第31练 椭圆问题中最值得关注的基本题型.docx
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第31练椭圆问题中最值得关注的基本题型
第31练 椭圆问题中最值得关注的基本题型
[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位,并且占的分值也较多.分析历年的高考试题,在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解.
体验高考
1.(2015·广东)已知椭圆
+
=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( )
A.2B.3C.4D.9
答案 B
解析 由题意知25-m2=16,解得m2=9,又m>0,所以m=3.
2.(2015·福建)已知椭圆E:
+
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于
,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|+|BF|=4,
∴|AF|+|AF0|=4,
∴a=2.
设M(0,b),则
≥
,
∴1≤b<2.
离心率e=
=
=
=
∈
,
故选A.
3.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为椭圆C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则椭圆C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设M(-c,m),则E
,OE的中点为D,则D
,又B,D,M三点共线,所以
=
,a=3c,e=
.
4.(2015·浙江)已知椭圆
+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+
对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解
(1)由题意知m≠0,
可设直线AB的方程为y=-
x+b.
由
消去y,
得
x2-
x+b2-1=0.
因为直线y=-
x+b与椭圆
+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+
>0,①
将线段AB中点M
代入直线方程y=mx+
,
解得b=-
,②
由①②得m<-
或m>
.
(2)令t=
∈
∪
,
则|AB|=
·
,
且O到直线AB的距离为d=
.
设△AOB的面积为S(t),
所以S(t)=
|AB|·d=
≤
.
当且仅当t2=
时,等号成立.
故△AOB面积的最大值为
.
5.(2016·北京)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:
|AN|·|BM|为定值.
(1)解 由已知
=
,
ab=1.
又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=
.
∴椭圆C的方程为
+y2=1.
(2)证明 由
(1)知,A(2,0),B(0,1).
设椭圆上一点P(x0,y0),则
+y
=1.
当x0≠0时,直线PA方程为y=
(x-2),
令x=0得yM=
.
从而|BM|=|1-yM|=
.
直线PB方程为y=
x+1,
令y=0得xN=
.
∴|AN|=|2-xN|=
.
∴|AN|·|BM|=
·
=
·
=
=
=4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
∴|AN|·|BM|=4.
故|AN|·|BM|为定值.
高考必会题型
题型一 利用椭圆的几何性质解题
例1 如图,焦点在x轴上的椭圆
+
=1的离心率e=
,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求
·
的最大值和最小值.
解 设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,
∵e=
=
,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为
+
=1.
∴-2≤x0≤2,-
≤y0≤
.
又F(-1,0),A(2,0),
=(-1-x0,-y0),
=(2-x0,-y0),
∴
·
=x
-x0-2+y
=
x
-x0+1=
(x0-2)2.
当x0=2时,
·
取得最小值0,
当x0=-2时,
·
取得最大值4.
点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本,利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题,利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.
变式训练1 如图,F1、F2分别是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若△AF1B的面积为40
,求椭圆C的方程.
解
(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,
a=2c,所以e=
.
(2)方法一 a2=4c2,b2=3c2,
直线AB的方程可为y=-
(x-c),
将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,
得B(
c,-
c),
所以|AB|=
·|
c-0|=
c,
由
=
|AF1|·|AB|sin∠F1AB
=
a·
a·
=
a2=40
,
解得a=10,b=5
,所以椭圆C的方程为
+
=1.
方法二 设|AB|=t,因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a,
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°可得,
t=
a,由
=
|AF1|·|AB|sin∠F1AB
=
a·
a·
=
a2=40
知,a=10,b=5
,
所以椭圆C的方程为
+
=1.
题型二 直线与椭圆相交问题
例2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,点(2,
)在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)解 由题意得
=
,
+
=1,
解得a2=8,b2=4.
所以椭圆C的方程为
+
=1.
(2)证明 设直线l:
y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入
+
=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=
=
,yM=k·xM+b=
.
于是直线OM的斜率kOM=
=-
,
即kOM·k=-
.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路:
将直线方程与椭圆方程联立,转化为一元二次方程,由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题,也可考虑求“交点”,由“交点”在椭圆内(外),得出不等式,解不等式.
变式训练2 椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C的一个动点,直线l:
y=
x+
与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.
解
(1)∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,
∴e=
=
,∴2c=
a,即4c2=3a2,
又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2,
∴
+
=1,∴
+
=1,
即b2=4,又a2-b2=c2,
∴a2=b2+c2=4+
a2,即a2=16,
∴椭圆C的方程为
+
=1.
(2)联立直线l:
y=
x+
与椭圆C的方程,
得
消去y,
整理可得7x2+12x-52=0,
即(7x+26)(x-2)=0,解得x=2或x=-
,
∴不妨设A(2,
),B(-
,-
),
则|AB|=
=
,
设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y=
x+C,L与l的距离就是P点到AB的距离,
即△PAB的边AB上的高,只要L与椭圆相切,
就有L与边AB的最大距离,即得最大面积.
将y=
x+C代入
+
=1,
消元整理可得:
7x2+8
Cx+16C2-64=0,
令判别式Δ=(8
C)2-4×7×(16C2-64)=-256C2+28×64=0,
解得C=±
=±
.
∴L与AB的最大距离为
=
,
∴△PAB面积的最大值为
×
×
=
(2
+
).
题型三 利用“点差法,设而不求思想”解题
例3 已知椭圆
+
=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=
,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦|MN|的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
解
(1)由已知得b=4,且
=
,即
=
,
∴
=
,解得a2=20,
∴椭圆方程为
+
=1.
则4x2+5y2=80与y=x-4联立,
消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=
,
∴所求弦长|MN|=
|x2-x1|=
.
(2)如图,椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(x0,y0),
由三角形重心的性质知
=2
,
又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得x0=3,y0=-2,
即得Q的坐标为(3,-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=-4,
且
+
=1,
+
=1,
以上两式相减得
+
=0,
∴kMN=
=-
·
=-
×
=
,
故直线MN的方程为y+2=
(x-3),
即6x-5y-28=0.
点评 当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程时,用“点差法”来求解.
变式训练3 已知椭圆
+
=1(a>b>0),焦点在直线x-2y-2=0上,且离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)过P(3,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,P为线段AB的中点,求直线l的方程.
解
(1)∵椭圆
+
=1(a>b>0),
焦点在直线x-2y-2=0上,
∴令y=0,得焦点(2,0),∴c=2,
∵离心率e=
=
,∴
=
,
解得a=4,∴b2=16-4=12,
∴椭圆方程为
+
=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵过P(3,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,
P为线段AB的中点,
∴由题意,x1+x2=6,y1+y2=2,
∴
+
=0,
∴kl=
=-
,
∴l的方程为y-1=-
(x-3),
即9x+4y-31=0.
高考题型精练
1.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,OD=
×2b=
b.
在Rt△OFB中,|OF|×|OB|=|BF|×|OD|,
即cb=a·
b,代入解得a2=4c2,
故椭圆离心率e=
=
,故选B.
2.已知椭圆
+
=1,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点A(1,1)为椭圆内一点,点P为椭圆上一点,
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