函数的极值和最值知识梳理.docx
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函数的极值和最值知识梳理
函数的极值和最值
考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地,设函数f(x)在点xx0及其附近有定义,
(1)若对于x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值f(x0);
(2)若对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值f(x0).
极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
要点诠释:
求函数极值的的基本步骤:
1确定函数的定义域;
2求导数f(x);
3求方程f(x)0的根;
4检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右
正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值;在开区间(a,b)内连
1续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如f(x)(x0).
x要点诠释:
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤:
若函数yf(x)在闭区间[a,b]有定义,在开区间(a,b)内有导数,则求函数yf(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的导数f(x);
(2)求方程f(x)0在(a,b)内的根;
(3)求在(a,b)内使f(x)0的所有点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值f(a),f(b);
(4)比较上面所求的值,其中最大者为函数yf(x)在闭区间[a,b]上的最大值,最小者为函数
yf(x)在闭区间[a,b]上的最小值.
【典型例题】
类型一:
利用导数解决函数的极值等问题
【高清课堂:
函数的极值和最值394579典型例题一】
例1.已知函数f(x)mx33x23x,mR.若函数f(x)在x1处取得极值,试求m的值,并求
f(x)在点M(1,f
(1))处的切线方程;
【解析】f'(x)3mx26x3,mR.
因为f(x)在x1处取得极值
所以f'
(1)3m630
所以m3。
又f
(1)3,f'
(1)12
所以f(x)在点M(1,f
(1))处的切线方程y312(x1)
即12xy90.
举一反三:
【变式1】设a为实数,函数fxex2x2a,xR.
(1)求fx的单调区间与极值;
(2)求证:
当aln21且x0时,exx22ax1.
解析】
(1)由f(x)ex2x2a,xR知f(x)ex2,xR.
令f(x)0,得xln2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(,ln2)
ln2
(ln2,)
f(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
2(1ln2a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(,ln2),单调递增区间是(ln2,),
x2
(2)证明:
设g(x)exx22ax1,xR
于是g(x)ex2x2a,xR
而g(0)0,从而对任意x(0,),g(x)0.
即exx22ax10,故exx22ax1.
答案】由极小值的定义,只有点B是函数f(x)的极小值点,故选A。
类型二:
利用导数解决函数的最值问题
【高清课堂:
函数的极值和最值394579典型例题三】
例2.已知函数f(x)(x2mxm)ex,其中mR。
(1)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;
(2)当m0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果存在,请说明理由。
【解析】
(1)因为函数f(x)存在零点,则x2mxm0有实根,
2
m24m0,即m0或m4
(2)当m0时,函数定义域为Rf(x)(2xm)ex(x2mxm)ex
(x22xmx)ex
x(x2m)ex
由f(x)
0,则x0或x
m
2
由f(x)
0,则
x
0或x
m
2
由f(x)
0,则
m
2x
0
列表如下:
x
(,m2)
m2
(m2,0)
0
(0,)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
所以f(x)在(,m2),(0,)上单调增,在(m2,0)上单调减。
又知当xm2且时,f(x)0;x0且时,f(x)0;
而f(0)m0,所以f(x)存在最小值f(0)m.
举一反三:
【变式】已知函数f(x)ax21(a0),g(x)x3bx.
(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;2
(2)当a24b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间(,1]上的最大值.
解析】
(1)由1,c为公共切点可得:
f(x)ax21(a0),
则f(x)2ax,k12a,
32
b,k23b,
g(x)x3bx,则g(x)=3x2
b,
2a3b①又f
(1)a1,g
(1)1
a11b,即ab,
2
(2)Qa24b,
Qa0,
(Ⅱ)求f(x)在区间[1,)上的最小值;
2
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若h(x)x2f(x),求证:
当1
'a解析】(Ⅰ)由f(x)x2alnx,定义域为(0,),得f'(x)2x.
x
2'a
因为函数f(x)x2alnx在x1处取得极值,所以f'
(1)2x0,即2a0,解得a2.x
经检验,满足题意,所以.
'a2x2a
Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x)2x,定义域为(0,).
xx
)上单调递增,最小值为f
(1)1;
当a0时,有f'(x)0,f(x)在区间[1,
当0a2,由f'(x)0得xa,且0a1.
