山东省菏泽市曹县中考数学模拟试题有答案精析.docx
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山东省菏泽市曹县中考数学模拟试题有答案精析
2020年山东省菏泽市曹县中考数学模拟试卷
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5B.a3﹣a2=aC.a3•a2=a6D.a3÷a2=a
2.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
3.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )
A.直线的一部分B.圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
4.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°,所得图形一定与原图形重合的是( )
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
5.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A.35°B.40°C.50°D.65°
6.如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
A.50°B.80°C.100°D.130°
7.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
8.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>2B.﹣2<b<2C.b>2或b<﹣2D.b<﹣2
9.如图,在半径为的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=4,则OP的长为( )
A.1B.C.2D.2
10.二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,下列说法错误的是( )
A.点C的坐标是(0,1)B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形D.当x>0时,y随x增大而增大
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为 .
12.已知A(﹣1,m)与B(2,m﹣3)是反比例函数图象上的两个点.则m的值 .
13.在平面直角坐标系中,以原点为中心,把点A(4,5)逆时针旋转90°,得到的点A′的坐标为 .
14.如图,在直角坐标系中,直线y=6﹣x与y=(x>0)的图象相交于点A,B,设点A的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为 、 .
15.如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是 .
三、解答题(本大题共6小题,共55分)
16.计算:
()﹣2﹣(π﹣)0+|﹣2|+4sin60°.
17.先化简,再求值:
,其中.
18.小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高?
19.已知:
如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,延长CE交BA的延长线于点F.
求证:
AB=AF.
20.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,且BE∥AC,AE∥OB,
(1)求证:
四边形AEBD是菱形;
(2)如果OA=3,OC=2,求出经过点E的反比例函数解析式.
21.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时,到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
2020年山东省菏泽市曹县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5B.a3﹣a2=aC.a3•a2=a6D.a3÷a2=a
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法.
【分析】根据同类项定义;同底数幂相乘,底数不变指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、a2与a3不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、a3与a2不是同类项,不能合并,故本选项错误;
C、应为a3•a2=a5,故本选项错误;
D、a3÷a2=a,正确.
故选D.
2.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:
原方程可化为:
4x2﹣4x+1=0,
∵△=42﹣4×4×1=0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选C.
3.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )
A.直线的一部分B.圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
【考点】轨迹;直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB=A′B′=OC′,从而得出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.
【解答】解:
连接OC、OC′,如图,
∵∠AOB=90°,C为AB中点,
∴OC=AB=A′B′=OC′,
∴当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,
∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.
故选B.
4.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°,所得图形一定与原图形重合的是( )
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
【考点】旋转对称图形.
【分析】根据旋转对称图形的性质,可得出四边形需要满足的条件,结合选项即可得出答案.
【解答】解:
由题意可得,此四边形的对角线互相垂直、平分且相等,则这个四边形是正方形.
故选D.
5.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A.35°B.40°C.50°D.65°
【考点】旋转的性质.
【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得AC=AC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.
【解答】解:
∵CC′∥AB,
∴∠ACC′=∠CAB=65°,
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,
∴AC=AC′,
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故选C.
6.如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
A.50°B.80°C.100°D.130°
【考点】圆周角定理.
【分析】首先在上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理即可求得∠D的度数,然后由圆的内接四边形的性质,求得∠ABC的度数.
【解答】解:
如图,在优弧上取点D,连接AD,CD,
∵∠AOC=100°,
∴∠ADC=∠AOC=50°,
∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°.
故选D.
7.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】原抛物线顶点坐标为(﹣1,2),平移后抛物线顶点坐标为(0,0),由此确定平移规律.
【解答】解:
y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(﹣1,2),抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),
则平移的方法可以是:
将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位,再向下平移2个单位.
故选:
D.
8.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>2B.﹣2<b<2C.b>2或b<﹣2D.b<﹣2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】联立两函数解析式消去y可得x2﹣bx+1=0,由直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,得到方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得结果.
