三角形证明题练习及答案.docx
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三角形证明题练习及答案
三角形证明题练习2
1已知如图,△ABC◎△ADE,/B=30°/E=20°/BAE=105°求/BAC的度数./BAC=
3.如图,点E在厶ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若/仁/2=/3,AC=AE,请说明△ABC◎△ADE的道理.
4.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD.试说明下列结论成立的理由.
(1)/DBH=/DAC;
(2)
△BDHADC.
6.如图,AE是/BAC的平分线,AB=AC,D是AE反向延长线的一点,则△ABD与厶ACD全等吗?
为什么?
7.如图所示,A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC,且AE//BC.
AD=AE,BE与CD相交于O,△ABE与厶ACD全等吗?
说明你的理由.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.
11.已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC◎△FDE,应增加什么条件?
并根据你所增加的条件证明:
△ABCFDE.
12.如图,已知AB=AC,BD=CE,请说明△ABE△ACD.
13.如图,△ABC中,/ACB=90°AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角a(0° 14.如图,AB//DE,AC//DF,BE=CF.求证: △ABCDEF. 16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形(如图 2),B、C、E三点在同一条直线上,连接DC. 求证: △ABEACD. 17. 如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形,用符号么”表示,并选择一对加以证明. 18.如图,已知/仁/2,/3=/4,EC=AD. (1)求证: △ABD◎△EBC. (2) 你可以从中得出哪些结论? 请写出两个. 19.等边△ABC边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE丄BC于点E,过点E作EF丄AC于点F. (1)若AD=2,求AF的长; (2)求当AD取何值时,DE=EF. 20.巳知: 如图,AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点,AD=AE,BE与CD相交于G. (I)问图中有多少对全等三角形? 并将它们写出来. (n)请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根据所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低) 21.已知: 如图,AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF//BC,交CD于F, (1)根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等? 并加以证明. (2)EF平分/DEC吗? 为什么? (3) 25.如图,D是厶ABC的边BC的中点,CE//AB,E在AD的延长线上.试证明: △ABD◎△ECD. 26.如图,已知AB=CD,/B=/C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接0E. (1)求证: △A0B◎△D0C; (2)求/AE0的度数. (3) 28.如图: 在厶ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG. (1)求证: △ABD◎△GCA; (2)请你确定△ADG的形状,并证明你的结论. (3) 30.如图,在△ABC中,7ABC=90°BE丄AC于点E,点F在线段BE上,71=72,点D在线段EC上,给出两个条件: ①DF//BC;②BF=DF•请你从中选择一个作为条件,证明: △AFD◎△AFB. 31. 求证: △BEABDC. 如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,AB=BC,BD=BE,EA=DC, 32. •Z1+Z2=90° •••ZACB=90°(已知), •Z3+Z2=90° ZADC=ZE 34.如图,点E在厶ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若/仁/2=/3,AC=AE.