菱形单元测试题.docx
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菱形单元测试题
菱形单元测试题
一.选择题
1.(2013•绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
2.(2012•陕西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为( )
A.
75°
B.
65°
C.
55°
D.
50°
3.(2012•恩施州)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
2
C.
3
D.
4.(2010•安顺)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
5.(2009•西藏)如图,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为( )
A.
48
B.
96
C.
80
D.
192
6.(2009•绵阳)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,把剪下的这个角展开,若得到一个锐角为60°的菱形,则剪口与折痕所成的角α的度数应为( )
A.
15°或30°
B.
30°或45°
C.
45°或60°
D.
30°或60°
7.(2011•张家口一模)如图,在一块对角线分别为6米、8米的菱形草地ABCD的四个顶点处,各居住着一只蚂蚁,居住在A处的蚂蚁准备沿A→B→C→D→A拜访在B、C、D三个顶点蚂蚁之后,再回到自己的住处,它的总路程为( )
A.
14米
B.
20米
C.
24米
D.
28米
二.填空题
8.(2012•鄂尔多斯)如图,将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是 _________ .
9.(2013•盐城模拟)如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=72°,将它分割成如图所示的四个等腰三角形,那么∠1+∠2+∠3= _________ 度.
10.(2012•泉州质检)如图①,在菱形ABCD中,AD=BD=1,现将△ABD沿AC方向向右平移到△A1B1D1的位置,得到图②,则阴影部分的周长为 _________ .
11.如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=72°,将它分割成如图所示的四个等腰三角形,那么∠1+∠2+∠3= _________ 度.
三.解答题
12.(2013•南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
13.(2013•黄冈)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
14.(2012•舟山)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
15.(2011•河南)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5
,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.(2013•绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
考点:
菱形的性质;勾股定理;解直角三角形.
分析:
先求出菱形的边长,然后利用面积的两种表示方法求出DH,在Rt△DHB中求出BH,然后得出AH,利用tan∠HAG的值,可得出GH的值.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,
∴AO=4cm,BO=3cm,
在Rt△AOB中,AB=
=5cm,
∵
BD×AC=AB×DH,
∴DH=
cm,
在Rt△DHB中,BH=
=
cm,
则AH=AB﹣BH=
cm,
∵tan∠HAG=
=
=
,
∴GH=
AH=
cm.
故选B.
点评:
本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识,注意菱形的面积等于对角线乘积的一半,也等于底乘高.
2.(2012•陕西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为( )
A.
75°
B.
65°
C.
55°
D.
50°
考点:
菱形的性质.
分析:
先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数,再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数,然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
解答:
解:
在菱形ABCD中,∠ADC=130°,
∴∠BAD=180°﹣130°=50°,
∴∠BAO=
∠BAD=
×50°=25°,
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°.
故选B.
点评:
本题主要考查了菱形的邻角互补,每一条对角线平分一组对角的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
3.(2012•恩施州)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
2
C.
3
D.
考点:
菱形的性质;解直角三角形.
专题:
常规题型;压轴题.
分析:
设BF、CE相交于点M,根据相似三角形对应边成比例列式求出CM的长度,从而得到DM的长度,再求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高,然后根据阴影部分的面积=S△BDM+S△DFM,列式计算即可得解.
解答:
解:
如图,设BF、CE相交于点M,
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,
∴△BCM∽△BGF,
∴
=
,
即
=
,
解得CM=1.2,
∴DM=2﹣1.2=0.8,
∵∠A=120°,
∴∠ABC=180°﹣120°=60°,
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×
=
,
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×
=
,
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=
×0.8×
+
×0.8×
=
.
故选A.
点评:
本题考查了菱形的性质,解直角三角形,把阴影部分分成两个三角形的面积,然后利用相似三角形对应边成比例求出CM的长度是解题的关键.
4.(2010•安顺)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
考点:
菱形的性质;勾股定理.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
根据题意可知,AC=2BC,∠B=90°,所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2,即(2BC)2=32+BC2,从而可求得BC的长.
解答:
解:
∵AC=2BC,∠B=90°,
∴AC2=AB2+BC2,
∴(2BC)2=32+BC2,
∴BC=
.
故选D.
点评:
此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用.
5.(2009•西藏)如图,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为( )
A.
48
B.
96
C.