【解答】解:
解方程组得:
x2﹣bx+1=0,
∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,
∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4>0,
∴b>2,或b<﹣2,
故选C.
9.如图,在半径为的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=4,则OP的长为( )
A.1B.C.2D.2
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连结OD、OB,如图,根据垂径定理得到AE=BE=AB=2,DF=CF=CD=2,根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1,同理可得OF=1,接着证明四边形OEPF为正方形,于是得到OP=OE=.
【解答】解:
作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连结OD、OB,如图,
则AE=BE=AB=2,DF=CF=CD=2,
在Rt△OBE中,∵OB=,BE=2,
∴OE==1,
同理可得OF=1,
∵AB⊥CD,
∴四边形OEPF为矩形,
而OE=OF=1,
∴四边形OEPF为正方形,
∴OP=OE=.
故选B.
10.二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,下列说法错误的是( )
A.点C的坐标是(0,1)B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形D.当x>0时,y随x增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数的性质.
【分析】判断各选项,点C的坐标可以令x=0,得到的y值即为点C的纵坐标;令y=0,得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B;且AB的长也有两点坐标求得,对函数的增减性可借助函数图象进行判断.
【解答】解:
A,令x=0,y=1,则C点的坐标为(0,1),正确;
B,令y=0,x=±1,则A(﹣1,0),B(1,0),|AB|=2,正确;
C,由A、B、C三点坐标可以得出AC=BC,且AC2+BC2=AB2,则△ABC是等腰直角三角形,正确;
D,当x>0时,y随x增大而减小,错误.
故选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为 24 .
【考点】菱形的性质;解直角三角形.
【分析】连接BD,交AC与点O,首先根据菱形的性质可知AC⊥BD,解三角形求出BO的长,利用勾股定理求出AO的长,即可求出AC的长.
【解答】解:
连接BD,交AC与点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
在Rt△AOB中,
∵AB=15,sin∠BAC=,
∴sin∠BAC==,
∴BO=9,
∴AB2=OB2+AO2,
∴AO===12,
∴AC=2AO=24,
故答案为24.
12.已知A(﹣1,m)与B(2,m﹣3)是反比例函数图象上的两个点.则m的值 2 .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可.
【解答】解:
∵A(﹣1,m)与B(2,m﹣3)是反比例函数图象上的两个点,
∴(﹣1)×m=2×(m﹣3),解得m=2.
故答案为:
2.
13.在平面直角坐标系中,以原点为中心,把点A(4,5)逆时针旋转90°,得到的点A′的坐标为 (﹣5,4) .
【考点】坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】首先根据点A的坐标求出OA的长度,然后根据旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小,可得OA′=OA,据此求出点A′的坐标即可.
【解答】解:
如图,过点A作AC⊥y轴于点C,作AB⊥x轴于点B,过A′作A′E⊥y轴于点E,作A′D⊥x轴于点D,
,
∵点A(4,5),
∴AC=4,AB=5,
∵点A(4,5)绕原点逆时针旋转90°得到点A′,
∴A′E=AB=5,A′D=AC=4,
∴点A′的坐标是(﹣5,4).
故答案为:
(﹣5,4).
14.如图,在直角坐标系中,直线y=6﹣x与y=(x>0)的图象相交于点A,B,设点A的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为 4 、 12 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义;一次函数的图象.
【分析】先求出两图象的交点坐标,从而得出矩形面积和周长.
【解答】解:
把y=6﹣x与y=联立到一个方程组中,
解得x=3+和3﹣,y=3﹣和3+.
在本题中x1=3﹣,y1=3+,
所以矩形面积=x1y1=4,周长=2(x1+y1)=12.
故矩形面积和周长分别为4和12.
故答案为:
4、12.
15.如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是 7.2 .
【考点】切线的性质;垂线段最短.
【分析】三角形ABC中,利用勾股定理的逆定理判断得到∠C为直角,利用90度的圆周角所对的弦为直径,得到EF为圆的直径,设圆与AB的切点为D,连接CD,当CD垂直于AB时,即CD是圆的直径的时,EF长度最小,求出即可.