试说明下列结论正确的理由: (1)/C=/E; 35.如图,在Rt△ABC中,/ACB=90°AC=BC,D是斜边AB上的一点,AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延长 36.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE//CA交AB于E,点P是线段AC上的一动点,连接PE.探究: 当动点P运动到AC边上什么位置时,△APEEDB? 请你画出图形并证明△APEEDB. 37.已知: 如图,AD//BC,AD=BC,E为BC上一点,且AE=AB.求证: (1)ZDAE=/B; (2)△ABCEAD. 41.如图所示,在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM,猜想PM与HN有什么关系? 试说明理由. 42.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE丄GF,交AB于点E,连接EG. (1)求证: BG=CF; (2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论. 43.如图,在△ABC中,/ACB=90°AC=BC,BE丄CE于E,AD丄CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长. 44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB=CD,BC=AD,请说明: /A=/C的道理,小明动 手测量了一下,发现/A确实与/C相等,但他不能说明其中的道理,你能帮助他说明这个道理吗? 试试看. CE丄AD于E,BF丄AD,交AD的延长线于F.求证: CE=BF. 46.如图,已知AB//CD,AD//BC,F在DC的延长线上,AM=CF,FM交DA的延长线上于E.交BC于N,试说明: AE=CN. 47.已知: 如图,△ABC中,/C=90°CM丄AB于M,AT平分/BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证: CT=BE. AC=AE,/BAE=/DAC./B与/D相等吗? 请你说明理由. 49.D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=EF,AE=CE,求证: AB//CF. 50.如图,M是厶ABC的边BC上一点,BE//CF,且BE=CF,求证: AM是厶ABC的中线. 51.如图,在△ABC中,AC丄BC,AC=BC,D为AB上一点,AF丄CD交于CD的延长线于点F,BE丄CD于点E,求证: EF=CF-AF. 52.如图,在△ABC中,/BAC=90°AB=AC,若MN是经过点A的直线,BD丄MN于D,EC丄MN于E. (1)求证: BD=AE; 53. (2)若将MN绕点A旋转,使MN与BC相交于点O,其他条件都不变,BD与AE边相等吗? 为什么? 54.在△ABC中,/ACB=90°D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等.试说明AE=DF的理 55.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD平分/BAC,在AB上截取AE=AC,连接DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长. 57.如图△ABC中,点D在AC上,E在AB上,且AB=AC,BC=CD,AD=DE=BE. (1)求证△BCE◎△DCE; (2)求/EDC的度数. BD=2CE. 58. 已知: /A=90°AB=AC,BD平分/ABC,CE丄BD,垂足为E.求证: 59.如图,已知: AB=CD,AD=BC,过BD上一点0的直线分别交DA、BC的延长线于E、F. (1)求证: /E=ZF; (2)0E与OF相等吗? 若相等请证明,若不相等,需添加什么条件就能证得它们相等? 请写出并证明你的想法. 60.如下图,AD是/BAC的平分线, DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F,且BD=DC.求证: BE=CF. 参考答案: 1.•/△ABC◎△ADE且/B我E, •••/C=/E,/B=/D; •••/BAC=180B-/C=180°-30°-20°130° 2.•/AB//CD,AD//BC, •/ABD=/CDB、/ADB=/CBD.又BD=DB, •△ABD◎△CDB(ASA). 3.△ADF与厶AEF中, •//2=/3,/AFE=/CFD, •/E=/C. •//1=/2, •/BAC=/DAE. -AC=AE, •△ABC◎△ADE. 4. (1)•/ZBHD=/AHE,/BDH=/AEH=90 •ZDBH+ZBHD=ZHAE+ZAHE=90° •ZDBH=ZHAE •/ZHAE=ZDAC •ZDBH=ZDAC; (2)•/AD丄BC •ZADB=ZADC 在厶BDH与厶ADC中, CZADB=ZADCdBD [Zdbh=Zdac •△BDH◎△ADC. 5.