贵州省中考面对面数学习题 题型3.docx
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贵州省中考面对面数学习题题型3
题型三与图形变换有关的计算
类型一图形折叠的计算
1.(’15台州)如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是()
A.8cmB.5cmC.5.5cmD.1cm
2.(’15桂林)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=12,AD⊥BC于D,点E、F分别在AB、AC边上,把△ABC沿EF折叠,使点A与点D恰好重合,则△DEF的周长是()
A.14B.15C.16D.17
3.(’15汕尾)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的长为()
A.2B.C.D.
4.如图,D、E为△ABC两边AB、AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF的度数是()
A.50°B.60°C.80°D.100°
5.(’15鄂州)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=()
A.B.C.D.
6.(’15潜江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=.
7.(’15荆州)如图,矩形OABC中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则D点的坐标为.
8.(’15泰州)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为.
9.如图,在边长为4的正方形ABCD中,M为BC的中点,E、F分别为AB、CD边上的动点.在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形,其中∠EMF=90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是.
类型二图形旋转的计算
1.(’14铜仁模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC,使点E恰巧落在AB上,连接BF,则BF的长度为()
A.B.2C.1D.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′,使得点B′恰好落在对角线BD上,连接DD′,则DD′的长度为()
A.B.C.+1D.2
3.(’15沈阳)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为,则AK=.
4.(’15绵阳)如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为.
类型三动点问题(线段和的最小值)
1.如图,周长为16的菱形ABCD中,点E、F分别在AB、AD边上,AE=1,AF=3,P为BD上的一动点,则线段EP+FP的长最短为()
A.3B.4C.5D.6
2.(’15绥化)如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点,则BM+MN最小值为()
A.10B.8C.5D.6
3.(’15南宁)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是MB的中点,P是直径AB上一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为()
A.4B.5C.6D.7
第3题图
4.(’15武汉)如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.
5.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,那么△BEQ周长的最小值为.
6.(’16原创)如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16.点E是AB的中点,P、Q是BD上的动点,且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为.(结果保留根号)
7.
(1)如图①,已知正方形ABCD的边长是4,M在DC上,M是CD的中点,点P是AC边上的一动点,则当DP+MP的值最小时,在图①备用图中作出点P的位置,求DP的值;
(2)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点M是DC上的一个动点,连接AM,作BP⊥AM于点P,连接DP,当DP最小时,在图②备用图中作出点P的位置,求DP的值.
8.(’13六盘水10分)
(1)观察发现
如图①:
若点A、B在直线m的同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:
作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交点就是所求的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.
如图②:
在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,做法如下:
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.
(2)实践运用
如图③:
已知⊙O的直径CD为2,AC的度数为60°,点B是AC的中点,在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为.
(3)拓展延伸
如图④:
点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M、点N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.
9. (’15贵阳12分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3.
(1)求MP的值;
(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时,△MEF的周长最小?
(3)若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2.当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)
类型1
1.A【解析】由勾股定理得,矩形的对角线长==cm<8cm,所以折痕的长不可能为8cm.
2.B【解析】∵AD⊥BC,折叠后点A与点D重合,∴EF垂直平分AD,∴EF为△ABC的中位线,∴△AEF∽△ABC且=,∵△ABC的周长为AB+AC+BC=10+8+12=30,∴△AEF的周长为15,根据折叠前后的两三角形全等可得△DEF的周长等于△AEF的周长为15.
3.B【解析】∵将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,如解图,∴AC⊥EF,设交点为O,∴AO=CO,在矩形ABCD中,∠D=90°,∴△ACD是直角三角形,由勾股定理得AC==2,∴CO=,∵∠EOC=∠D=90°,∠ECO=∠DCA,∴△DAC∽△OFC,∴=,∴=,∴FO=,∴EF=2×=
4.C【解析】∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点,即DE是三角形的中位线.∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°,∴∠EDF=∠ADE=50°,∴∠BDF=180°-50°-50°=80°.
5.D【解析】如解图,延长EF交AD于点M,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AME=∠CEM,∠MAE=∠AEB,由折叠的性质得BE=EF,∠AEM=∠AEB,∴∠AEM=∠MAE=(180°-∠AME),∵点E是BC的中点,∴CE=BE=EF,∴∠ECF=∠EFC=(180°-∠CEM),又∵∠AME=∠CEM,∴∠ECF=∠AEM=∠AEB,在Rt△ABE中,∵AB=8,BE=BC=6,∴AE=10,∴sin∠ECF=sin∠AEB===.
6.71°【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,∴∠B=64°,∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°,∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°.
7.(0,)【解析】由折叠的性质,得CB′=BC=OA,∠B′=∠AOD=90°,∠CDB′=∠ADO,△CDB′≌△ADO,∴AD=DC,设OD=x,则AD=CD=5-x,在Rt△AOD中,AD2=OD2+OA2,∴(5-x)2=x2+22,解得x=.
