法求通项公式
例16已知数列{an}满足an13anan1(n2),a1a21,求数列{an}的通项公式。
解:
an13anan1(n2)的相应特征方程为2310,解之求特征根是
1
35353535
,2c2,所以anc1。
2222
由初始值a1a21,得方程组
351351
)c2()1c1(
22
3523521c()c()1222
525
c15求得
525c25
52535n5235n
()()。
从而an
5252
评注:
本题解题的关键是先求出特征方程的根。
再由初始值确定出c1,c2,从而可得数列{an}的通项公式。
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