当x
(0,a)时,f'(x)0,f(x)单调递减,当x(a
a,)时,f'(x)0,
f(x)单调递增,
当a2时,a1,
综上当a2时,f(x)在区间上的最小值为;
aaa当a2时,f(x)在区间上的最小值为ln
222
Ⅲ)由h(x)x2f(x)得h(x)2lnx.
当1xe2时,0lnx2,0h(x)4,
4h(x)
欲证x44hh((xx)),只需证x[4h(x)]4h(x),
4x42x2
即证h(x)4x4,即lnx2x2
x1x1
2x2
设(x)lnx,
x1
则'(x)
12(x1)
(2x
2)
(x1)2.
x(x
1)2
x(x1)2.
当1x
e2时,'(x)
0,
所以
(x)在区间(1,e2)上单调递增
所以当1
xe2时,
(x)
(1)
2x2
0,即lnx0,
x1
4故x
h(x).
4h(x)
举一反三:
解析】函数f(x)的定义域为(0,1)
变式2】(2015江苏高考)
f'(x)(xlog2x)'[(1x)log2(1x)]'
令f'(x)
0得x12
0x
1时,
2时,
f'(x)
0,∴
1
f(x)在区间(0,)是减函数;
2
1x
2
1时,
f'(x)
0,
1
∴f(x)在区间(,1)是增函数
2
f(x)在
1x
2
时取得最小值且最小值为f
(1)1.
2
log2x
log2(1x)
已知函数f(x)
b(a,bR).
ax2
x3
1ln2
1
ln2log2xlog2(1x)
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是
33
(,3)U(1,)U(,
22
a与无关的常数
),求c的值.
解析】
(1)f′x()=3x2+2ax,令f′x()=0,解得
),
当函数
f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是
x1
当a=0时,因为f′x()=3x2>0,(x≠0,)所以函数
2a.
3.
f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
0,x2
当a>0时,
,23aU(0,
)时,f′x()>0,x
2a,0时,f′x()<0,所以函数f(x)在
3
,2a,
,3,
(0,
+∞)上单调递增,
2a
23a,0上单调递减;
当a<0时,x
2a,
,0)U3
时,f(x)
0,x0,
2a
时,f′x()<0,
所以函数f(x)在(-∞,
0),2a,
3
上单调递增,在
0,
2a
3
上单调递减.
(2)由
(1)知,函数f(x)的两个极值为
f(0)=b,f23a
3
43
a
b,
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)
2a
43
0,
ba3b
3
27
a0
从而43a327
a
或
00
43.
a
27
4343又b=c-a,所以当a>0时,a3ac0或当a<0时,a3ac0.
2727
43
设g(a)a3ac,因为函数f(x)有三个零点时,
27
a的取值范围恰好是(,3)U1,3U3,
22
33
上g(a)>0均恒成立,
则在(-∞,-3)上g(a)<0,且在1,U,
22
从而g(-3)=c-1≤0
,且g3
c1
0,因此c=1.
2
此时,f(x)x3
ax21
a
(x
1)[x2(a1)x1a],
因函数有三个零点,
则x2
(a
1)x
1a0有两个异于-1的不等实根,
所以△(a1)24(1a)
33
解得a(,3)U1,3U3,.
22
综上c=1.
类型三:
导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:
米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端80
均为半球形,按照设计要求容器的体积为80立方米,且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有
3
关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容
(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
【解析】
(1)设容器的容积为V,
920当c92时,建造费用最小时r3c202.
【巩固练习】
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数yxf(x)的
图象可能是
的解集为.