8.【解析】如解图,设EB与DC交点为F,根据题意得,AP=EP,∵OD=OE,∠D=∠E,∠DOP=∠EOF,∴△ODP≌△OEF,则OP=OF,设OE=a,OP=b,∴AP=PE=a+b,BF=8-(6-a-b)=2+a+b,FC=8-(a+b),在Rt△BCF中,由勾股定理得,BF2=CF2+BC2,即(2+a+b)2=
[8-(a+b)]2+62,解得AP=a+b=.
9.4≤EF≤5【解析】∵点M为BC的中点,正方形ABCD的边长为4,∴BM=CM=2,∵∠EMF=90°,∴∠BME+∠CMF=90°,∵∠CFM+∠CMF=90°,∴∠BME=∠CFM,又∵∠B=∠C=90°,∴△BME∽△CFM,∴=,∴BE·CF=BM·CM=2×2=4,∵CF最大时为4,此时BE=1,BE最大时为4,此时CF=1,∴-3≤CF-BE≤3,如解图,过点E作EG⊥CD于点G,则EG=BC=4,在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2=16+(CF-BE)2,∴16≤EF2≤16+9,∴4≤EF≤5.
类型二
1.A【解析】由题意可得CA=CE,∴∠CAE=∠CEA=60°,∴∠ACE=60°,∴△CAE为等边三角形,∴AE=AC=AB,即AE=CE=AC=EB=1,又∵∠CEF=60°,∴∠BEF=60°,在△CEF与△BEF中,EF=EF
∠CEF=∠BE,
CE=BE
∴△CEF≌△BEF,∴BF=CF,又∵CF=CE==.∴BF=.
2.A【解析】∵在矩形ABCD中,AB=1,BC=,∴AD=BC=,∴tan∠ABD==,∴∠ABD=60°,∵AB=AB′,∴△ABB′是等边三角形,∴∠BAB′=60°,∴∠DAD′=60°,∵AD=AD′,∴△ADD′是等边三角形,∴DD′=AD=BC=.
3.2-3【解析】如解图,连接BH,∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,由旋转的性质得AB=EB,∠CBE=30°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABH和Rt△EBH中,BH=BH
AB=EB,
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH(HL),∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH,∴AH=AB·tan∠ABH=×=1,∴EH=1,∴FH=-1,在Rt△FKH中,∠FKH=30°,∴KH=2FH=2(-1),∴AK=KH-AH=2(-1)-1=2-3.
4.3【解析】∵△AEC是由△ABD旋转得到,∴∠EAC=∠DAB,AE=AD,CE=BD,∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD,∴∠EAD=∠CAB=60°,又AD=AE,∴△ADE是等边三角形,∴DE=AD=5,如解图,过点E作EF⊥DC于点F,设DF=x,由勾股定理得EF2=ED2-x2=EC2-(CD-x)2,即25-x2=36-(4-x)2,解得x=,∴EF===,∴tan∠EDC=
=3.
类型三动点问题(线段和的最小值)
1.B【解析】如解图,在DC上截取DG=FD=AD-AF=4-3=1,连接EG,则EG与BD的交点就是P,即此时EP+FP的值最小,且最小值为EG.∵AE=DG,且AE∥DG,∴四边形ADGE是平行四边形,∴EG=AD=4.
2.B【解析】由题意得出,作B点关于AC的对称点B′,连接BB′,交AC于点E,连接AB′,过点B′作B′N⊥AB于点N,交AC于点M,连接MB,此时BM+NM=B′N最小,∵AB=10,BC=5,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===5,∵S△ABC=AB·BC=AC·BE,∴BE===2,∵BB′=2BE,∴BB′=4,∵B′N⊥AB,BC⊥AB,BE⊥AC,∴∠ANB′=∠ABC=∠AEB=∠AEB′=90°,∴∠BB′N+∠NBB′=∠BAC+∠NBB′=90°,∴∠BB′N=∠BAC,∴△ABC∽△B′NB,∴=,即=,∴NB′=8,即BM+MN的最小值为8.
3.B【解析】如解图,作点N关于AB的对称点C,连接CM交AB于点P,连接NP,由对称性可知PN=PC,此时MP+NP=MC,根据两点间线段最短且MN为定值可知此时P点即为使△PMN
周长最小时点P的位置,连接AC、OM、OC,∵N是MB的中点,∴BN=BC=MB,又∵∠MAB=20°,∴∠CAB=10°,∴∠MAC=30°,∴∠MOC=2∠MAC=60°,∵OM=OC,∴△MOC是等边三角形,∵AB=8,∴MC=OC=4,∴△PMN周长为MP+NP+MN=MP+PC+MN=MC+MN=4+1=5.