•/DE丄AB,DF丄AC, •△DBE*DCF是直角三角形, •/BD=CD,DE=DF, •Rt△DBE也Rt△DCF(HL), •ZB=ZC, •AB=AC. 6.•/AE是ZBAC的平分线, •ZBAE=ZCAE; •180°-ZBAE=180。 -ZCAE,即ZDAB=ZDAC; 又•••AB=AC,AD=AD, •在△ABD和厶ACD中, AB=AC ZDAB^ZDAC AD=AD •••△ABD◎△ACD(SAS) 7.•/AE//BC,•••/B=/C. •/AF=BD,AE=BC, •△AEF◎△BCD(SAS). 8△ABE与厶ACD全等. 理由: •/AB=AC,/A=/A(公共角),AE=AD, •△ABEACD. 9.图中的全等三角形有: △ABD◎△ACD, △ABE◎△ACE, △BDE◎△CDE. 理由: •/D是BC的中点, •BD=DC,AB=AC,AD=AD •△ABD◎△ACD(SSS); •/AE=AE,/BAE=/CAE,AB=AC, •△ABE◎△ACE(SAS); •/BE=CE,BD=DC,DE=DE, •••△BDE也厶CDE(SSS). 10.: •//仁/2,•/ACB=/DCE,在厶ABC和厶DEC中, CCA=CD ZACB^ZDCE, BC=EC •△ABC也厶DEC(SAS) Qfe (SSS). 11•增加AB=DF.在△ABC和厶FDE中,"氏二DE•△ABC△FDE bAB=DF 12. (SAS). •/AB=AC,BD=CE,•AD=AE.又t/A=/A,•△ABE◎△ACD 13.△CBD也厶CA1F证明如下: •/AC=BC, •/A=/ABC. -△ABC绕点C逆时针旋转角a(0° •/A1=/A,A1C=AC,/ACA1=ZBCB1=a. •/A仁/ABC(1分),A1C=BC. •△CBD△CA1F(ASA) 14.•/AB//DE,AC//DF, •••/B=/DEF,/F=ZACB. •/BE=CF, •BE+CE=CF+EC. •BC=EF. •△ABC◎△DEF(ASA). 15.•/AB=AC,AD=AE,/DAB=/EAC, •/DAC=/AEB, •△ACD◎△ABE, •/D=/E, 又AD=AE,/DAB=/EAC, •△ADM也△AEN 16.•/△ABC和厶ADE均为等腰直角三角形, •AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90, 即/BAC+/CAE=/DAE+/CAE, •/BAE=/CAD, [ AB=AC AE=AD •△ABE◎△ACD 17. 答: △BDE◎△FEC,△BCE◎△FDC,△ABE◎△ACF;证明: (以△BDE◎△FEC为例) •••△ABC是等边三角形, •BC=AC,/ACB=60° •/CD=CE, •△EDC是等边三角形, •/EDC=/DEC=60° •/BDE=/FEC=120° •/CD=CE, •BC-CD=AC-CE, •BD=AE, 又•/EF=AE, •BD=FE, 在厶BDE与厶FEC中, •△BDE◎△FEC(SAS). 18. (1)证明如下: •••/ABD=/1+/EBC,/CBE=/2+/EBC,/仁/2.•••/ABD=/CBE. 在厶ABD和△EBC中 孑匸乙 ZABI>ZCBE I.EL二AD •△ABDEBC(AAS); 19. (1)•/AB=8,AD=2 •BD=AB-AD=6在Rt△BDE中 /BDE=90。 -/B=30° •BE=」BD=3 2 •CE=BC-BE=5在Rt△CFE中 /CEF=90°-/C=30° =5 •AF=AC-FC==; 2 (2)在△BDE和厶EFC中 rZBED=ZCFE=90' ZB^ZC, [DE=EP •△BDE◎△CFE(AAS) •BE=CF •BE=CF=』EC 2 •BE^BC=1 •BD=2BE=— 3 •AD=AB-BD=£ 3 •AD=^时,DE=EF 20. (1)图中全等的三角形有四对,分别为: ①△DBG◎△EGC,②△ADG◎△AEG,③△ABG◎△ACG, ④△ABE也△ACD;(4分) (II)•/AB=AC,AD=AE,/A是公共角, •△ABE◎△ACD(SAS)④; •/AB=AC,AD=AE, •••AB-AD=AC-AE,即BD=CE;由④得/B=/C, 又•//DGB=/EGC(对顶角相等),BD=CE(已证), •••△DBG◎△EGC(AAS)①;由①得BG=CG,由④得/B=/C,又•••AB=AC, •△ABG◎△ACG(SAS)③; 由①得BG=CG,且AD=AE,AG为公共边, •△ADG◎△AEG(SSS)②; 21. (1)△ABC◎△DCB. 证明: •/AB=CD,AC=BD,BC=CB, •△ABC◎△DCB.