8.函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是。
9.函数f(x)=ln(1+x)-x的最大值为。
1
10.函数y=x+2cosx在区间[0,]上的最大值是。
2
11.已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x(a≠0),求f(x)的极大值与极小值。
12.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围。
32
13.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。
(Ⅰ)求a、b的值;
2
(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x) 14.(2015金凤区校级一模)已知函数fxxlnx. 1)求fx的单调区间和极值 Ⅰ)当a1时,求函数f(x)的单调区间; Ⅱ)若关于x的不等式f(x)ea在[a,)上有解,求实数a的取值范围; gx xfxg'x fxgx 2 gx 故g(x) 1,当x1时,f(x) 2 x21。 2lnx。 当x1时,在f'(x)? lnxxf(x)中,x1处存在导数,令x1得f (1)1。 x x21 则f(x)2lnx,x1 1,x1 h'(x)4xlnx,令h'(x)0,得x1; 令h'(x)0,得0 (1)0。 f'(x)0 故x1时,h(x)2x2lnxx210恒成立,又此时2xln2x0也恒成立,所以当x1时,恒成立,故f(x)在定义域上单调递增,既无极大值也无极小值。 故选D. 5.C 1 6.(,+) e 7.【答案】1, 又对任意xR,f'x2所以F'x 即Fx在R上单调递增.则F x 0的解集为 1 所以fx2x4的解集为 1, 8.-16;9.0; 10. 3 6 11.【解析】 若a>0,则 当x=-a时,f(x)的极大值为5a3。 当x=3a时,f(x)的极小值为-27a3. 若a<0, 则当x=3a时,f(x)的极大值为-27a3, 当x=-a时,f(x)的极小值为5a3 12.a≤-3 13.【解析】 (I)a=-3,b=4 (Ⅱ)当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c 2 因为对于任意的x∈[0,3],有f(x) 所以9+8c 因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞) 14.【解析】 (1)Qf x xlnx f'x lnx1 令f'x 0解得x 1, 1函数在, 上递增, e e 令f'x 0解得0 x 1 ,函数在 1 0,1上递减 e e 111 fx在x处取得极小值,极小值为f eee (2)Q2fxx2mx3即mx2xlnxx23,又x0 2 2xlnxx+3 m x 2xlnxx23 令hx x '2xlnxx23x2xlnxx23x'2xx23h'x22x2x2 令h'x0,解得x1或x3(舍去) 当x0,1时,h'x0,函数hx在0,1上递减 当x1,时,h'x0,函数hx在1,上递增. hminxh1 即m的最大值为4. 15.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为R.当a1时, 当x变化时, f'(x)ex(x2)(x1) x (,2) 2 (2,1) 1 (1,+) f'(x) 0 0 f'(x),f(x)的变化情况如下表: f(x) Z 极大值 ] 极小值 Z 函数f(x)的单调递增区间为(,2),(1,), 函数f(x)的单调递减区间为(2,1). (Ⅱ)解: 因为f(x)ea在区间[a,)上有解, 所以f(x)在区间[a,)上的最小值小于等于ea. 因为f'(x)ex(x2)(xa),令f'(x)0,得x12,x2a. 当a2时,即a2时, 因为f'(x)0对x[a,)成立,所以f(x)在[a,)上单调递增, 此时f(x)在[a,)上的最小值为f(a), 所以f(a)ea(a2a2a)ea, 1 解得1a,所以此种情形不成立, 2 当a2,即a 2时, 若a0,则f'(x) 0对x[a,)成立,所以f(x)在[a,)上单调递增, 此时f(x)在[a, )上的最小值为f(a),所以f(a)ea(a2a2a)ea, 1 解得1a1, 1 所以0a. 2 2 若a0, 若a2,则 f'(x)0对x(a,a)成立,f'(x)0对x[a,)成立 则f(x)在(a,a)上单调递减,在[a,)上单调递增, 此时f(x)在[a,)上的最小值为f(a), 所以有f(a)ea(a2a2a)eaaea,解得2a0,当a2时,注意到a[a,),而f(a)ea(a2a2a)eaaea, 此时结论成立. 1 综上,a的取值范围是(,1]. 2 法二: 因为f(x)ea在区间[a,)上有解,所以f(x)在区间[a,)上的最小值小于等于ea,当a0时,显然0[a,),而f(0)a0ea成立, 当a0时,f'(x)0对x[a,)成立,所以f(x)在[a,)上单调递增,此时f(x)在[a,)上的最小值为f(a),所以有f(a)ea(a2a2a)ea, 11 解得1a,所以0a. 22 综上,a(,1]. 2 (Ⅲ)a的取值范围是a2.
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