4.【解析】如解图,作点M关于ON对称点M′,点N关于OA的对称点N′,连接M′N′分别交ON、OA于P、Q,此时MP+PQ+NQ的值最小.由对称的性质知,M′P=MP,N′Q=NQ,∴MP+PQ+NQ=M′N′.连接ON′、OM′,则∠M′OP=∠MOP=∠N′OQ=30°,∴∠N′OM′=90°,又∵ON′=ON=3,OM′=OM=1,∴M′N′==,∴MP+PQ+QN的最小值是.
5.6【解析】如解图,连接BD、DE,∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于直线AC对称,∠DAE=90°,AB=AD=4,∵DE的长即为BQ+QE的最小值,BE=1,∵DE===5.∴△BEQ周长的最小值为5+1=6.
6.7+【解析】如解图,将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中,使得B为原点,BD在x的正半轴上,∵菱形ABCD的边长是10,对角线BD=16,点E是AB的中点,∴A(8,6),B(0,0),E(4,3),将A向左平移2个单位到A′点,则A′(6,6),作A′关于x轴的对称点F,则F(6,-6),连接EF,交x轴于点P,连接A′P,在x轴正方向上截取PQ=2,此时,四边形AEPQ的周长最小,∵AE==5,PQ=2,AQ+EP=A′P+EP=FP+EP=EF,∴四边形AEPQ的周长的最小值为5+2+=7+.
7.解:
(1)如解图①,作点M关于AC的对称点M′,连接DM′交AC于点P,此时DP+MP最小,最小值为DM′,DM′===2,
∵AD∥BC,△ADP∽△CM′P,
∴DP∶PM′=AD∶CM′=2∶1,
∴DP=DM′=;
(2)如解图②,连接PN,∵BP⊥AM,
∴△ABP是直角三角形,
∴以AB为直径作△APB的外接圆,
∵正方形ABCD边长是4,∴⊙N的半径是2,
∴DN==2.
∵当DP最小时,N、P、D三点共线,
∴DP最小值=DN-NP=2-2.
8.【思路分析】
(1)观察发现:
利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值,由AB=2,点E是AB的中点,根据等边三角形的性质得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,再根据含30度的直角三角形三边的关系是CE=;
(2)实践运用:
过B点作弦BE⊥CD交⊙O于点E,连接AE交CD于P点,连接OB、OA、PB,根据垂径定理得到CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,则AE的长就是BP+AP的最小值;由于AC的度数为60°,点B是AC的中点得到
∠AOC=60°,所以∠AOE=60°+30°=90°,于是可判断△OAE为等腰直角三角形,则AE=OA=;(3)拓展延伸:
分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连接EF,EF交AB于M、交BC于N.
解:
(1)观察发现
CE的长为BP+PE的最小值.
∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,
∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,
∴CE=BE=,
故答案为;
(2)实践运用
如解图③,过B点作弦BE⊥CD交⊙O于点E,连接AE交CD于P点,连接OB、OE、OA、PB,
∵BE⊥CD,
∴CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,
∵AC的度数为60°,点B是AC的中点,
∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,
∴∠EOC=30°,
∴∠AOE=60°+30°=90°,
∵OA=OE=1,
∴AE=OA=,∴AE的长就是BP+AP的最小值.故答案为;
(3)拓展延伸
如解图④.
9.
(1)【思路分析】根据折叠的性质,得对应线段相等,在Rt△MHP中,根据勾股定理可以计算MP的长;
解:
在折叠纸片后,PH=PD=3,MH=CD=AB=4,∠H=∠D=90°,
∴MP==5.········································(4分)
(2)【思路分析】作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,将求△MEF周长最小的问题转化为求EM′+ME的问题解决.过点E作EN⊥AD,垂足为N,由△AFM′∽△NEM′,列比例式可求AF的长;
解:
如解图①,作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,
点F即为所求,················································(6分)
∴AM′=AM=AD-PD-MP=4,
过点E作EN⊥AD,垂足为N,
易证△MHP≌△ENM(ASA),
可得ME=MP=5,
在Rt△ENM中,MN==3,
∴NM′=MN+AM+AM′=11,
由△AFM′∽△NEM′,
∴=,∴AF=,
∴当AF=时,△MEF的周长最小.····························(8分)
(3)【思路分析】由
(2)知点M′是点M关于AB的对称点,在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,此时MG+EQ最小,四边形ERGQ的周长最小,先计算MG+EQ=M′G+GR=M′R,再计算四边形MEQG的周长.
解:
如解图②,由
(2)知点M′是点M关于AB的对称点,
在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,
再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,
则MG+EQ最小,
∴四边形MEQG的周长最小,······································(10分)
∵ER=GQ,ER∥GQ,
∴四边形ERGQ是平行四边形,
∴QE=GR,M′R===5,
∵ME=5,GQ=2,
∴四边形MEQG的最小周长值是7+5.····························(12分)
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