(5)无奇偶性。
但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称,y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称,y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。
(6)有特殊点(1,0),(a,1)
(7)抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1),
f(x·y)=f(x)+f(y),
f(x/y)=f(x)-f(y)
例题讲解
1.若f(x)=(ax/(ax+√a)),求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)
2.5log25等于:
()
(A)1/2(B)(1/5)10log25(C)10log45(D)10log52
3.计算
4.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。
5.已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是()
(A)-5(B)-3(C)3(D)随a,b的取值而定
6.已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)
(1)求反函数y=f-1(x)
(2)判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数
7.已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域
(2)判断f(x)的奇偶性并给以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x取值范围;
(4)求它的反函数f-1(x)
8.22003的十进制表示是个P位数,52003的十进位表示是个q位数,则p+q= 。
9.已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根,求实数a的范围。
10.设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使y为负值的x的取值范围
课后练习
1.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么()
(A)(1/c)=(1/a)+(1/b),(B)(2/c)=(2/a)+(1/b),(C)(1/c)=(2/a)+(2/b),(D)(2/c)=(1/a)+(2/b)
2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)()
(A)是奇函数(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数
3.若f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是()
(A)(0,+∞)(B)(5,+∞)(C)(8,+∞)(D)(-∞,+∞)
4.求值:
6lg40×5lg36
5.已知m,n为正整数,a>0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。
求m,n
6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间()
(A)(-2,-1)(B)(1,2)(C)(-3,-2)(D)(2,3)
7.计算:
(1)lg20+log10025
(2)lg5·lg20+(lg2)2
8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则log8(x2+y2)= 。
9.若x∈(1,10),则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是:
(A)lg2x<lgx2<lglgx(B)lg2x<lglgx<lgx2
(C)lgx2<lg2x<lglgx(D)lglgx<lg2x<lgx2
10.计算:
11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x∈N}的真子集的个数是。
12.求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。
13.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。
14.解方程8log6(x2-7x+15)=5log68
15.设有关于x的不等式lg(∣x+3∣+∣x-7∣)>a
(1)当a=1时,解这个不等式;
(2)当a为何值时,这个不等式的解集为R?
课后练习答案
1.(B);2.(A);3.(B);4.216;5.m=2,n=2;
6.(D);7.
(1)2,
(2)1;8.1/3;9.(D);
10.1/2;11.290-1;12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞)
13.当a>1时,x<-2或x>3,当0<a<1时,-2<x<3;
14.x1=2,x2=5;
15.
(1)x<-3或x>7,
(2)a<1
例题答案:
1. 分析:
和式中共有1000项,显然逐项相加是不可取的。
需找出f(x)的结构特征,发现规律,注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1,
而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加:
原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500
说明:
观察比较,发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。
(1)取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题:
设f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。
(2)上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+3)),和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).
(3)设f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前n项和的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。
这就是2003年春季上海高考数学第12题。
2.解:
∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25
∴选(B)
说明:
这里用到了对数恒等式:
alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)
这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。
3.解法1:
先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。
解法2:
利用算术根基本性质对真数作变形,有
说明:
乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。
4.解:
对于两个正数的大小,作商与1比较是常用的方法,记122003=a>0,则有
((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))>1
故得:
((122002+1)/(122003+1))>((122003+1)/(122004+1))
5. 解:
设lglog310=t,则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t
而f(t)+f(-t)=
∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3
说明:
由对数换底公式可推出logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1,即logab=(1/logba),因而lglog310与lglg3是一对相反数。
设中的部分,则g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0。
这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解,关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。
6.分析:
(1)求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来,然后再对调x,y即得到y=f-1(x);
(2)判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当X∈R时是否有
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f