【解答】解:
∵在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC为RT△,∠C=90°,即知EF为圆的直径,
设圆与AB的切点为D,连接CD,
当CD垂直于AB,即CD是圆的直径时,EF长度最小,最小值是=7.2.
故答案为:
7.2.
三、解答题(本大题共6小题,共55分)
16.计算:
()﹣2﹣(π﹣)0+|﹣2|+4sin60°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
【解答】解:
原式=4﹣1+2﹣+4×=5+.
17.先化简,再求值:
,其中.
【考点】分式的化简求值;二次根式的化简求值.
【分析】先将括号内通分,合并;再将除法问题转化为乘法问题;约分化简后,在原式有意义的条件下,代入计算即可
【解答】解:
=
=
=,
当时,
原式===.
18.小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高?
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】求这栋楼的高度,即BC的长度,根据BC=BD+DC,在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD,CD即可.
【解答】解:
在Rt△ABD中,
∵∠BDA=90°,∠BAD=30°,AD=42m,
∴BD=ADtan30°=42×=14(m).
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
∴CD=ADtan60°=42×=42(m).
∴BC=BD+CD=14+42=56(m).
答:
这栋楼的高度为56m.
19.已知:
如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,延长CE交BA的延长线于点F.
求证:
AB=AF.
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】本题考查平行四边形性质的应用,要证AB=AF,由AB=CD,可以转换为求AF=CD,只要证明△AEF≌△DEC即可.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD且AB=CD.
∴∠F=∠2,∠1=∠D.
∵E为AD中点,
∴AE=ED.
在△AEF和△DEC中
∴△AEF≌△DEC.
∴AF=CD.
∴AB=AF.
20.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,且BE∥AC,AE∥OB,
(1)求证:
四边形AEBD是菱形;
(2)如果OA=3,OC=2,求出经过点E的反比例函数解析式.
【考点】反比例函数综合题.
【分析】
(1)先证明四边形AEBD是平行四边形,再由矩形的性质得出DA=DB,即可证出四边形AEBD是菱形;
(2)连接DE,交AB于F,由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分,求出EF、AF,得出点E的坐标;设经过点E的反比例函数解析式为:
y=,把点E坐标代入求出k的值即可.
【解答】
(1)证明:
∵BE∥AC,AE∥OB,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵四边形OABC是矩形,
∴DA=AC,DB=OB,AC=OB,AB=OC=2,
∴DA=DB,
∴四边形AEBD是菱形;
(2)解:
连接DE,交AB于F,如图所示:
∵四边形AEBD是菱形,
∴AB与DE互相垂直平分,
∵OA=3,OC=2,
∴EF=DF=OA=,AF=AB=1,3+=,
∴点E坐标为:
(,1),
设经过点E的反比例函数解析式为:
y=,
把点E(,1)代入得:
k=,
∴经过点E的反比例函数解析式为:
y=.
21.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时,到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【考点】二次函数的应用.
【分析】
(1)先确定B点和C点坐标,然后利用待定系数法求出抛物线解析式,再利用配方法确定顶点D的坐标,从而得到点D到地面OA的距离;
(2)由于抛物线的对称轴为直线x=6,而隧道内设双向行车道,车宽为4m,则货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),然后计算自变量为2或10的函数值,再把函数值与6进行大小比较即可判断;
(3)抛物线开口向下,函数值越大,对称点之间的距离越小,于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值.
【解答】解:
(1)根据题意得B(0,4),C(3,),
把B(0,4),C(3,)代入y=﹣x2+bx+c得,
解得.
所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4,
则y=﹣(x﹣6)2+10,
所以D(6,10),
所以拱顶D到地面OA的距离为10m;
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),
当x=2或x=10时,y=>6,
所以这辆货车能安全通过;
(3)令y=8,则﹣(x﹣6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6﹣2,
则x1﹣x2=4,
所以两排灯的水平距离最小是4m.
2020年4月13日
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