80
D.
192
考点:
菱形的性质;勾股定理.
分析:
根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长,从而得到BD的长,再根据菱形的面积公式即可求得其面积.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=
AC,
在Rt△AOB中,BO=
=6,
则BD=2BO=12,
故S菱形ABCD=
AC×BD=96.
故选B.
点评:
本题考查了菱形的性质,解答本题的关键是掌握菱形对角线互相垂直且平分,及菱形的面积等于对角线乘积的一半.
6.(2009•绵阳)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,把剪下的这个角展开,若得到一个锐角为60°的菱形,则剪口与折痕所成的角α的度数应为( )
A.
15°或30°
B.
30°或45°
C.
45°或60°
D.
30°或60°
考点:
菱形的性质;剪纸问题.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
如图:
折痕为AC与BD,∠ABC=60°,根据菱形的性质:
菱形的对角线平分对角,可得∠ABD=30°,易得∠BAC=60°.所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=
∠ABC,∠BAC=
∠BAD,AD∥BC,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.
故选D.
点评:
此题主要考查菱形的判定以及折叠问题,有助于提高学生的动手及立体思维能力.
7.(2011•张家口一模)如图,在一块对角线分别为6米、8米的菱形草地ABCD的四个顶点处,各居住着一只蚂蚁,居住在A处的蚂蚁准备沿A→B→C→D→A拜访在B、C、D三个顶点蚂蚁之后,再回到自己的住处,它的总路程为( )
A.
14米
B.
20米
C.
24米
D.
28米
考点:
菱形的性质;勾股定理.
专题:
计算题.
分析:
根据菱形对角线互相垂直平分的性质,可以求得BO=OD,AO=OC,在Rt△AOD中,根据勾股定理可以求得AB的长,即可求菱形ABCD的周长.
解答:
解:
菱形的对角线为6米、8米,
菱形对角线互相垂直平分,
∴BO=OD=3米,AO=OC=4米,
∴AB=
=5米,
故菱形的周长为20米,
答:
菱形的周长为20米.
故选B.
点评:
本题考查了菱形周长的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的
二.填空题(共4小题)
8.(2012•鄂尔多斯)如图,将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是
.
考点:
菱形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
作出图形,确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时,菱形的周长最大,设菱形的边长为x,表示出AB,然后利用勾股定理列式进行计算求出x,再根据菱形的四条边都相等解答.
解答:
解:
如图,菱形的周长最大,
设菱形的边长AC=x,则AB=4﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
即x2=(4﹣x)2+12,
解得x=
,
所以,菱形的最大周长=
×4=
.
故答案为:
.
点评:
本题考查了菱形的性质,勾股定理的应用,确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键,作出图形更形象直观.
9.(2013•盐城模拟)如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=72°,将它分割成如图所示的四个等腰三角形,那么∠1+∠2+∠3= 90 度.
考点:
菱形的性质.
分析:
根据菱形的性质,知:
∠C=∠A=72°,由于∠1、∠2、∠3所在的三角形都是等腰三角形,可根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C=72°,
∵∠6=∠C=72°,
∴∠3=180﹣2×72°=36°,
∵∠6=∠2+∠5=2∠2=72°,
∴∠2=36°,
∵∠2=∠1+∠4=2∠1=36°,
∴∠1=18°,
∴∠1+∠2+∠3=36°+36°+18°=90°.
故答案为:
90.
点评:
本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质,解答本题的关键是根据等腰三角形及外角的性质求出各角的度数.
10.(2012•泉州质检)如图①,在菱形ABCD中,AD=BD=1,现将△ABD沿AC方向向右平移到△A1B1D1的位置,得到图②,则阴影部分的周长为 2 .
考点:
菱形的性质;等边三角形的判定与性质;平移的性质.
专题:
数形结合.
分析:
根据两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A1B1D1的位置,得出线段之间的相等关系,进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A1D1+CD=1+1=2,即可得出答案.
解答:
解:
∵AB=BD,四边形ABCD是菱形,
∴△ABD、△CDB是等边三角形,
又两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A1B1D1的位置,
∴A1M=A1N=MN,MO=DM=DO,OD1=D1E=OE,EG=EC=GC,B1G=RG=RB1,
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A1D1+CD=1+1=2.
故答案为:
2.