(SSS) (2)EF平分/DEC.理由: •/EF//BC, •/DEF=/EBC,/FEC=/ECB;由 (1)知: /EBC=/ECB; •/DEF=/FEC; •FE平分/DEC 22.△ABC◎△DCB. 理由如下: •/ZABC=/DCB,/1=/2, •ZDBC=ZACB. •/BC=CB, •△ABC也厶DCB 23. (1)•/BF=DE, •BF+EF=DE+EF.即BE=DF. 在厶DFC和厶BEA中, rBE=DF(已证) •••NbZd(已知), AB=CD(已知) •△DFCBEA(SAS). (2)•/△DFC也厶BEA, •CF=AE,ZCFD=ZAEB.•••在△AFE与厶CEF中, fCFW •••ZCFD二 IFB=EF •△AFE也厶CEF(SAS) 24.△ABF与厶DFG中,ZBAF=ZBGD,ZBFA=ZDFG, •ZB=ZD, •/ZBAF=ZEAC, •ZBAE=ZDAC, •/AC=AE,/BAE=/DAC,/B=/D,: △BAE◎△DAC. 答案: 有.△BAE◎△DAC 25.•/CE//AB, •••/ABD=/ECD. rZABD=ZECD(已证) 在厶ABD和厶ECD中,「BD=CE〔中点定义) X^B=ZBDC(对顶角) •••△ABDECD(ASA) 26. (1)证明: 在△AOB和厶COD中 rzB=zc •/ZA0B=ZD0C [amt •••△AOBCOD(AAS) (2)解: •/△AOBCOD, •AO=DO •/E是AD的中点 •OE丄AD •/AEO=90° 27.1)证明: •/AB//DE, •/A=/D. •/AB=DE,AF=DC, •△ABF◎△DEC. (2)解: 全等三角形有: △ABC和厶DEF;△CBF和厶FEC28. 证明: (1)•/BE、CF分别是AC、AB两边上的高, •/AFC=/AEB=90°(垂直定义), •/ACG=/DBA(同角的余角相等), 又•/BD=CA,AB=GC, •△ABDGCA; (2)连接DG,则△ADG是等腰三角形. 证明如下: •/△ABDGCA, •AG=AD, •△ADG是等腰三角形. 占 29. 解: •••/4+/6=180。 -/3,/5+/6=180。 -/2,/3=/2,•••/4+/6=/5+/6, •••/4=/5, •••在△ADE和厶CFD中, : Z1=Z3 彳Z4=Z5, [ED=FD •△ADECFD(AAS). 30.①DF//BC.证明: •/BE丄AC, •/BEC=90° •/C+/CBE=90° •//ABC=90° •/ABF+/CBE=90° •/C=/ABF, •/DF//BC, •/C=/ADF, •/ABF=/ADF, 在厶AFD和厶AFB中 : Z1=Z2 4ZABf=ZADF ;AF=AF •△AFD也厶AFB(AAS). ( AB=CB BE二BD,故△BEA也△BDC(SSS). AE=CD 33.如图,在△ABC中,/ACB=90°,AC=BC,BE丄CE于点E,AD丄CE于点D.请说明△ADC◎△CEB的理由. 解: •/BE丄CE于点E(已知), •/E=90°(垂直的意义), 同理/ADC=90° •/E=/ADC(等量代换). 在厶ADC中, •//1+/2+ZADC=180 (三角形的内角和等于180°, •••Z1+Z2=90°(等式的性质). •••/ACB=90°(已知), •/3+/2=90° •/仁/3(同角的余角相等). [ ZADC=ZE AC=CB 34. (1)△ABF◎△DEC,△ABC◎△DEF,△BCF△EFC;(2分) (2)△ABF◎△DEC, 证明: •/AB//DE, •ZA=/D,(3分) rAB=DE 在厶ABF和厶DEC中ZA=ZD,(4分) laf=dc •△ABF也厶DEC.(5分) 35. (1)△ADF与厶AEF中,•/Z2=Z3,ZAFE=ZCFD,•ZC=ZE; (2)•/Z仁Z2, •ZBAC=ZDAE. •/AC=AE, 又ZC=ZE, •△ABC◎△ADE. 36.•/AE丄CD, •ZAEC=90° •ZACE+ZCAE=90°(直角三角形两个锐角互余) •/ZACE+ZBCF=90° •ZCAE=ZBCF,(等角的余角相等) •/AE丄CD,BF丄CD, •ZAEC=ZBFC=90° 在厶ACE与厶CBF中,ZCAE=ZBCF,ZAEC=ZBFC,AC=BC, •△ACE也厶CBF(AAS). 37.当动点P运动到AC边上中点位置时,△APES'EDB, •••DE//CA, •••△BEDs'BAC, •竺LL 二, •/D是BC的中点, •E是AB中点, •DE=」AC,BE=AE,•/DE//AC, •/A=/BED,要使△APES'EDB, 还缺少一个条件DE=AP,又有DE=2aC,•P必须是AC中点. A BDC 38. (1)•/AE=AB, •/B=/AEB
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