点评:
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的性质,根据题意得出A1M=A1N=MN,MO=DM=DO,OD1=D1E=OE,EG=EC=GC,B1G=RG=RB1是解决问题的关键.
11.如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=72°,将它分割成如图所示的四个等腰三角形,那么∠1+∠2+∠3= 90 度.
考点:
菱形的性质.
专题:
计算题.
分析:
根据菱形的性质,知:
∠C=∠A=72°;由于∠1、∠2、∠3所在的三角形都是等腰三角形,可根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C=72°;
∵∠6=∠C=72°,
∴∠3=180﹣2×72°=36°;
∵∠6=∠2+∠5=2∠2=72°,
∴∠2=36°;
∵∠2=∠1+∠4=2∠1=36°,
∴∠1=18°;
∴∠1+∠2+∠3=36°+36°+18°=90°.
点评:
本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质.
三.解答题(共4小题)
12.(2013•南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
专题:
压轴题.
分析:
(1)首先根据菱形的性质,得到AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,结合点E、F分别是边BC、AD的中点,即可证明出△ABE≌△CDF;
(2)首先证明出△ABC是等边三角形,结合题干条件在Rt△AEB中,∠B=60°,AB=4,即可求出AE的长.
解答:
解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,
∵点E、F分别是边BC、AD的中点,
∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,
∵
,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵点E是边BC的中点,
∴AE⊥BC,
在Rt△AEB中,∠B=60°,AB=4,
sin60°=
=
,
解得AE=2
.
点评:
本题主要考查菱形的性质等知识点,解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角形的证明以及等边三角形的性质,此题难度不大,是一道比较好的中考试题.
13.(2013•黄冈)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
考点:
菱形的性质.
专题:
证明题.
分析:
根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB,然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH,根据两直线平行,内错角相等求出∠OBH=∠ODC,然后根据等角的余角相等证明即可.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB,∠COD=90°,
∵DH⊥AB,
∴OH=OB,
∴∠OHB=∠OBH,
又∵AB∥CD,
∴∠OBH=∠ODC,
在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.
点评:
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及等角的余角相等,熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键.
14.(2012•舟山)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
考点:
菱形的性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,然后证明得到BE=CD,BE∥CD,从而证明四边形BECD是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证;
(2)根据两直线平行,同位角相等求出∠ABO的度数,再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.
解答:
(1)证明:
∵菱形ABCD,
∴AB=CD,AB∥CD,
又∵BE=AB,
∴BE=CD,BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=EC;
(2)解:
∵平行四边形BECD,
∴BD∥CE,
∴∠ABO=∠E=50°,
又∵菱形ABCD,
∴AC丄BD,
∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.
点评:
本题主要考查了菱形的性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握菱形的对边平行且相等,菱形的对角线互相垂直是解本题的关键.
15.(2011•河南)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5
,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
考点:
菱形的性质;含30度角的直角三角形;矩形的性质;解直角三角形.
专题:
压轴题.
分析:
(1)在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,由已知条件求证;
(2)求得四边形AEFD为平行四边形,若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得;
(3)①∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得.
②∠DEF=90°时,由
(2)知EF∥AD,则得∠ADE=∠DEF=90°,求得AD=AE•cos60°列式得.
③∠EFD=90°时,此种情况不存在.
解答:
(1)证明:
在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,
∴DF=t.
又∵AE=t,
∴AE=DF.
(2)解:
能.理由如下:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
又AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形.
∵AB=BC•tan30°=5
=5,
∴AC=2AB=10.
∴AD=AC﹣DC=10﹣2t.
若使▱AEFD为菱形,则需AE=AD,
即t=10﹣2t,t=
.
即当t=
时,四边形AEFD为菱形.
(3)解:
①∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,
∴AD=2AE.
即10﹣2t=2t,t=
.
②∠DEF=90°时,由
(2)四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°﹣∠C=60°,
∴AD=AE•cos60°.
即10﹣2t=
t,t=4.
③∠EFD=90°时,此种情况不存在.
综上所述,当t=
或4时,△DEF为直角三角形.
点评:
本题考查了菱形的性质,考查了菱形是平行四边形,考查了菱形的判定定理,以及菱形与矩形之间的联系.难度适宜,计算繁琐.
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- 关 键 词:
- 菱形 单元测试